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物理:2.2《匀变速直线运动的速度与时间的关系》精品学案(人教版必修1)


第二章
第2节

匀变速直线运动的研究

匀变速直线运动的速度与时间的关系

物体做变速运动的 v-t 图象,v-t 图象是一条倾斜的直线,物体的加速度有什么特点? 倾斜直线所表示的速度随时间变化的关系怎样用公式来描述?

要点一、匀变速直线运动
1.定义:沿着一条直 线,且加速度不变的运动. 2.图象:v-t 图象说明凡图象是倾斜直线的运动一定是匀变速直线运动,反之也成立, 即匀变速直线运动的 v-t 图象一定是一条倾斜的直线. 3.匀变速直线运动包括两种情形: a 与 v 同向,匀加速直线运动,速度增加; a 与 v 反向,匀减速直线运动,速度减小.

要点二、速度与时间的关系式
1.推导过程 Δv 对于匀变速直线运动,其加速度是恒定的,由加速度的定义式 a= 可得 Δv=aΔt,从运 Δt 动开始(t=0)到时刻 t,时间的变化量 Δt=t,速度变化量 Δv=v-v0,故 v-v0=at,得 v=v0 +at. 2.对速度公式 v=v0+at 的理解 (1)此式叫匀变速直线运动的速度公式,它反映了匀变速直线运动的速度随时间变化的规 律,式中 v0 是开始计时时刻的速度,v 是经过时间 t 后的瞬时速度. (2)速度公式中,末速度 v 是时间 t 的一次函数,其 v-t 图象是一条倾斜的直线,斜率即 为加速度 a,纵轴上的截距为初速度 v0. (3)此速度公式既适用于匀加速直线运动,也适用于匀减速直线运动.式中 v0,v,a 都是 矢量.在直线运动中,当规定了正方向后,它们都可用带正、负号的代数值表示,则矢量运算 转化为代数运算,通常情况下取初速度方向为正方向.对于匀加速直线运动,a 取正值;对于 匀减速直线运动,a 取负值.计算结果若 v>0,说明 v 的方向与 v0 方向相同;若 v<0,则说 明 v 的方向与 v0 方向相反. (4)此公式中有四个物理量,知道任意三个物理量便能确定第四个物理量. (5)从静止开始的匀加速直线运动,即 v0=0,则 v=at,速度与时间成正比.

要点三 对 v-t 图象的理解
1.用图象法处理问题的优点:形象直观,清晰便捷,能非常直观地反映运动物体的速度 随时间变化的情况,便于从整体上认识运动的特点. 2.几种变速运动的 v-t 图象
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(1)匀速直线运动的 v-t 图象平行于 t 轴. (2)初速度为零的匀加速直线运动的 v-t 图象是一条过原点的倾斜的直线. (3)初速度不为零的匀变速直线运动的 v-t 图象是一条在 v 轴上有截距的倾斜的直线. (4)做变加速运动的 v-t 图象是一条曲线 在 v-t 图象中,直线的斜率等于物体的加速度,曲线上各点的斜率等于该时刻物体的加 速度. 3.关于交点的理解 (1)两条图线相交,表明在该时刻两物体具有相同的速度. (2)图线与 v 轴相交:表示物体的初速度. 4.速度图象与时间轴交点表示速度方向改变,折点表示加速度方向改变.

图 2-2-4

图 2-2-5

(1)如图 2-2-4 所示,图线为与横轴相交的直线,交点处表示该时刻物体反向运动,速 度方向改变,但加速度不变,仍为匀变速直线运动. (2)如图 2-2-5 所示,t0 时刻图线由向上倾斜变为向下倾斜,表示物体加速度方向改变, 不表示速度方向改变.

图 2-2-6 5.如图 2-2-6 所示,v-t 图线为曲线,表示物体做的不是匀变速运动,物体在各时刻 的加速度大小不同,在相等的时间间隔内速度的变化量不相等,即速度不是均匀变化的.

一、对匀变速直线运动的理解 例 1 下列有关对匀变速直线运动的认识,其中观点正确的是( )

A.物体在一条直线上运动,若在相等的时间内通过的位移相等,则物体的运动就是匀变 速直线运动 B.加速度大小不变的运动就是匀变速直线运动 C.匀变速直线运动是速度变化量为零的运动 D.匀变速直线运动的加速度是一个恒量
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解析 匀变速直线运动的速度大小时刻在发生变化, 在相等的时间里通过的位移一定不会 相等,A 错误;匀变速直线运动的加速度大小和方向都不能变化,B 错误;C 的说法也是错误 的,正确答案为 D. 答案 D 二、对速度公式的理解和应用 例 2 汽车在平直路面紧急刹车时,加速度的大小是 6 m/s2,如果必须在 2 s 内停下来,汽 车的行驶速度最高不能超过多少?如果汽车以最高允许速度行驶,必须在 1.5 s 内停下来,汽 车在刹车的过程中加速度至少多大? 解析(1)由题意知 a=6 m/s2,t=2 s,v=0 m/s,由 v=v0+at 得 v0=v-at=0 m/s-(-6 m/s2)×2 s=12 m/s=43.2 km/h 所以汽车的速度不能超过 43.2 km/h. (2)根据 v=v0+at,有 v-v0 0 m/s-12 m/s a′= = =-8 m/s2 1.5 s t′ 所以汽车刹车匀减速运动加速度至少为 8 m/s2. 答案 (1)43.2 km/h (2)8 m/s2

三、v-t 图象的理解及应用

图 2-2-8 例 3 如图 2-2-8,请回答: (1)图线①②分别表示物体做什么运动? (2)①物体 3 s 内速度的改变量是多少,方向与速度方向有什么关系? (3)②物体 5 s 内速度的改变量是多少?方向与其速度方向有何关系? (4)①②物体的运动加速度分别为多少?方向如何? (5)两图象的交点 A 的意义. 解析 分析①物体:①做匀加速直线运动,3 s 内速度的改变量为 Δv=9 m/s-0=9 m/s, Δv 9 m/s 方向与速度方向相同,a= = =3 m/s2,方向与 Δv 方向相同,即 a 与 v 方向相同.分析 Δt 3s ②物体:②做匀减速直线运动,5 s 内速度的改变量为 Δv′=0-9 m/s=-9 m/s,说明 Δv 与 v 方向相反. Δv′ -9 m/s a= = =-1.80 m/s2,说明 a 方向与 Δv 方向相同,与 v 方向相反,做匀减速直 5s Δt′ 线运动. 图象交点 A 的意义是在 t=2 s 时 两物体的速度相同.
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答案

(1)①做匀加速直线运动;②做匀减速直线运动

(2)①物体 3 s 内速度的改变量是 9 m/s,方向 与速度方向相同 (3)②物体 5 s 内速度的改变量是 9 m/s,方向与其速度方向相反 (4)①②物体的运动加速度分别为 3 m/s2、-1.80 m/s2,①物体加速度与速度方向相同,② 物体加速度与速度方向相反 (5)两图象交点表示速度相同

1.下列各图所示分别为四个物体在一条直线上运动的 v-t 图象,那么由图象可以看出, 做匀变速直线运动的是( )

答案 BC 解析 v-t 图象的斜率表示物体的加速度,A 中图象平行于时间轴,斜率为零,加速度为

零,所以做匀速直线运动.B 中图象斜率不变,加速度不变,是匀变速直线运动,且由图象可 看出,物体的速度随时间减小,所以是做匀减速直线运动.C 中图象斜率不变,加速度不变, 做匀加速直线运动.D 中图象的切线斜率越来越大,表示物体做变加速运动. 2.一个做初速度为零的匀加速直线运动的物体,它在第 1 s 末、第 2 s 末、第 3 s 末的瞬 时速度之比是( A.1∶1∶1 C.1 ∶2 ∶3 答案 B 3.下列关于匀变速直线运动的说法正确的是( )
2 2 2

) B.1∶2∶3 D.1∶3∶5

A.做匀变速直线运动的物体,它的加速度方向和速度方向总是相同的 B.做匀变速直线运动的物体,它的加速度方向和速度变化的方向总是相同的 C.做匀变速直线运动的物体,它的速度变化越大,加速度越大 D.做匀变速直线运动的物体,它的速度在单位时间内变化越大,加速度越大 答案 BD 解析 匀加速直线运动的速度方向和加速度方向相同,而匀减速直线运动的速度方向 和

加速度方向相反;加速度表示速度变化的快慢,速度变化越快,加速度就越大.

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图 2-2-9 4.如图 2-2-9 所示,对质点运动的描述正确的是( A.该质点做曲线运动 B.该质点做匀加速直线运动 C.该质点的加速度逐渐增大 D.该质点的加速度逐渐减小 答案 D 解析 v-t 图象中图线的斜率表示加速度,题中图线的斜率逐渐减小,故加速度逐渐减 )

小,D 正确.

图 2-2-10 5.如图 2-2-10 所示是某质点的 v-t 图象,则( )

A.前 2 s 物体做匀加速运动,后 3 s 物体做匀减速运动 B.2 s~5 s 内物体静止 C.前 2 s 和后 3 s 内速度的增量均为 5 m/s 5 D.前 2 s 的加速度是 2.5 m/s2,后 3 s 的加速度是- m/s2 3 答案 AD 5-0 解析 前 2 s 物体做匀加速运动, 加速度 a1= m/s2=2.5 m/s2,2 s~5 s 内物体做匀速运 2 动,v=5 m/s,后 3 s 物体做匀减速运动,加速度 a2= 0-5 5 m/s2=- m/s2,速度的变化量前 2 3 3

s 和后 3 s 分别为 5 m/s 和-5 m/s.故 A、D 正确,B、C 错误. 6.做匀变速直线运动的物体,在某时刻的速度为 5 m/s,而其加速度为-3 m/s2,这表示 ( ) A.物体的加速度方向一定与速度方向相同,而速度在减小 B.物体的加速度方向可能与速度方向相同,而速度在增大 C.物体的加速度方向一定与速度方向相反,而速度在增大 D.物体的加速度方向一定与速度方向相反,而速度在减小 答案 D 解析 此时速度为正,加速度为负,其正、负号表示方向,表明物体加速度与速度的方向 相反,由 v=v0+at 可知,物体的速度在减小,故只有 D 正确.
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7.以 72 km/h 的速度在平直公路上行驶的汽车,遇紧急情况而急刹车获得大小为 4 m/s2 的加速度,则刹车 6 s 后汽车的速度为( A.44 m/s 答案 D 解析 取初速度方向为正方向, v0=20 m/s, 则 a=-4 m/s2, 设刹车经 t0 时间而停止运动, v0 20 由 0=v0+at0 得 t0=- =- s=5 s,故在 t=t0=5 s 末汽车速度为零,而后汽车静止,故 a -4 在刹车 6 s 后汽车速度为零. 8.一个做直线运动的物体,其速度随时间的变化关系为 v=(12-5t) m/s,则其初速度为 ________m/s,加速度为________m/s2,3 s 末的速度为________m/s. 答案 12 -5 -3 解析 将 v=(12-5t) m/s 与方程 v=v0+at 对比知, 物体做匀变速直线运动, v0=12 m/s, 且 a=-5 m/s2,3 s 末的速度 v=(12-5×3) m/s=-3 m/s. 9.质点从静止开始做匀加速直线运动,经 4 s 后速度达到 20 m/s,然后匀速运动了 10 s, 接着经 4 s 匀减速运动后静止.求 (1)质点在加速运动阶段的加速度是多大? (2)质点在 16 s 末的速度为多大? 答案 解析 (1)5 m/s2 (2)10 m/s. B.24 m/s ) C.4 m/s D.0

(1)设加速阶段的加速度为 a1,则 v1 =a1t1

v1 20 a1= = m/s2=5 m/s2 t1 4 (2)设减速运动阶段的加速度为 a2,由 v2=v1+a2t2 其中 v2=0,v1=20 m/s v2-v1 0-20 所以 a2= = m /s2=-5 m/s2 t2 4 当 t=16 s 时,质点已减速运动了 t3=2 s,此时质点的速度为 v3=v1+a2t3=20 m/s-5×2 m/s=10 m/s 题型 1 速度公式的理解及应用 例 1 一质点从静止开始以 1 m/s2 的加速度匀加速运动,经 5 s 后做匀速运动,最后 2 s 的 时间质点做匀减速运动直至静止, 则质点匀速运动时的速度是多大?减速运动时的加速度是多 大? 答案 5 m/s 2.5 m/s2,方向与速度方向相反

解析 质点的运动过程包括加速—匀速—减速三个阶段,如图所示.图示中 AB 为加速阶 段,BC 为匀速阶段,CD 为减速阶段,匀速运动的速度即为 AB 段的末速度,也为 CD 段的
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初速度,这样一来,就可以利用公式方便地求解了. 由运动学公式可知:vB=v0+at=5 m/s,vC=vB=5 m/s,由 v=v0+at 应用于 CD 段 (vD vD-vC 0-5 =0)得:a′= = m/s2=-2.5 m/s2 t 2

1.多运动过程问题要划分不同的运动阶段,并搞清各运动过程之间的联系. 2.画出运动过程的草图,标上已知量以便于灵活选用公式. 3.选取一个过程为研究过程,以初速度方向为正方向.判断各量的正负,利用 v=v0+ at 由已知条件求解未知量. 4.讨论所得矢量的大小及方向. 题型 2 速度公式矢量性的应用

图 2-2-1 例 2 如图 2-2-1 所示, 小球以 v0=6 m/s 的速度从中间滑上光滑的足够长斜面, 已知小 球在斜面上运动时的加速度大小为 2 m/s2, 问小球速度大小为 3 m/s 时需多少时间?(小球在光 滑斜面上运动时,加速度大小、方向不变) 答案 1.5 s 或 4.5 s 解析 小球先沿斜面向上做匀减速直线运动,后反向做匀加速直线运动. 若小球在上升过程中,速度减为 3 m/s 时,以沿斜面向上的方向为正方向,根据 v=v0+ at1,解得 t1 =1.5 s. 若小球在上升过程中,速度减为 0 时,以沿斜面向上的方向为正方向,由 0=v0+at2,解 得 t2=3 s. 若小球在下降过程中速度又增为 3 m/s,以沿斜面向下的方向为正方向,由 v3=at3,解得 t3=1.5 s. 综上可知,若小球在上升过程中达 到 3 m/s,则经历的时间为 1.5 s;若在下降过程中达到 3 m/s,则经历的时间为 3 s+1.5 s=4.5 s. 拓展探究 一物体做匀变速直线运动, 初速度为 2 m/s, 加速度大小为 1 m/s2, 则经 1 s 后, 其末速度( )

A.一定为 3 m/s B.一定为 1 m/s C.可能为 1 m/s D.不可能为 1 m/s 答案 C 解析 由 v=v0+at,得 v=2 m/s± 1×1 m/s,即末速度可能为 3 m/s,也可能为 1 m/s.利用
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v=v0+at 进行计算时要注意区别 a 是正还是负,即物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直 线运动.

1.速度公式是一个矢量表达式,速度和加速度都是矢量,可以引起多解问题. 2.小球沿斜面上、下滑动时加速度大小、方向均不变,而匀变速直线运动的速度公式的 适用条件就是加速度恒定,因此对这类“双向可逆”类匀变速运动,可以全过程列式,但应注 意各量的方向(正、负号). 若在下滑过程中达到 3 m/s, 以沿斜面向上的方向为正方向, 则有; 0=6 m/s, v a=-2 m/s2, v=-3 m/s 由 v=v0+at 得 t=4.5 s. 3.对同一研究过程,各物理量正、负号选取的标准应是统一的. 题型 3 v-t 图象的理解及应用 例 3 如图 2-2-2 所示为某物体的 v-t 图象,说明该物体的运动情况.

图 2-2-2 答案 见解析 解析 在前 4 s 内,物体的速度越来越大,说明物体做匀加速直线运动,且每秒速度增加 1 m/s.在 4 s 末物体速度达到最大,然后做匀减速直线运动,6 s 末物体的速度减小为零,此时 物体的位移最大.在 4 s~6 s 时间内,物体的速度每秒减少 4 m/s.在 6 s 末物体又往回运动, 即反向加速 1 s 的时间,速度大小是 4 m/s,但跟开始运动的方向相反,

自第 7 s 开始物体的速度又减小,8 s 末速度减小为零,其运动特点可用右图所示. 拓展探究 上例中物体在 0~4 s,4~6 s,6~7 s,7~8 s 内的加速度各为多少?4 s 至 7 s 内的 加速度有什么特点?为什么? 答案 见解析 解析 0~4 s 内的加速度 a1= Δv 4 = m/s2=1 m/s2 Δt 4

Δv 0-8 4~6 s 内的加速度 a2= = m/s2=-4 m/s2 Δt 2 Δv -4 6~7 s 内的加速度 a3= = m/s2=-4 m/s2 Δt 1 Δv 0-(-4) 7~8 s 内的加速度 a4= = m/s2=4 m/s2 Δt 1
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由上面的计算结果可知,4 s 至 7 s 内的加速度相同,原因是直线的斜率未变 .

1.从 v-t 图象可获得物体运动的信息有: (1)物体运动快慢——对应纵轴数值. (2)物体运动的方向——t 轴上方为正方向,t 轴下方为负方向. (3)运动快慢的变化——从图线对应的 v 数值变化可以看出运动快慢的变化. (4)加速度大小及变化——图线斜率大则 a 大,斜率小则 a 小. 2.图象的斜率不变,a 即不变 Δv 3.利用 a= 求 a 时,Δv=vt-v0,必须是末态的速度减去初态的速度. Δt

1.一物体做直线运动的图象如图 2-2-3 所示,则该物体(

)

图 2-2-3 A.先做匀加速运动,后做匀减速运动,速度方向相同 B.先做匀加速运动,后做匀减速运动,速度方向相反 C.先做匀减速运动,后做匀加速运动,速度方向相同 D.先做匀减速运动,后做匀加速运动,速度方向相反 答案 A 2.物体做匀加速直线运动,已知第 1 s 末的速度是 6 m/s,第 2 s 末的速度是 8 m/s,则下 面结论正确的是( )

A.物体零时刻的速度是 3 m/s B.物体的加速度是 2 m/s2 C.任何 1 s 内的速度变化都是 2 m/s D.第 1 s 内的平均速度是 6 m/s 答案 BC 解析 由题意知 t1=1 s 时,v1=6 m/s;t2=2 s 时,v2=8 m/s.由 v2=v1+a(t2-t1)知,物体 8-6 的加速度 a= m/s2=2 m/s2.因为物体做匀加速运动,所以任何 1 s 内速度的变化量都为 Δv 2-1 =aΔt=2×1 m/s=2 m/s.故 B、C 正确.由 v1=v0+at 得,零时刻的速度为 v0=v1-at=6 m/s -2×1 m/s=4 m/s,故 A 不正确.第 1 s 内的平均速度大于 4 m/s,小于 6 m/s,故 D 不正确. 3.一辆车由静止开始做匀变速直线运动,在第 8 s 末开始刹车,经 4 s 停下来,汽车刹车
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过程也在做匀变速运动,那么前后两段加速度的大小之比是( A.1∶4 C.2∶1 答案 B B.1∶2 D.4∶1

)

v v 解析 设前后两段的加速度分别为 a1、a2,则 a1= ,a2= ,所以 a1∶a2=t2∶t1=1∶2. t1 t2 4.关于匀变速直线运动有以下说法,其中正确的是( A.匀加速直线运动的加速度是不断增加的 B.匀减速直线运动的加速度是不断减小的 C.匀变速直线运动是加速度不变的直线运动 D.匀变速直线运动是速度和加速度都均匀变化的直线运动 答案 C 解析 匀变速直线运动包括匀加速直线运动和匀减速直线运动, 它是加速度不变, 而速度 均匀变化的直线运动,故只有 C 正确. 5.下列每一个图都有两条图线,分别表示同一直线运动过程中的加速度和速度随时间的 变化关系的图象.其中哪些图对应的运动不能实现( ) )

答案 D 6.一质点做直线运动,在第 1 s 内速度增加 1 m/s;在第 2 s 内速度增加 1 m/s;在第 3 s 内速度增加 1 m/s;在第 4 s 内速度增加 1 m/s,则这个质点的运动是( A.匀速直线运动 B.一定是匀加速直线运动 C.不一定是匀加速直线运动 D.一定是非匀变速直线运动 答案 C 解析 由题意知,质点的速度随时间在增加,但不能判定出是否均匀增加,而匀加速直线 运动必须是任意相等时间内速度增加相等,故应选 C. 7. 物体做匀变速直线运动, 初速度为 10 m/s, 加速度为-10 m/s2, 2 s 末的速度为( 则 A.10 m/s B.0 C.-10 m/s
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)

)

D.5 m/s

答案 C 8.一辆农用“小四轮”漏油,假如每隔 1 s 漏下一滴,车在平直公路上行驶,一位同学 根据漏在路面上的油滴分布,分析“小四轮”的运动情况(已知车的运动方向).下列说法 中正确的是( )

A.当沿运动方向油滴始终均匀分布时,车可能做匀速直线运动 B.当沿运动方向油滴间距逐渐增大时,车一定在做匀加速直线运动 C.当沿运动方向油滴间距逐渐增大时,车的加速度可能在减小 D.当沿运动方向油滴间距逐渐增大时,车的加速度可能在增大 答案 ACD 解析 当油滴始终均匀分布时, 说明四轮车在每秒内的位移相同, 车可能做匀速直线运动, 选项 A 正确;当油滴的间距增大时,说明四轮车的速度在增加,其加速度可能保持不变,也 可能在减小,还可能在增大,故选项 C、D 正确. 9.汽车在平直公路上以 10 m/s 的速度做匀速直线运动,发现前面有情况而刹车,获得的 加速度大小是 2 m/s2,则: (1)汽车经 3 s 时速度大小为多少? (2)经 5 s 时的速度大小是多少? (3)经 10 s 时的速度大小是多少? 答案 (1)4 m/s (2)0 (3)0

解析 汽车刹车后减速至速度为零不可能再反向加速运动, 故速度减为零后就不再是匀减 速运动了,而是静止的,因此这类题应先判断多长时间停下,再来求解. 设历时 t0 停下,取匀速方向为正向,由 vt=v0+at 有 0-10 t0= s=5 s. -2 (1)v3=v0+at=10 m/s+(-2)×3 m/s=4 m/s;(2)v5=0;(3)v10=0. 10.卡车原来以 10 m/s 的速度在平直公路上匀速行驶,因为路口出现红灯,司机从较远 的地方开始刹车,使卡车匀减速前进,当车减速到 2 m/s 时,交通灯转为绿灯,司机当即停止 刹车开始加速, 并且只用了减速过程的一半时间就加速到原来的速度, 从刹车开始到恢复原速 共用了 12 s.求: (1)减速与加速过程中的加速度大小. (2)开始刹车后 2 s 末及 10 s 末的瞬时速度. 答案 解析 (1)1 m/s2 2 m/s2 (2)8 m/s 6 m/s

(1)卡车先做匀减速运动,再做匀加速运动,其运动简图如下图所示

设卡车从 A 点开始减速,则 vA=10 m/s,用时间 t1 到达 B 点,从 B 点又开始加速,用时
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1 间 t2 到达 C 点,则 vB=2 m/s,vC=10 m/s,且 t2= t1,t1+t2=12 s,可得 t1=8 s,t2=4 s.由 2 v=v0+at 得 在 AB 段 vB=vA+a1t1① 在 BC 段 vC=vB+a2t2② 联立①②两式并代入数据解得: a1=-1 m/s2,a2=2 m/s2 (2)2 s 末的速度为 v1=vA+a1t=10 m/s-1×2 m/s=8 m/s 10 s 末的速度为 v2=vB+a2t′=2 m/s+2×(10-8) m/s=6 m/s

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