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2016新课标三维人教B版数学选修2-1 模块综合检测


模块综合检测?

?对应阶段质量检测?四?? ? ? 见8开试卷 ?

(时间 90 分钟,满分 120 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.命题“任意的 x∈R,2x4-x2+1<0”的否定是( A.不存在 x∈R,2x -x +1<0 B.存在 x∈R,2x4-x2+1<0 C.存在 x∈R,2x4-x2+1≥0 D.对任意的 x∈R,2x4-x2+1≥0 解析:全称命题的否定是特称命题,所以该命题的否定是:存在 x∈R,2x4-x2+1≥0. 答案:C 2.(重庆高考)命题“若 p 则 q”的逆命题是( A.若 q 则 p C.若綈 q 则綈 p )
4 2

)

B.若綈 p 则綈 q D.若 p 则綈 q

解析:根据逆命题的概念可知,“若 p 则 q”的逆命题为“若 q 则 p”. 答案:A 3.已知空间向量 a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若 2a-b 与 b 垂直,则|a|等于( 5 A. C. 3 2 37 2 B. 3 D. 21 2 5 2 )

解析:由已知可得 2a-b=(2,2n,4)-(-2,1,2)=(4,2n-1,2). 又∵(2a-b)⊥b,∴-8+2n-1+4=0. 5 ∴2n=5,n= . 2 ∴|a|= 答案:D x2 y2 1 4.设椭圆 2+ 2=1(m>n>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同,离心率为 ,则此椭 m n 2 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn 25 3 5 1+4+ = . 4 2

圆的方程为(

) x2 y2 B. + =1 16 12 x2 y2 D. + =1 64 48

x2 y2 A. + =1 12 16 x2 y2 C. + =1 48 64

解析:抛物线的焦点为(2,0),∴4=m2-n2, m2-n2 1 又 = ,解得:m=4,n=2 m 2 x2 y2 故椭圆的方程为 + =1. 16 12 答案:B y2 5.(北京高考)双曲线 x2- =1 的离心率大于 2的充分必要条件是( m 1 A.m> 2 C.m>1 B.m≥1 D.m>2 ) 3,

1+m y2 c 解析:双曲线 x2- =1 中,a=1,b= m,则 c= 1+m,离心率 e= = > 2, m a 1 解得 m>1 故选 C. 答案:C 6.下列说法中正确的是( )

A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B.“a>b”与“a+c>b+c”不等价 C.“a2+b2=0,则 a,b 全为 0”的逆否命题是“若 a,b 全不为 0,则 a2+b2≠0” D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 解析:否命题和逆命题互为逆否命题,有着一致的真假性. 答案:D 7.在各棱长都等于 1 的正四面体 OABC 中,若点 P 满足 OP =x OA +y OB +z OC (x +y+z=1),则| OP |的最小值为( A.2 C. 6 3

??? ?

???

??? ?

??? ?

??? ?

) B. 3 3

D. 2

解析: ∵点 P 满足 OP =x OA +y OB +z OC (x+y+z=1), ∴P, A, B, C 共面, 故| OP | 的最小值即为 O 到面 ABC 的距离,即正四面体的高 h= 答案:C 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn 1-? 6 3?2 = . 3 ?3?

??? ?

???

??? ?

??? ?

??? ?

8.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点, |AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( A. 2 C.2 ) B. 3 D.3

x2 y2 x2 y2 解析: 设双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0, b>0), 焦点 F(-c,0), 将 x=-c 代入 2- 2= a b a b b4 1 可得 y2= 2, a b2 c 所以|AB|=2× =2×2a.∴b2=2a2,c2=a2+b2=3a2,∴e= = 3. a a 答案:B 9.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为( A. 2 3 B. D. 3 3 6 3 )

2 C. 3

解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为 1,

???? 则 BB1 =(0,0,1).
∵B1D⊥面 ACD1, ∴取 B1 D =(-1,-1,-1)为面 ACD1 的法向量. 设 BB1 与面 ACD1 所成的角为 θ, 1 3 则 sin θ= ???? ???? = = , 3 3 | BB1 || B1 D | ∴cos θ= 答案:D 10.若抛物线 y2=2x 上两点 A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线 y=x+b 对称,且 y1y2=-1, 则实数 b 的值为( 5 A.- 2 1 C. 2 解析:法一:直线 AB 的斜率为 kAB= y1-y2 y1-y2 = =-1, x1-x2 1 2 1 2 y1- y2 2 2 ) 5 B. 2 1 D.- 2 6 . 3 | BB1 · B1 D |

????

???? ????

2 2 即 y1+y2=-2,y2 1+y2=(y1+y2) -2y1y2=6.

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线段 AB 的中点为

?x1+x2,y1+y2?=?y1+y2,-1?=?3,-1?, ? 2 ? ? 4 ? 2 ? ?2
5 代入 y=x+b,得 b=- . 2 法二:设直线 AB 的方程为 y=-x+m 与 y2=2x 联立,消去 x 得 y2+2y-2m=0. 则 y1+y2=-2,y1y2=-2m. 1 由 y1y2=-1 得 m= . 2 设 AB 的中点为 M(x0,y0), y1+y2 则 y0= =-1, 2 3 x0=m-y0= , 2 3 又 M( ,-1)在 y=x+b 上, 2 5 ∴b=- . 2 答案:A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.把答案填写在题中的横线上) 11.在平面直角坐标系 xOy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y)满足 OP · OA =4,则动点 P 的轨迹方程是________. 解析:由 OP · 1+y· 2=4,因此所求动点 P 的轨迹方程为 x+2y-4=0. OA =4 得 x· 答案:x+2y-4=0 12.命题“?x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围是________. 解析:∵?x∈R,2x2-3ax+9<0 为假命题, ∴?x∈R,2x2-3ax+9≥0 为真命题, ∴Δ=9a2-4×2×9≤0,即 a2≤8, ∴-2 2≤a≤2 2. 答案:[-2 2,2 2 ] 13.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 和 N 分别是 A1B1 和 BB1 的中点,那么 直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为________. 解析:建系如图, 1 ? 1? ? 则 M? ?1,2,1?,N?1,1,2?, A(1,0,0),C(0,1,0)

2

2

??? ? ???

??? ? ???

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???? 1 ? ∴ AM =? ?0,2,1?,

??? ? 1? CN =? ?1,0,2?. ? 1 ???? ??? ? ???? ??? AM · CN 2 2 ? = = . ∴cos〈 AM , CN 〉= ???? ??? | AM || CN | 5 5
4 2 即直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 . 5 2 答案: 5 x2 y2 14.在双曲线 2- 2=1 上有一点 P,F1、F2 分别为该双曲线的左、右焦点,∠F1PF2= a b 90° ,△F1PF2 的三条边长成等差数列,则双曲线的离心率是________. 解析:不妨设点 P 在右支上,则 2|PF1|=|PF2|+|F1F2|,又|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|=2c -2a,|PF2|=2c-4a.又|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴e2-6e+5=0.又 e>1,∴e=5. 答案:5 三、解答题(本大题共 4 小题,满分 50 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) x2 y2 15.(本小题满分 12 分)已知命题 p:方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆;命题 q: 2 m ?x∈R,4x2-4mx+4m-3≥0.若(綈 p)∧q 为真,求 m 的取值范围. 解:p 真时,m>2. q 真时,4x2-4mx+4m-3≥0 在 R 上恒成立. Δ=16m2-16(4m-3)≤0,1≤m≤3. ∵(綈 p)∧q 为真,∴p 假,q 真.
? ?m≤2, ∴? 即 1≤m≤2. ?1≤m≤3, ?

∴所求 m 的取值范围为[1,2]. 16.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD⊥底 面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2,PA⊥PD,底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O 为 AD 中点. (1)求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值; (2)求 B 点到平面 PCD 的距离. 解:(1)在△PAD 中,PA=PD,O 为 AD 中点,所以 PO⊥AD,又侧 面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PO?平面 PAD,所

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以 PO⊥平面 ABCD. 又在直角梯形 ABCD 中,易得 OC ⊥AD,所以以 O 为坐标原点,OC 为 x 轴,OD 为 y 轴,OP 为 z 轴建立空间直角坐标系, 则 P(0,0,1),A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0), ∴ PB =(1,-1,-1),易证:OA⊥平面 POC, ∴ OA =(0,-1,0)是平面 POC 的法向量,

???

???

??? ??? ??? ??? PB · OA 3 cos〈 PB , OA 〉= ??? ??? = . | PB || OA | 3
∴直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值为 6 . 3

(2) PD =(0,1,-1), CP =(-1,0,1), BP =(-1,1,1). 设平面 PDC 的一个法向量为 u=(x,y,z).

??? ?

???

???

??? ? u· CP =-x+z=0, 则? ??? 取 z=1,得 u=(1,1,1). ? PD =y-z=0, ? u· ??? | BP · u| 3
∴B 点到平面 PCD 的距离为 d= |u| = 3 . 17.(本小题满分 12 分)如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AB=1, AC=AA1= 3,∠ABC=60° .

(1)证明:AB⊥A1C; (2)求二面角 A-A1C-B 的正切值大小. 解:法一:(1)证明:∵三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱,∴AB⊥AA1. 在△ABC 中,AB=1,AC= 由正弦定理得∠ACB=30° , ∴∠BAC=90° ,即 AB⊥AC,∴AB⊥平面 ACC1A1, 又 A1C?平面 ACC1A1,∴AB⊥A1C. (2)如图,作 AD⊥A1C 交 A1C 于 D 点,连接 BD,又 AB⊥A1C, ∴A1C⊥平面 ABD, ∴BD⊥A1C, ∴∠ADB 为二面角 A-A1C-B 的平面角. 在 Rt△AA1C 中, 3× 3 AA1· AC 6 AD= = = , A 1C 2 6 AB 6 在 Rt△BAD 中,tan ∠ADB= = , AD 3 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn 3,∠ABC=60° ,

∴二面角 A-A1C-B 的正切值为

6 . 3

法二:(1)证明:∵三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱, ∴AA1⊥AB,AA1⊥AC,在△ABC 中,AB=1,AC= =60° ,由正弦定理得∠ACB=30° ,∴∠BAC=90° , 即 AB⊥AC.如图建立空间直角坐标系. 则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0, 3,0),A1(0,0, 3), ∴ AB =(1,0,0), A1C =(0, 3,- 3), ∵ AB ·A1C =1×0+0× 3+0×(- ∴AB⊥A1C. (2)取 m= AB =(1,0,0)为平面 AA1C1C 的法向量.设平面 A1BC 的法向量 n=(x,y,z), 3,∠ABC

??? ?

????

??? ? ????

3)=0,

??? ?

??? ? ? BC =0, ?n· ?-x+ 3 y=0, 则? ???? ∴? ? 3y- 3z=0, ? ?n·A1C =0,
∴x= 3y,y=z,令 y=1,则 n=( 3,1,1), ∴cos 〈m,n〉= = m· n |m|· |n|
2 2 2

3×1+1×0+1×0 ? 3? +1 +1 · 1 +0 +0 1-? 6 , 3
2 2 2



15 , 5

∴sin〈m,n〉= ∴tan〈m,n〉=

10 15?2 = , 5 ? 5 ?

∴二面角 A-A1C-B 的正切值为

6 . 3

18.(本小题满分 14 分)已知定点 C(-1,0)及椭圆 x2+3y2=5,过点 C 的动直线与椭圆相 交于 A,B 两点. 1 (1)若线段 AB 中点的横坐标是- ,求直线 AB 的方程; 2

MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在, (2)在 x 轴上是否存在点 M,使 MA ·
请说明理由. 解:(1)依题意,直线 AB 的斜率存在, 设直线 AB 的方程为 y=k(x+1), 将 y=k(x+1)代入 x2+3y2=5, 消去 y 整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

??? ?

??? ?

Δ=36k -4?3k +1??3k -5?>0, ? ? 则? 6k2 x + x =- . ② 1 2 ? 3k2+1 ? 1 由线段 AB 中点的横坐标是- , 2 得 x1+x2 3k2 1 =- 2 =- , 2 2 3k +1

4

2

2



3 解得 k=± ,适合①. 3 所以直线 AB 的方程为 x- 3y+1=0,或 x+ 3y+1=0.

MB 为常数. (2)假设在 x 轴上存在点 M(m,0),使 MA ·
当直线 AB 与 x 轴不垂直时, 3k2-5 6k2 由(1)知 x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 .③ 3k +1 3k +1 所以 MA · MB =(x1-m)(x2-m)+y1y2 =(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1) =(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2. 将③代入,整理得

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ?6m-1?k2-5 MA · MB = +m2 2
3k +1 1 14 ?2m- ??3k2+1?-2m- 3 3 = +m2 3k2+1 1 6m+14 =m2+2m- - . 3 3?3k2+1?

MB 是与 k 无关的常数, 因为 MA ·
??? ? ??? ? 4 7 MB 从而有 6m+14=0,m=- ,此时 MA · = . 3 9
当直线 AB 与 x 轴垂直时,点 A,B 的坐标分别为?-1,

??? ? ??? ?

?

2? ? 2 , -1,- ?, 3? ? 3?

??? ? ??? ? 4 7 MB 当 m=- 时,亦有 MA · = . 3 9 ??? ? ??? ? 7 - ,0?,使 MA · MB 综上,在 x 轴上存在定点 M? 为常数. ? 3 ?

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