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第二章3匀变速直线运动的位移与时间的关系


第二章

匀变速直线运动的研究

3

匀变速直线运动的位移 与时间的关系

学 习 目 标 1.知道匀变速直线运动的位移 与v-t图象中矩形面积的对应 关系. 2.了解位移公式的推导方法, 感受利用极限思想解决物理 问题的科学思维方法. 3.理解匀变速直线运动的位移 与时间的关系式,会应用此 关

系式对匀变速直线运动问 题进行分析和计算. 4.知道什么是x-t图象,能应 用x-t图象分析物体的运动.

重 点 难 点 重点 1.根据v-t图象的“面 积”推导匀变速直线 运动的位移与时间的 关系式. 2.对公式x=v0t+at2 的理解. 难点 1.利用极限思想解决 物理问题的科学思维 方法. 2.位移与时间关系式 的应用.

知识点一 提炼知识

匀速直线运动的位移

1.位移公式:x=vt.

2.v-t 图象如右图所示. 3.v-t 图象特点. (1)平行于时间轴的直线.

(2)位移在数值上等于 v-t 图线与对应的时间轴所包 围的矩形的面积. 判断正误 1.匀速运动的速度一定是正的.(×) 2.匀速运动的位移一定是正的.(×) 3.匀速运动的加速度等于零.(√)

小试身手 1.沿直线运动的物体,第 1 s 内的位移是 0.2 m,第 3 s 内的位移也是 0.2 m,因此,物体的运动( A.变速的 C.加速的 答案:D B.匀速的 D.可能是匀速的 )

知识点二 提炼知识

匀变速直线运动的位移

1.由 v-t 图象求位移. (1)推导. ①把物体的运动分成几个小段, 如图, 每段位移≈每 段起始时刻速度×每段的时间=对应矩形面积. 所以, 整 个过程的位移≈各个小矩形面积之和.

②把运动过程分为更多的小段,如图,各小矩形的 面积之和可以更精确地表示物体在整个过程中的位移.

③把整个过程分得非常非常细,如图,小矩形合在 一起成了一个梯形,梯形的面积就代表物体在相应时间 间隔内的位移.

(2)结论:做匀变速直线运动的物体的位移对应着 v-t 图象中的图线与对应的时间轴所包围的面积.
1 2 v0t+ at . 2.位移与时间的关系式:x=_________ 2

判断正误 1 2 1.公式 x=v0t+ at ,既适用于匀加速直线运动,也 2 适用于匀减速直线运动.(√) 1 2 2.应用公式 x=v0t+ at 计算时,x、v0、a 三者方 2 向必须相同.(×) 3.做单向匀减速直线运动的物体,速度越来越小, 位移越来越大.(√)

小试身手 2.如图所示是甲、乙两个物体向同一方向做直线运动 的速度—时间图象, 运动了 t1 时间, 它们的平均速度关系 ( ) A.- v 甲>- v乙 C.- v 甲=- v乙 答案:A B.- v 甲<- v乙 D.上述三种情况均有可能

知识点三 提炼知识

用图象(x-t 图象)表示位移

1.匀速直线运动的 x-t 图象为一条倾斜直线,静止物 体的 x-t 图象为一条平行于时间轴的直线.如图所示,A、 B 表示物体做匀速直线运动,C 表示物体处于静止状态.

2.x-t 图象的物理意义:描述了物体的位移随时间的 变化关系. 3.x-t 图象的斜率等于物体的运动速度.
判断正误 1.x-t 图象只能描述直线运动.(√) 2.x-t 图象表示的是物体的运动轨迹.(×) 3. 匀速直线运动物体的 x-t 图线是一条倾斜直线. (√)

小试身手 3.如图是 A、B 两个质点做直线运动的位移—时间图 象.则( )

A.在运动过程中,A 质点总 比 B 质点运动得快 B.在 0~t1 这段时间内,两质点的位移相同 C.当 t=t1 时,两质点的速度相等 D.当 t=t1 时,A、B 两质点的加速度不相等
答案:A

拓展一

1 2 对位移公式 x=v0t+ at 的理解 2

1 2 1.利用公式 x=v0t+ at 求出的位移大小等于物体 2 运动的路程吗? 提示: 不一定, 当物体匀减速运动到速度为零再反向 以等大的加速度匀加速运动时,位移的大小小于路程.

2.物体做匀加速直线运动时速度随时间均匀增大, 位移也随时间均匀增大吗? 提示:不是,匀加速直线运动的速度公式是 v=v0+ at,速度与时间成线性关系,均匀增大;位移公式是 x= 1 2 v0t+ at ,位移与时间不成线性关系,位移虽增大,但不 2 是均匀增大.

1.位移公式的适用条件. 1 2 位移公式 x=v0t+ at 只适用于匀变速直线运动. 2 2.位移公式的矢量性. 公式中 x、v0、a 都是矢量,应用时必须选取统一的 正方向. 若选 v0 方向为正方向,则:

(1)物体加速,a 取正值. (2)物体减速,a 取负值. (3)若位移为正值,位移的方向与正方向相同. (4)若位移为负值,位移的方向与正方向相反.
3.两种特殊形式. (1)当 a=0 时,x=v0t(匀速直线运动). 1 2 (2)当 v0=0 时,x= at (由静止开始的匀加速直线运 2 动 ).

特别说明

在一些往复形式的匀变速直线运动中,

时间越长,位移可能减小,但路程越大.

【典例 1】 一辆小汽车在一段平直的高速公路上匀 速行驶,速度大小为 v0=108 km/h,由于前方出现险情, 司机采取紧急刹车,刹车时汽车的加速度大小为 5 m/s2. 求: (1)汽车刹车后 t1=10 s 内滑行的距离; (2)汽车刹车后发生位移 x=80 m 所经历的时间 t2.

解析:首先要求出汽车的刹车时间 t0,再与题中给出 的时间 t1 进行比较,若 t1<t0 时,就按题中给出的时间计 算,若 t1>t0,就按刹车时间 t0 计算. (1)由于 v0=30 m/s,a=-5 m/s2,由 v=v0+at,可 v-v0 0-30 m/s 知汽车的刹车时间为 t0= a = =6 s. 2 -5 m/s

由于 t0<t1,所以刹车后 10 s 内滑行的距离即为汽车 停止运动时滑行的距离: 1 2 1 x=v0t0+ at0=30×6 m+ ×(-5)×62 m=90 m. 2 2 (2)设从刹车到滑行 80 m 所经历的时间为 t2,由位移 1 2 公式:x′=v0t2+ at2, 2
代入数据得:

1 80 m=30 m/s×t2- ×5 m/s2×t2 2 2 解得 t2=4 s,t2′=8 s(刹车停止后不能反向运动故舍 去), 故所用时间为:t2=4 s. 答案:(1)90 m (2)4 s

题后反思 1.对于单向的匀减速直线运动问题,一定要注意运 动物体经过多长时间停止运动, 如果不弄清这个问题, 就 会乱套公式, 解出错误的结果, 单向匀减速直线运动的运 v0 动时间的取值范围为 t≤ a .

2.在求解本题时,也可以采用“逆向法”,将汽车 的刹车过程反过来看,就是初速度为零的匀加速直线运 1 2 动,故可由 x= at 求解.当然,这种解法的前提,仍然 2 要对汽车刹车后的运动总时间作出正确的判断.

一辆卡车初速度为 v0=10 m/s,以 a=2 m/s2 的加速 度行驶,求: (1)卡车在 3 s 末的速度 v3; (2)卡车在 6 s 内的位移 x6 与平均速度- v; (3)卡车在第 6 s 内的位移 x.

解析:(1)3 s 末的速度: v3=v0+at3=10 m/s+2×3 m/s=16 m/s.

(2)6 s 内位移: 1 2 1 x6=v0t6+ at6=10×6 m+ ×2×36 m=96 m, 2 2 6 s 内平均速度: x6 96 - v= = m/s=16 m/s. t6 6

(3)5 s 内位移: 1 1 2 x5=v0t5+ at5=10×5 m+ ×2×25 m=75 m, 2 2 所以第 6 s 内位移 x=x6-x5=21 m. 答案:(1)16 m/s (2)96 m 16 m/s (3)21 m

拓展二

位移—时间图象及其应用

1.在 x-t 图象中,纵坐标一定表示物体位移的大小 吗? 提示:不一定.在 x-t 图象中纵坐标表示物体相对于 参考系的位移,不一定是相对于自己出发点的位移.

2.物体运动的快慢和方向怎样用 x-t 图象来表示? 提示: x- t 图线的斜率大小表示物体运动速度的大小, 斜率的正、 负可以表示物体运动速度的方向, 斜率为正值, 表明物体沿正方向运动;斜率为负值,表明物体沿负方向 运动.

1.三种常见运动的图象. (1)静止物体的 x-t 图象是平行于时间轴的直线, 如图 中 a. (2)匀速直线运动的 x-t 图象是一条倾斜的直线, 如图 中 b.

(3)匀变速直线运动的 x-t 图象是抛物线,如图中 c.

2.x-t 图象的意义.

大小 初、末位置的纵坐标差的绝对值 位移 初、末位置的纵坐标差的符号,正值 方向 表示位移沿正方向;负值表示位移沿 负方向 速度 大小 斜率的绝对值

斜率的符号,斜率为正值,表示物体 方向 向正方向运动;斜率为负值,表示物 体向负方向运动

起始位置 运动开始时 刻 两图线交点 含义

图线起点纵坐标 图线起点横坐标 表示两物体在同一位置(相遇)

【典例 2】

(多选)甲、乙两车同时由同一地点沿同

一方向做直线运动, 它们的位移—时间图象如图所示, 甲 车图象为过坐标原点的倾斜直线, 乙车图象为顶点在坐标 原点的抛物线,则下列说法正确的是( )

A.甲、乙之间的距离先增大后减小,然后再增大 B.0~t1 时间段内,乙的平均速度大于甲的平均速度

C.t1 时刻,乙的速度等于甲的速度的 2 倍 1 D.0~t1 时间段内, t1 时刻甲、乙距离最大 2 解析:从题中 x-t 图象可以看出,甲、乙之间的距离 先增大后减小,t1 时刻相遇,之后乙车超过甲车,两者距 离再逐渐增大,选项 A 正确.0~t1 时间段内,两车通过的 位移相同,故平均速度相同,选项 B 错误.

0+v乙 由于乙车做初速度为零的匀加速直线运动,由 2 =v 甲知,t1 时刻乙的速度为甲的速度的 2 倍,选项 C 正 1 确.两车在 t1 时刻速度相同,所以此时两车距离最大, 2 选项 D 正确. 答案:ACD

1. (多选)如图是做直线运动的甲、乙物体的位移—时 间图象,由图象可知 A.甲启动的时间比乙早 t1 秒 B.当 t=t2 时,两物体相遇 C.当 t=t2 时,两物体相距最远 D.当 t=t3 时,两物体相距 x0 米

解析:由位移—时间图象知甲启动的时间比乙早 t1 秒,A 正确.当 t=t2 时,两物体在同一位置,即相遇,B 正确,C 错误.当 t=t3 时,甲位于原点,乙位于离原点 x0 米处,两物体相距 x0 米,D 正确. 答案:ABD

2.(多选)甲、乙两位同学在放学时,从学校所在地 骑自行车沿平直的公路回家,先到乙同学家,休息一会, 甲同学继续骑车前行,在 70 min 时到家,甲同学的 x-t 图象如图所示,下列说法正确的是( )

A.在前 20 min 内甲同学做匀加速运动 B.甲同学在乙同学家停留了 50 min

C.甲、乙两同学家相距 3.6 km D.甲从离开学校至到家的这段时间内,平均速度为 2 m/s 解析: 前 20 min, 甲同学做匀速直线运动, A 错.20~ 50 min 甲同学一直在乙同学家, 共停留 30 min, B 错. 甲、 乙两同学家的距离为 8.4 km-4.8 km=3.6 km,C 对.

甲同学从学校到家的位移 x=8.4 km,所用时间 t=
3 8.4 × 10 x 70 min=4 200 s,平均速度 v= = m/s=2 m/s, t 4 200

D 对. 答案:CD

拓展三

匀变速直线运动的两个结论

1.做匀变速直线运动的物体,既然速度随时间均匀 变化, 那么在一段时间 t 内的平均速度与这段时间内中间 时刻的瞬时速度有何关系?与这段时间初、末速度矢量 和的一半有何关系? 提示:相等 相等

2.做匀变速直线运动的物体,任意两个连续相等的 时间间隔内的位移差Δ x 有何关系?能否找到Δ x 和已学 物理量的关系? 提示:相等 能

v0+v t - 1.平均速度公式: v =v = . 2 2 即:做匀变速直线运动的物体,在一段时间 t 内的平 均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度,还等于这 段时间初、末速度矢量和的一半. 推导:设物体的初速度为 v0,做匀变速直线运动的 加速度为 a,t 秒末的速度为 v.

1 2 由 x=v0t+ at 得,① 2 x 1 - 平均速度 v = t =v0+ at.② 2 t 由速度公式 v=v0+at 知,当 t′= 时, 2 t t v =v0+a ,③ 2 2

由②③得- v =v t .④ 2 t t 又 v=v +a ,⑤ 2 2 v0+v v0+v t t - 由③④⑤解得 v = ,所以 v =v = . 2 2 2 2

2.逐差相等. 匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内 的位移差相等.做匀变速直线运动的物体,如果在各个 连续相等的时间 T 内的位移分别为 xⅠ、xⅡ、xⅢ、??、 xN,则Δ x=xⅡ-xⅠ=xⅢ-xⅡ=??=aT2. 1 2 4 推导:x1=v0T+ aT ,x2=v0·2T+ a·T2, 2 2 9 2 x3=v0·3T+ aT ?? 2

1 2 所以 xⅠ=x1=v0T+ aT ; 2 3 2 xⅡ=x2-x1=v0T+ aT ; 2 5 2 xⅢ=x3-x2=v0T+ aT ?? 2 故 xⅡ-xⅠ=aT2,xⅢ-xⅡ=aT2?? 所以,Δ x=xⅡ-xⅠ=xⅢ-xⅡ=??=aT2.

特别说明

(1)以上推论只适用于匀变速直线运动,

其他性质的运动不能套用此推论式来处理问题. (2)推论式 xⅡ-xⅠ=aT2 常在探究物体速度随时间变化 规律的实验中根据打出的纸带求物体的加速度.

【典例 3】 有一个做匀变速直线运动的物体,它在 两段连续相等的时间内通过的位移分别是 24 m 和 64 m, 连续相等的时间为 4 s,求物体的初速度和加速度大小.

解析:方法一:常规解法 如图所示,物体从 A 到 B 再到 C 各用时 4 s,AB= 24 m,BC=64 m,设物体的加速度为 a,由位移公式得:

1 2 x1=vAT+ aT 2 x2 =
? ? ? 1 1 2? 2 ?vA·2T+ a(2T) ?-?vAT+ aT ? 2 2 ? ? ? ?

将 x1=24 m,x2=64 m,T=4 s 代入两式求得 vA=1 m/s,a=2.5 m/s2.

方法二:平均速度求解 x1 24 - v 1= T = m/s=6 m/s, 4 x2 64 - v 2= T = m/s=16 m/s, 4 又- v 2=- v 1+aT, 解得 a=2.5 m/s2, 1 2 再由 x1=vAT+ aT , 2

求得 vA=1 m/s.

方法三:推论公式求解 由 x2-x1=aT2, 得 a=2.5 m/s2, 1 2 再代入 x1=vAT+ aT , 2 可求得 vA=1 m/s. 答案:1 m/s 2.5 m/s2

1.一辆公共汽车进站后开始刹车,做匀减速直线运 动, 开始刹车后的第 1 s 内和第 2 s 内位移大小依次为 9 m 和 7 m.则刹车后 6 s 内的位移是( A.20 m C.25 m B.24 m D.75 m )

解析: 由Δx=aT2 得: 9 m-7 m=a· (1 s)2, a=2 m/s2, 1 1 2 由 v0T- aT =x1 得:v0×1 s- ×2 m/s2×(1 s)2=9 m, 2 2 v0 v0=10 m/s,汽车刹车时间 tm= a =5 s<6 s,故刹车后 6 s 1 2 1 内的位移为 x=v0tm+ atm=10×5- ×2×52 m=25 m, 2 2 C 正确.
答案:C

2.一物体做匀加速直线运动,通过一段位移Δ x 所 用时间为 t1.紧接着通过下一段位移Δ x 所用时间为 t2,则 物体运动的加速度为( 2Δ x(t1-t2) A. t1t2(t1+t2) 2Δ x(t1+t2) C. t1t2(t1-t2) ) Δ x(t1-t2) B. t1t2(t1+t2) Δ x(t1+t2) D. t1t2(t1-t2)

解析:物体做匀加速直线运动通过前一段Δx 所用的 Δx 时间为 t1,平均速度为- v 1= ,物体通过后一段Δx 所用 t1 Δx 的时间为 t2,平均速度为- v 2= ,速度由- v 1 变化到- v2 t2 t1+t2 的时间为Δt= , 2

- v 2-- v 1 2Δx(t1-t2) 所以加速度 a= = ,A 正确. Δt t1t2(t1+t2) 答案:A


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