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杨辉三角与二项式系数的性质ppt


二项定理: 一般地,对于n ∈ N*有

(a ? b) ? C a ? C a
n 0 n n 1 n

n ?1

b?C a
2 n r

n? 2

b ?
2 n

?C a
r n

n? r

b ?

?C b
n n

课前练习: 45 项. 1. 乘积 ? a1 ? a2 ? a3 ?? b1 ? b2 ? b3 ?? c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? c5 ? 有___ 2.展开 ? a ? b ? ,其中 a b
5

2 3

3 C 5 ? 10 的系数是______.

二项展开式中的二项式系数指的是哪些?共有多少个? 下面我们来研究二项式系数有些什么性质?我 们先通过观察n为特殊值时,二项式系数有什么特 点?

计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1

(a+b)n展开式的二项式系数
1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15

1 4 10 20

1 5 15

1 6

1

对称性

杨 辉

《详解九章算法》中记载的表

杨辉三角

(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6
1)请看系数有没有明显的规律?
2)上下两行有什么关系吗?

3)根据这两条规律,大家能写出下面的系数吗?

(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6
①每行两端都是1 上的两个数的和

+

+
+ +

+

+
+

+

+
+

+

+
+

+ +

Cn0= Cnn=1

②从第二行起,每行除1以外的每一个数都等于它肩

C ?C
m n

m ?1 n

?C

m n ?1

(a ? b) 展开式的二项式 0 1 2 n 系数依次是: Cn , Cn , Cn ,?, Cn
n
r C 从函数角度看, n 可看 成是以r为自变量的函数 f (r ) , 其定义域是:?0,1,2,?, n?

当 n ? 6 时,其图象是右 图中的7个孤立点.

(1)对称性 与首末两端“等距离”的两 个二项式系数相等. 这一性质可直接由公式 m n?m C n ? C n 得到. n 图象的对称轴: r ? 2

(2)增减性与最大值
k C 由于: n ?

n ? k ? 1 ?1 所以C 相对于Ck 决定. n 的增减情况由 k n ? k ?1 n ?1 由: k ? 1 ? k ? 2
k n

n(n ? 1)(n ? 2) (n ? k ? 1) k ?1 n ? k ? 1 ? Cn ? k ? (k ? 1)! k

n ?1 可知,当 k ? 时, 2

二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知它的 后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。

(2)增减性与最大值 因此,当n为偶数时,中间一项的二项式 系数 C
n 2 取得最大值; n
n ?1 2 、 n

C

n ?1 2 相等,且同时取得最大值。 n

当n为奇数时,中间两项的二项式系数 C

(3)各二项式系数的和 在二项式定理中,令 a ? b ? 1,则:

C ? C ? C ? ?? C ? 2
0 n 1 n 2 n n n

n

这就是说,
(a ? b)n 的展开式的各二项式系数的和等于:2 n

n 一般地,(a ? b 展开式的二项式系数 )

C , C , ?C
(1)C m
n

0 n

1 n

n 有如下基本性质: n

? Cnn?m (对称性)

(2)C

m n

?C

m ?1 n

?C

m n ?1
n 2 n

(3)当n为偶数时,C 最大
当n为奇数时, C
( 4) C
0 n 1 n
n ?1 2 n

=C

n ?1 2 n

且最大

? C ??? C ? 2
n n

n

“斜线和”

…… ……… 2 r n? 2 r ?1 1 第n-1行 1 C n ?1 C n ?1 … C n ?1 C n ?1 … C n ?1 1 r n ?1 2 1 … … 第n 行 1 C n C n Cn Cn …… … …

第0 行 第1 行 第2 行 第3 行 第4 行 第5 行 第6 行 第7 行

1 1 1 1 1 4 3 6
+

1 2 3
+

1 1

1 4 + 10 10 5 1 5 1 + 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1

1

C

2 n
3 n
4 n

C
C ?C
r r r r ?1

C
?C
r r ?2

? ??? ? C

r n?1

?

C

r ?1 n

从第三个数起,任一数都等于前两个数的和, 如图,写出斜线上各行数字的和,有什么规律? 这就是著名的斐波那契数列 ,也称为兔子数列。 第0 行 第1 行 第2 行 第3 行 第4 行

1
1 1

1 1 1 4 3

2 3 6

1 1 4 1

第5 行 1 5 10 10 5 1 第6 行 1 6 15 20 15 6 1 第7 行 1 7 21 35 35 21 7 1 第8 行 1 8 28 56 70 56 28 8 1

……

斐波那契数列
斐波那契 (1170?1250)
意大利商人兼数学家,他 的著作《算盘书》中,首 先引入阿拉伯数字,将 “十进制”介绍给欧洲 人认识,对欧洲的数学 发展有深远的影响。

例1 证明:在(a+b)n展开式中,奇数项的二项式系数 的和等于偶数项的二项式系数的和。

(a ? b) ? C a ? C a b ? ? ? ? ? C a b ? ? ? ?C b
n 0 n n

1 n ?1 n

r n?r r n

n n n

在二项式定理中,令

a ? 1, b ? ?1 ,则:
3 n n n n

?1 ?1?
0 n

n

? C ? C ? C ? C ? ? ? ? ? (?1) C
0 n 1 n 2 n

0 ? (C ? C ? ? ? ?) ? (C ? C ? ? ? ?)
0 n 2 n 1 n 3 n

C ? C ? C ? ??? ? C ? C ? C ? ???
2 n 4 n 1 n 3 n 5 n

已知 (1 ? 2 x)

? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? a7 x ? a7 ; - 2 求:(1) a1 ? a2 ?
7 2

7

(2)

a1 ? a3 ? a5 ? a7 ; ?1094
? a2 ? a4 ? a6

(3) a0

? | a7 | 2187 (4)| a0 | ? | a1 | ? 课外作业: 1.若(2 x ? 3)4 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? a3 x 3 ? a4 x 4

37 ? 1 ; 2 ? 1093

,

1 则 (a0 ? a2 ? a4 ) ? (a1 ? a3 ) 的值是____.
2 2

? ? 1 4 4.已知 ? x ? 的展开式中只有第 10 项系数最大 , ? 3 ? ? x ? ? 求第五项 n 解 依题意, n为偶数 且 ? 1 ? 10, n ? 18. 2

n

? T5 ? T4?1 ? C

4 18

? x?

18? 4

? 1 ? 4 4 ? 3060 x ? ? 3 ? x ? ? ?

4

变式:若将“只有第10项”改为“第10项” 呢?

类型:求展开式中系数最大的项

例5: 求?1 ? 2x? 的展开式中系数最大的 项
10

方法:利用通项公式建立不等式组

变式练习:

在(3x -2y)20的展开式中,求:
(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项. 解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则

C ?3
r 20 r 20

20 ? r 20 ? r

?2 ? C
r r

r ?1 20 r ?1 20

?3 ?3

19 ? r 21? r

?2 ?2

r ?1 r ?1

C ?3


?2 ? C

3(r+1)>2(20-r) 解得 2(21-r)>3r
8 20 12 8

2 2 7 ?r?8 5 5

所以当r=8时,系数绝对值最大的项为

T9 ? C ? 3 ? 2 ? x y

12 8

小 结

?对称性 ? (1)二项式系数的三个性质 ?增减性与最大值 ?各二项式系数的和 ?

(2) 数学思想:函数思想 a 单调性; b 图象; c 最值.

0 1 2 2.求证: Cn ? 2Cn ? 3Cn ?

? ? n ?1? C ? ? n ? 2? ? 2
n n

n?1


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