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不等式的证明方法及其应用


2 0 1 3 年第 5 期 

数 学 教 育研 究 

?4 5 ?  

不 等 式 的证 明方 法 及其 应 用 
张 陈 莹  ( 南京师范大学泰州学院强化部 2 2 5 3 0 0 )  
在实 际生活 与生 产实 践 的各个 领域 中, 不 等式 出   现 的几 率 远 大 于 等 式 出现 的 几 率 , 另一 方面 , 不 等 式 在  中学 数 学教 学 中 占有 非 常 重 要 的 地 位 , 例 如 在 高 中 数  学竞赛 中 , 会 出现 大 量 运 用 不 等 式 才 能 解 决 的 问 题 . 不  仅如此 , 每年 的高考 中也 必 然会 出现 有关 不等 式 的 问   题. 实际上 , 有 关 不 等 式 的 问 题 之 所 以 能 受 到 命 题 者 的  分析 : 可 以应 用 数 学 归 纳 法 证 明 的一 般 步 骤 :   ① 显 而 易 见 当  一3时 , 3   >4 。 , 所 以命 题 成 立 .   ② 假 设  一k时 命 题 成 立 , 即k   >(   +1 )   .  

③当   = k . 4 1 时 ,  

+ 1 ) \   k " 4 1 )  

青睐 , 其 原 因在 于 : 首先, 但 凡 是 不 等 式 的 问 题 都 有 一  定 的难 度 ; 其次, 解 决 不 等 式 证 明 问 题 的 方 法 非 常 灵 
活, 一般没有 固定 的套 路 ; 最后 , 不 等 式 的 证 明 能 有 效  的反 映学 生 的 思 维 创 造 能 力. 本 文通过 举例 , 归 纳 中 学  阶段 不 等 式 的 几 种 重 要 证 明 方 法 , 使 学 生 能 更 进 一 步  理解 和掌握不等式证 明的 一 般 思路 和 步 骤 .  

> ( ㈩) (   )  一  

>  

> l , 所以 得 ,  

( k +1 ) 抖   >(   +2 ) H  , 所 以原 命 题 成 立 .   小结: 在数学 归纳 法证 明 的第二 步“ 递 推” 运 算 过  程 中, 这 里 同 时 也 采 用 了 商 值 比 较 法 来 证 明 幂 的 不 等  式. 由此 得 出 , 在数 学归 纳法第 ② 、 ③ 步 会 运 用 了其 他  不 等式 转 化 的方 法 . 例 如 本 题 中 第 ③ 步 中运 用 放 缩 法 ,  

1   比较 法 
比 较 法 是 证 明不 等 式 的最 基 本 也 是 最 重 要 的 方 法  之一, 它 是 比较 两个 代 数 式 大 小 . 比 较 法 又 可 分 为 差 值  比较 法 和 商 值 比较 法 .   例 1 证 明不等式 n   +b 。 +C   ≥a b +b c +c 口   分析: 首先 对不 等式 两边 的式 子 进 行作 差 , 即得 :  
d 。 +b   +c   一( a b +b c +C O . ) ,  

即将 

放 缩 为 

. 在 应 用 数 学 归 纳 法 证 明 不 等 式 

的过程中 , ① 、 ③ 两个步骤缺一不可. 因 为 步骤 ① 不 是  简 单 的 验证 等 式 成 立 , 也不 能直接表 明显然 成立 , 而 需  要 严 格 的证 明 ; 步骤③ 是递推 过程 , 则需 要在假设 当 n   k (   ∈Z  , 且 ≥ ‰ ) 时, 结 论 成 立 的前 提 下 , 证 明 当.  


:k + 1时命 题 也 成 立 , 同样不 是直 接得 出 当 n —k +1   时命 题 成立 的 结 论 , 也 不 是 简 单 的递 推 .  

整理得 :÷ E 2 a   +2 b   +2 c   一2 ( a b "b 4 c "c 4 a ) ]  


3   放 缩 法 
放缩法又包括增减法 、 加强不等 式法. 在 证 明 过 程  中, 需 要 利 用 不 等 式 的传 递 性 , 将 原 不 等 式 适 当 的 放 大  或缩小. 高 考 中 利 用 放 缩 法 证 明 不 等 式 一 般 出 现 在 理  科 卷中 , 且 多 为压 轴 题 . 放 缩 法 证 明 不 等 式 有 一 定 的 总  的思路 可循 , 但具 体例 子 中, 又 变 得 灵 活 多 变. 所 以 它  综合性 很强 , 形 式复 杂, 对 学生 的运算 能力 、 思 维 的 严  密 性 以 及 提 取 和 处 理 信 息 的 能 力 多 具 有 一 定 的 考 
查 性.  

÷[ ( a -6 )   4 - ( b -c ) 。 +( c -口 )   ] ≥0  

恒成立 , 当且仅当 。 一6 一c 时等号成立.  

例 2 用 商值 比较法 证 明 n 。 4 - b 。 >。   b +a b   ( n 、 b   均为正实数 , 且n ≠6 ) .  
a   2 b — .  4 a _ l 首先 , 因为 口 。 +6 。 >O , Ⅱ   b +a b   >0 , 所 以  b 2   ( a -b ) Z .a 4 b

一  

n6  

n6

+ 1 , 又 因为 口 , 6   … … … …  
口 

例4 ( 1 ) 已知数列{ n   } , n   一( 一1 ) 计   ÷, 其前  项  
和 为  , 求 证  < 
要证明此题 , 首先要找 到 S z   的通 项 公 式 , 因 为 由题 

为不等正数 , 所 以 

nD 

>o , 所以  

O   4 .1 >1 .  

分析 : 所 以 可 以证 得 “ 。 +b 。 >n 。 6 +a 6 。 .   小结 : 比较法证明不等式 是最基 础 、 最 简 单 的 一 种  证明方法. 其一般步骤 为① 作 差 ; ② 变形 ; ③ 配 方. 作  商 比较 法 的 基 本 步 骤 : ① 判 定 式 子 的符 号并 作商 ; ②  变形 ; ③ 判 定 作 商 后 的商 值 大 于 1 或 等 于 1或 小 于 1 ;   ④ 结论.  

可 知 s   一 1 一   1 十   1 一 … +   圭   一   1 ,  
则令 b   一  1 二  , { 6   } 的 前  项 和 为 T   ? 所以  

2 数 学 归 纳 法 
般地 , 在证明与正整数 相关 的不等 式时 , 通 常 可  以选用数学归纳 法. 归 纳 法 的一 般 步 骤 如 下 :   ① 证 明当 , z 取 第 一 个 值 即例 如 。 一1 ( 其 中 1为 初  始值) 时, 命题成立 ;   ② 归 纳假 设 : 当  — k , k∈   且 k ≥ ‰ 时 命 题  成立 ,  


当   , b   ≤   一 { (  一  )   一  ≤  +  +  +   1 ( 了 1 一   1 ) + … + {  
(   _1 )  7  4 n < 譬  


则命题成立.  

③ 证 明 当  —k + 1时 不 等 式 成 立 . ( 该 步 必 须 应 用 
到② )  

例4 ( 2 )   证 明: —  
.  

24 n  

一 ̄ /  

首先 , 我们要将不等式变形为 :  

则 由① 、 ② 、 ③ 可知 , 命 题 对 任 何 ∈ z  都 成 立 .   例 3 求证 : 对 自然 数 ≥ 3 ,  - 。 >(  + 1 )  

2 √   ≥ - 

=  

? 

4 6  ?  

数 学教 育研 究 

2 0 1 3 年 第 5期 

第二步 , 将 化 简 后 的等 式 的 不 右 面 再 进 一 步 简 化 ,  

例5 ( 2 ) 若 P >0 , q >0 , P 。 +   一2 , 求证: P +q  
≤2 .  



1  

一   = 

1 ×( √   + ̄ /   一1 )

4 n _  

L Z -  

+ ̄ / , 2 —1 ,  

因为√ n > ̄ / n 一1 显然成 立 , 所 以就将  ̄ / n 一1 放 缩  看成√   , 所以2 √   ≥  4 -  ̄ /   一1 显然成立.  
小结 : 例 题 是 采用 放缩 后 迭 加 . 放 缩 的 方 法 是 加 上  或减去一个常数 , 也是不等 式证 明中常用 的放缩手 法.   值 得 注 意 的是 , 本 题 如 果从 第 二 项 开 始 放 大 , 就 得 不 到  证明结论 , 只有前 三项 不变 , 从 第 四项开 始放 大 , 命 题  才得到证 明, 这也 是本 题 的 亮 点 所 在 .  

证 明: 首 先 先 假设  + q >2 , 那 么得 : ( P +q ) 。 >8 ,   将 3次 方 展 开 得 :P 。 +q 。 +3 p q (  +q ) >8 .   由题 中条 件 一 一  +q ; _ 一2 , 则得到 : P q ( P +( f ) >2   所以 P q ( P4 -q ) > 2一 P   4 - q 。= =( P4 -q )( P  一 pq +  q   ) , 又 因为 p >0 , q >O , 所以可知 : p +q >O   所 以推 导 得 : p q >P   一加 +q   , 即( P— q )   <o , 因  为 某 个 数 的平 方 大 于或 等 于 零 恒 成 立 , 则导出矛盾.   所 以假 设 不成 立 , 即命 题  +q ≤2 成 立.  

5   结  论 
本 文 主要 在 于 向读 者讲 述 在 不 等 式 证 明 中 一 些 常  见 的基 本 方 法 , 由不 等 式 的 定 义 及 思 想 核 心 出发 , 将 这  些方法进行一个 总的归纳、 整 理. 使 读 者 更 容 易 的 从 中  获取 自己想 要 的信 息. 希 望 读 者 在 阅读 的 同 时 , 自 己 也  细心 发 现 不等 式 的 证 明 过 程 中 的 一 系 列 其 他 方 法 , 从  而全面掌握不等式的证明.  
参考文献 :   [ 1 ]翁 凯 庆 . 数 学 教 育 学教 程 [ M] . 四 川 大 学 出版 
社 , 2 O 1 0 .  

4   反 证 法 
反证 法: 又称归谬法 、 背 理法 , 是一种论 证方 式 , 他 

首先假设某命题不成立 ( 即 在 原 命 题 的条 件 下 , 结 论 不  成立) , 然后推理 出 明显矛 盾 的结果 , 从 而 下 结 论 说 原 
假设不成立 , 原命题得证.   当证 明不 等式 时 , 若 从 正 面 直 接 证 明 有 困难 时 , 这  时可 以考 虑 用 反 证 法 来 证 明 . 通 过反证 法来证 出矛盾 ,   来 得 到 命 题 的成 立 . 首先 , 反 证 法 证 明 不 等 式 的 一 般 步 

骤为 : 第一步 、 反设 ; 第 二步 、 推理; 第 三步 、 导 出矛盾 ;   最后 、 得 出结 果 .   例s ( 1 ) 求证 : √ 2 不 是 有 理 数 
^  

证明 : 假  2 为有理数 , 那么 即设√ 2 一  , ( P 、 q为 
互 质 的两 个 正 整 数 ) , 然 后我 们将 式 子进行 两边 平方 ,   得: 2 q   一P   , 则 P 。为 2的倍 数 , P也 为 2的 倍 数 , 则 我  们就假设 p 一2 a ( a为正 整 数 ) , 将 上式整 理得 : q   一2 a ,   所以 q  为 2的 倍 数 , 则 q也 一 定 是 2的倍 数 . 所 以 P, q  

r - 2 3蔡 玉 书. 数 学 奥 林 匹克 不 等 式 证 明 方 法 和 技 巧  [ M] . 哈 尔滨 工 业 大 学 出版 社 , 2 0 1 1 .   1 - 3 3( 越) P h a m  Ki m  Hu n g . 不 等 式 的 秘 密. 第 一 卷  [ _ M] . 哈 尔滨 工 业 大 学 出版 社 , 2 O 1 2 .   [ 4 ]( 英) G . H.Ha r d y , J . E . L i t t l e w o o d , ( 美) G.   P o l y a . 不等 式. 人 民 邮 电 出版社 , 2 0 0 8 .   E s ]蔡 玉 书. 重要 不等 式[ M] . 中 国科 技 技 术 大 学 
出版 社 。 2 0 1 1   . ‘  

都 为 2的 倍 数 , 所以 P , q不 互 质 , 与假设矛 盾 , 所 以√ 2  
不是 有理 数 . 即命 题 成 立 .  

[ 责任编 校

钱骁 勇]  

( 上接 第 5 9页 )  
例 5   已知 如 图 5 , 一 

因为 : 四边 形 AB CD 是 矩 形 
所 以: BC= AD 
即: z+ z4 -( z4 -1 ) :( T+ 2 ) -( 4  +3 )  

块 电 脑 屏 幕 上 出 现 矩 形  AB C D色块 图 , 它 是 有 6个 

解得 : z一 4  
所以: AB  ( 3 2 +1 ) +( 3 2 +2 ) =( 4+ 1 )4 -( 4   - 2) 4  
一 1 1  

颜 色 不 同 的 正 方 形 
Q KJ R, 正 方 形 KG HN, 正  方 形 NHC M ,正 方 形 

BC一 3 2 + z4 -( z4 -1 ) 一4 - 44 4 -( 44 -1 ) 一l 3  

EJ MD, 正 方 形 EAFR, 正 

所以: 矩 形 ABCD 的 面 积 一 

方形 F B G Q组 成 , 其 中, 正 

图5  

A  ×  C  一 ¨ Xl 3一 l 43  

\  

方形 K GHN, 正方 形 NHC M 的边 长相 同 , 中 间 最 小 的 


例 6   已 知 如 图 6有 五 个 边 

个 正 方形 QK . , R 的边 长 为 1 , 求 矩 形 AB C D 的面 积 .   解: 因为 正方 形 K G HN, 正 方形 NHC M 的边长 相 同 ,   所以: 设 正方 形 KG HN, 正 方形 NHC M 的边长 为 z  
因为 : 正方形 Q KJ R 的边 长为 1   则 : 正方形 F B G Q的边长为( z +1 )  

长 为 1的 正 方 形 纸 片 , 要 把 纸 片  剪成 三 块 , 拼 成 一 个 正 方 形 AB —   C D, 请 你 在 原 图 上 画 出剪 裁 线 和 
拼 成 的 正 方形 .  
解: 如 图 

f   I  
\  
\ \  

D 

C 

图6  

正方形 E AF R的边长为(  +2 )  
正方 形 E J MD 的边 长 为 ( z +3 ) ,  

[ 责 任编 校



蓓]  


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