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2014年高三数学(文科)试卷(31)


2014 年高三数学(文科)试卷(31)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

注意事项:
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后, 用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的 空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写

在答题卷各题目指定区域 内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以 上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:锥体体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 为底面面积、h 为高 3 第Ⅰ部分 选择题(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡上. 1.设集合 M ? {?1,0} , N ? {0,1} ,则 M ? N ? ( ) A. {0} 2.函数 y ? B. {0,1} C. {?1,0} D. {?1, 0,1}

1 的定义域是( ) | x | ?x

A. (??, ?1)

B. (0, ??)

C. (??,0)

D. (0,1)
) D.既非充分也非必要

3.已知条件 p : x ? 0 ,条件 q : A.充分不必要条件 条件 4.若复数 z 满足

1 ? 0 ,则 q是?p 成立的( x

B.必要不充分条件

C.充要条件

z ? i ,则 z 对应的点所在的象限为( ) 1? i
D 第四象限

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 5.某锥体的三视图如图所示,则该锥体的体积是( )

俯视图 俯视图 侧视图

1

A. 4?

B.

4? 3

C. 3?

D.

?

6.在长为 10,宽为 6 的矩形内画一个内切椭圆,切点为各边的中点,则此椭圆的离心率为 ( )

A.

4 5

B.

3 5

C.

3 4

D.

34 5

开始

7.关于两条不同直线 l , m 及两个不同平面 ? , ? ,下列命题中正确的是 A.若 l // ? , ? ? ? ? m, 则 l // m B.若 l ? ? , l // ? , 则 ? ? ? C.若 l // ? , m // ? , 则 l // m D.若 l // ? , m ? l ,则 m ? ? )

k ?1





k 2 ? 6k ? 5 ? 0
是 输出

k ? k ?1

8.如右图是一个算法框图,则输出的 k 的值是(

k
结束

A. 5

B. 6
x ?x

C. 7

D. 8

9. 在函数 (1) y ? e ? e , (2) y ? 个数为( ) A.0

2x ?1 2 , (3) y ? cos x ? ln( x ? 1 ? x) 中,是奇函数的 2x ? 1
C. 2 D.3

B.1

10.如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,延长 CD 至 E ,使得 DE ? CD 。动点 P 从 点 A 出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点,

??? ? ??? ? ??? ? AP ? ? AB ? ? AE 。
下列三个命题: ①当点 P 与 D 重合时, ? ? ? ? 2 ; ② ? ? ? 的最小值为 0, ? ? ? 的最大值为 3; ③ 在 满 足 1 ? ? ? ? ? 2 的 动 点 P 中 任 取 两 个 不 同 的 点 P 和 P2 , 则 0 ?| PP2 |? 1 1

???? ?

???? ? 1 ?| P P2 |? 2 1
其中正确命题的个数为( ) A. 0 B.1 C. 2 D. 3 第Ⅱ部分 非选择题(共 100 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请把答案填在答题卡上。 (一)必做题 (9~13 题) 11.若 f ? x ? ? ?

1 或 2

? x 2 ? a, x ? 0
x ? 2 ,x ?0

,且 f (1) ? f (?2) ,则 a ?

2

12.设数列 {an } 是首项为 4,公差为 ?2 的等差数列,则数列 {| an |} 的前 5 项和为 _______.

?y ? x 4x ? 13.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? y 的最大值为 2 ? y ? ?1 ?
14. (坐标系与参数方程选做题)



(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,若两题全答的,只计 14 题的得分。 )

? 2 t ?x ? 4 ? ? 2 已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) 曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 1 , P 是 , 点 2 ?y ? t ? ? 2
直线 l 上的一个动点,过点 P 作曲线 C 的切线,切点为 Q ,则 | PQ | 的最小值为 。

15. (平面几何选做题) 已知 AB 为半圆 O 的直径, AB ? 4 , C 为半圆上一点,过 点 C 作半圆的切线 CD ,过点 A 作 AD ? CD 于 D ,交半圆 O 于点 E , DE ? 1 ,则 BC 的长为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 甲、乙两人玩一种游戏:在装有质地、大小完全相同,编号分别为 1,2,3,4,5 五个 球的口袋中,甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号 的和为偶数算甲赢,否则算乙赢。 (Ⅰ)求甲赢且编号和为 6 的事件发生的概率; (Ⅱ)这种游戏规则公平吗?试说明理由。

17. (本小题满分 13 分) 函数 f ( x) ? cos(2 x ? ) , x ? R 。 3
(Ⅰ)先完成下列表格,然后在给定坐标系中作出函数 f(x)在 [0, ? ] 上的图象;

?

π 2x-3 x f(x)

π -3 0 1 2

0 π 6

π 2

π 2 3π -1

3 2π 11 12π π

3

(Ⅱ)若 f (

?

? 3 ? ? ? ) ? , ? ? ? ? 0 ,求 sin(2? ? ) 的值。 2 6 5 2 4
BC ? C D , O 为 BD 的 中 点 , ? 2
AP AQ ? ? 2. PC QO

18. (本小题满分 13 分) 如 图 , 三 棱 锥 C ? ABD 中 , A B ? A D? B D ?

?AOC ? 120? , P 为 AC 上一点, Q 为 AO 上一点,且
(Ⅰ)求证: PQ ∥平面 BCD ; (Ⅱ)求三棱锥 P ? ABD 的体积。

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1 的上顶点为 A ,直线 y ? ?4 交椭圆 E 于点 B ,C (点 B 在 100 25

点 C 的左侧) ,点 P 在椭圆 E 上。 (Ⅰ)求以原点 O 为顶点,椭圆的右焦点为焦点的抛物线的方程; (Ⅱ)求以原点 O 为圆心,与直线 AB 相切的圆的方程; (Ⅲ)若四边形 ABCP 为梯形,求点 P 的坐标。 20. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? t (t为非零常数),{an } 的前 n 项和 S n 满足 Sn?1 ? 3Sn . (Ⅰ)当 t ? 1时,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若对任意 n ? N * ,都有 ? ?

n(n ? 1) ,求实数 ? 的取值范围。 an

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? ln x ? 1 , g ( x) ? (ln x ? 1)e x ? x (其中 e 为自然对数的底数). x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)是否存在实数 x0 ? (0, ??) ,使曲线 y ? g ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直? 若存在, 求出 x0 的值;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)若实数 m, n 满足 m ? 0, n ? 0,求证: nnem ? mnen .

4

参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分 1.A 2.C 3.A 4.B 5.D 6.A 7.B 8.B 9.D 10.C 二、填空题: 11.-2 12.12 13.32 14. 7 15.2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)设“两个编号和为 6”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件为(1,5)(2,4) , , (3,3)(4,2)(5,1)共 5 个,?????2 分 , , 又甲、乙两人取出的数字共有 5×5=25(个)等可能的结果,?????4 分 故

P( A) ?

5 1 ? ?????6 分 25 5

(2)设甲胜为事件 B,乙胜为事件 C,则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有 13 个:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5), (4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)。?????8 分 所以甲胜的概率 P ( B ) ? 乙胜的概率 P(C ) ? 1 ?

13 ,???10 分 25

13 12 ? P( B) (可省略) ? 25 25

所以这种游戏规则是不公平的。?????12 分 17. (本小题满分 13 分)

解: (Ⅰ)完成表格: π π 2x-3 -3 0 x f(x) 图象如图: 0 1 2 π 2 π 2 3π -1 3 2π 11 12π 0 5 3π π 1 2
?????4 分(每列填完整各得 1 分)

π 5 6 12π 1 0

?????6 分

5

? 3 ? ) ? cos ? ? , ?????7 分 2 6 5 ? 4 ? ? ? ? ? 0 ? s i n ? ? ?????8 分 ? 2 5 24 ?????9 分 ? sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 25 7 ?????10 分 cos 2? ? 2cos 2 ? ? 1 ? ? 25
(Ⅱ) f (

?

? sin(2? ? ) ? sin 2? cos ? cos 2? sin 4 4 4
?? 24 2 7 2 ? ? (? ) ? 25 2 25 2
?????13 分

?

?

?

?????11 分

??

17 2 50

18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:?

AP AQ ? PC QO

? PQ || CO ?????1 分
?????2 分

又? PQ ? 平面 BCD , CO ? 平面 BCD

? PQ ∥平面 BCD ?????3 分
(Ⅱ)方法一: 由等边 ?ABD , 等边 ?BCD , 为 BD 的中点得:BD ? AO, BD ? OC ,AO ? OC ? O O

? BD ? 平面 AOC ?????5 分 又? PO ? 平面 AOC ? BD ? PO ?????6 分
? 在 ?AOC 中, ?AOC ? 120 , AO ? OC ? 3 ,

? ?OAC ? 30? , AC ? OA2 ? OC 2 ? 2 ? OA ? OC ? cos120? ? 3 ?????7 分
AP ? 2 ? AP ? 2 PC 在 ?APO 中,由余弦定理得: PO ? 1
又?

?????8 分

? PO2 ? AO2 ? AP 2 ? PO ? AO
又 AO ? BD ? O

?????9 分

? PO ⊥平面 ABD ?????10 分 又? AB ? AD ? BD ? 2 ,
? S?ABD ? 3 ?????11 分

6

1 ?VP ? ABD ? S?ABD ? PO ?????12 分 3
1 3 ?????13 分 ? ? 3 ?1 ? 3 3
方法二:由等边 ?ABD ,等边 ?BCD , O 为 BD 的中点得: BD ? AO BD OC , , ?

AO ? OC ? O ? BD ? 平面 AOC

?????5 分

在 ?AOC 中, OA ? OC ? 3 , ?AOC ? 120?

1 3 3 ? S?AOC ? OA ? OC ? sin ?AOC ? ?????7 分 2 4 1 1 3 3 3 ?VC ? ABD ? S?AOC ? BD ? ? ?2 ? ?????9 分 3 3 4 2

?

AP ?2 PC
?????12 分

2 ?VP ? ABD ? VC ? ABD 3
? 2 3 3 ? ? 3 2 3

?????13 分

19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)设此抛物线的方程为 y ? 2 px
2

?????1 分 ?????2 分

?椭圆的右焦点为 (5 3, 0) ?

p ? 5 3 即 p ? 10 3 2
?????3 分

?此抛物线的方程为 y 2 ? 20 3x

(Ⅱ)由条件知: A(0,5), B(?6, ?4),

?????5 分(每个 1 分)

? k AB ?

3 2

?????6 分

?直线 AB 的方程: y ?
?O 到直线 AB 的距离为

3 x ? 5 即 3x ? 2 y ? 10 ? 0 ?????7 分 2
|10 | 32 ? ( ?2) 2 ? 10 13 10 13 ,即圆半径 r ? ?????8 分 13 13

?以原点 O 为圆心,与直线 AB 相切的圆的方程 x 2 ? y 2 ?

100 ?????9 分 13

(Ⅲ)要使四边形 ABCP 为梯形,当且仅当 CP || AB ?????10 分

7

? kCD ? k AB ?

3 2
?????11 分

3 3 ?直线 CP 的方程为 y ? 4 ? ( x ? 6) 即 y ? x ? 13 2 2
把y?

x2 y 2 3 ? ? 1 得: 5x2 ? 78x ? 288 ? 0 x ? 13 代入 100 25 2

?????12 分

解得: x ? 6 或

48 (由韦达定理求得也可) ?????13 分 5
?????14 分

? P(

48 7 , ) 5 5

20. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) 方法一:由 Sn ?1 ? 3Sn 得:数列 {S n } 是等比数列,公比为 3,首项为 1 ?????2 分

? Sn ? 1? 3n?1 ? 3n?1

?????3 分
n ?1

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 3

? 3n ?2 ? 2 ? 3n ?2

?????4 分

?1 ( n ? 1) ? an ? ? n ? 2 ?????5 分 ( n ? 2) ?2 ? 3
方法二:? Sn ?1 ? 3Sn ,? Sn ? 3Sn ?1 (n ? 2) 以上两式相减得: an ?1 ? 3an

(n ? 2) , ?????2 分

在 Sn ?1 ? 3Sn 中,取 n ? 1 得: a1 ? a2 ? 3a1 即 a2 ? 2a1 ? 2 , ?????3 分

?

a2 ?2?3 a1
?????4 分

?{an } 为第二项起的等比数列,公比为 3

?1 ( n ? 1) ? an ? ? n ? 2 ( n ? 2) ?2 ? 3
(Ⅱ)令 bn ?

?????5 分

n(n ? 1) an

由(Ⅰ)知: {an } 为第二项起的等比数列,公比为 3, a2 ? 2t

?当 n ? 2 时, an ? 2t ? 3n ?2 , bn ?

n(n ? 1) 2t ? 3n ?2

?????6 分

8

bn ?1 ? bn ?

(n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) (n ? 1)(1 ? n) ? ? 2t ? 3n?1 2t ? 3n?2 t ? 3n?1

?????7 分

① 若 t ? 0 , 则 bn ?1 ? bn ? 0 即 bn ?1 ? bn (n ? 2) ? 数 列 {bn } 是 从 第 二 项 起 的 递 减 数 列???8 分

3 2 , b2 ? , b2 ? b1 t t 3 ?????9 分 ? (bn )max ? b2 ? t
而 b1 ?

?对任意 n ? N * ,都有 ? ?

n(n ? 1) an

?? ?

3 t

?????10 分

② 若 t ? 0 , 则 bn ?1 ? bn ? 0 即 bn ?1 ? bn (n ? 2) ? 数 列 {bn } 是 从 第 二 项 起 的 递 增 数 列 ???11 分 而 b1 ?

2 n(n ? 1) ? 0 ,当 n ? 2 时, bn ? ?0 t 2t ? 3n?2
?????12 分

? bn ? (??, 0)

?对任意 n ? N * ,都有 ? ?
综合上面:若 t ? 0 ,则 ? ? 21. (本小题满分 14 分)

n(n ? 1) ,? ? ? 0 an

?????13 分

3 ;若 t ? 0 ,则 ? ? 0 。 ?????14 分 t

1 ? ln x ?1 , x ? (0,??) x 1 1 x ?1 ' ∴ f ( x) ? ? 2 ? ? 2 ?????1 分 x x x
解(Ⅰ)∵ f ( x) ? 令 f ' ( x) ? 0 得 x ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 ?????2 分

? f ( x) 的增区间为 (1, ??) ,减区间为 (0,1) ?????3 分
(Ⅱ)解:∵ g ( x ) ? ? ln x ? 1? e ? x , x ? (0,??) ,
x
x ? e x ? ? ln x ? 1? ? e x ?? ? 1 ? e ? ? ln x ? 1? e x ? 1 ? ? 1 ? ln x ? 1? e x ? 1 , g ?( x) ? ? ln x ? 1? ? ? x ?x ?

????

?5 分 由(Ⅰ)易知, f ( x)min ? f (1) ? 0

?当 x0 ? (0,??) 时,

1 ? ln x0 ? 1 ? 0 x0

?????6 分

9

又 e x0 ? 0 ,∴ g ?( x0 ) ? ?

?1 ? ? ln x0 ? 1? e x0 ? 1 ? 1 ? 0 ? x0 ?

?????7 分

曲线 y ? g ( x ) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直等价于方程 g ?( x0 ) ? 0 有实数解. 而 g ? ? x0 ? ? 0 ,即方程 g ?( x0 ) ? 0 无实数解. ?????8 分 故不存在实数 x0 ? (0, ??) ,使曲线 y ? g ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直。?????9 分 (Ⅲ)证明: 由 (Ⅰ) 得: f ( x) ? 10 分

1 ? ln x ? 1 ? 0, x ? 0(当且仅当 x ? 1 是等号成立 ???? x

n ? m ? 0, n ? 0? f ( ) ? 0 ?????12 分 m

?

m n n n?m n n ? n ln ? n ? m ? ( )n ? en ?m ? ln ? 1 ? 0 ? ln ? m n m m n m
?????14 分

整理得: nn em ? mn en

10


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