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高中数学排列组合几种常见题型及解法


高中数学排列组合几种常见题型及解法 摘要:排列、组合问题是高中数学的重要知识之一,或单独命题, 或与概率内容相结合,一般以较易题出现,但由于解这类问题时方 法灵活,切入点多,且抽象性极强,在解题过程中发生重复或遗漏现 象不易被发现,所以又成为学习的难点之一。故在解题过程中通过 分类、分步把复杂问题分解,运用化归思想、比较分类思想和模型 化思维方法,将问题简单化、常规化。 关键词:分类计数原理、分步计数原理、特殊元素、特殊位置、捆 绑法、插空法、隔板法 排列组合的学习虽然注意发散思维、逆向思维能力的培养,但如果 能够掌握一些常见题型及其解题策略,则会降低学习这部分知识的 难度。本文就排列组合的基本题型、基本思路做以简略介绍: 一、排列组合的基本思路 1、排列、组合的应用问题 (1)无限制条件的简单排列、组合应用问题,可直接用公式求解。 (2)有限制条件的排列组合问题,可根据具体的限制条件,用“直接 法”或“间接法”求解。 2、排列、组合的综合问题 排列组合的综合问题,主要是排列组合的混合题,解题的思路是先 解决组合问题,然后再讨论排列问题。 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点: (1)限制条件的排列问题常见命题形式: “在”与“不在” “相邻”与“不相邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法: ①“在”与“不在”问题,常常涉及特殊元素或特殊位置,通常是 先排特殊元素或特殊位置。 ②“相邻”问题在解题时常用“捆绑法”,即可以把两个或两个以 上的元素当做一个元素来看,这是处理相邻问题最常用的方法。 ③“不相邻”问题在解题时最常用的是“插空法”,即先考虑不受 限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档 中。 ④元素有顺序限制的排列,可以先不考虑顺序限制,等排列完毕后 利用规定顺序的实情求出结果。 (2)限制条件的组合问题常见命题形式: “含”与“不含” “至少”与“至多” 在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法” 。 (3)在处理排列组合综合题时,通过分析条件按元素的性质分类, 做到不重复、不遗漏按事件的发生过程分类、分步,正确地交替使 用两个原理,这是解决排列组合问题的最基本,也是最重要的思想 方法。 3、解题步骤 (1)认真审题:据题意分析属于什么数学问题(看这个问题是否与 顺序有关)?题目中的事 件是什么?有无限制条件?怎样才能完成这个事件?用什么计算方 法? (2)列式并计算; (3)作答。 二、排列组合的基本题型 题型一:排列应用题 若男生 5 名,女生 4 名共 9 名同学站成一排: (1)如果甲必站在中间,有多少种排法?(答案:a88) (2)如果甲不能站在中间,有多少种排法?(答案:a81a88) (3)如果甲在排头,乙在排尾,有多少种排法?(答案:a77) (4)如果甲不能在排头,乙不能在排尾,有多少种排法?(答 案:a88+a71a71a77 或 a99-a88-a88+a77) (5)如果甲、乙排在两端,有多少种排法?(答案:a22a77) (6)如果甲、乙不能排在两端,有多少种排法?(答案:a72a77) (7)如果甲、乙必须在一起,有多少种排法?(答案:a88a22) (8)如果甲、乙必须不在一起,有多少种排法?(答案:a77a82 或 a99-a88a22) (9)如果甲、乙间隔 1 人,有多少种排法?(答案:a77a71a22) (10)如果 5 男 4 女分别在一起,有多少种排法?(答案:a22a55a44) (11)如果 5 男 4 女相间排列,有多少种排法?(答案:a55a44) (1

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