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浙江省嘉兴市2016届高三教学测试(一)数学理试题


嘉兴市 2016 年高三教学测试(一)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1. 函数 f ( x ) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x 的最小正周期为 A.

?
4

B.

?
2

C. ?

D. 2?

?x2 ? 4 2. 设函数 f ( x ) ? ? ? 2x
A. ? 6

x?0 ,则 f [ f (1)] 的值为 x?0
B. 0 C. 4 D. 5

?x ? y ? 3 ? 0 ? 3.设变量 x , y 满足约束条件: ? x ? y ? 1 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? 3 y ? 4 的最小值为 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?

A. 10

B. 11

C. 12

D. 27

4.若 ? 是第二象限角, tan( A. ?
3 5

?
3 3 5

? ?) ?

4 ? ,则 cos( ? ? ) ? 3 3

B.

C.

4 5

D. ?

3 5

5.已知 f ( x ) ? ax 3 ? b 3 x ? 4 (a , b ? R ) , f [lg(log 3 2)] ? 1 ,则 f [lg(log 2 3)] 的值为 A. ? 1 B. 3 C. 7 D. 8

6.如图, B 、 D 是以 AC 为直径的圆上的两点,其中 AB ? t ? 1 , AD ? t ? 2 , 则 AC ? BD = A. C. B. 2
A
C
? ?

B

D

D. 2t

(第 6 题) ·1·

7.已知双曲线
y??

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a , b ? 0) , 若 焦 点 F 关 于 渐 近 线 y ?

b x 的 对 称 点 在另 一 条 渐 近 线 a

b x 上,则双曲线的离心率为 a

A. 2

B. 2

C. 3

D. 3
S ?BCD 的值取到最大值时,二 S ?ACD

8.已知三棱锥 ABCD 中, AB ? CD ,且 AB 与平面 BCD 成 60° 角.当 面角 A ? CD ? B 的大小为 A.30° B.45° C.60°

D.90°

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 7 小题,共 36 分) 9.设全集 U ? R ,集合 A ? { x | 1 ? x ? 3} , B ? { x | x ? 2} ,则 A ? B ? ▲ ,

A? B ?



, A ? ( ? R B) =



. ▲ ,该否命题是一个 ▲

10.已知命题 p :“若 a 2 ? b 2 ,则 a ? b ”,则命题 p 的否命题为 命题. (填“真”,“假”)

11.如图是一个几何体的三视图,正视图是边长为 2 的正三角形,俯视图是等腰直角三角形,该几 何体的表面积为 ▲ ,体积为 ▲ .

第 11 题

12.若函数 f ( x ) 是幂函数,则 f (1) ?



1 ,若满足 f (4) ? 8 f ( 2) ,则 f ( ) ? 3





13.空间四点 A、B、C、D 满足 | AB |? 1 ,| CD |? 2 , E、F 分别是 AD、BC 的中点,若 AB 与 CD
·2·

所在直线的所成角为 60° ,则 | EF |? 14.已知 F1、F2 分别是椭圆 C :





x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点, A 是其上顶点,且 ?AF1 F2 是等

腰直角三角形,延长 AF2 与椭圆 C 交于另一点 B ,若 ?AF1 B 的面积为 6 ,则椭圆 C 的方程为 ▲ .

15.已知等差数列 {a n } 满足 a 9 ? 0 ,且 a 8 ?| a 9 | ,数列 {bn } 满足 bn ? an an?1an? 2 ( n ? N * ) , {bn } 的前
n 项和为 S n ,当 S n 取得最大值时, n 的值为





三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 分别是边 a、b、c 的对角,且 3a ? 2b , (Ⅰ)若 B ? 60 0 ,求 sin C 的值; (Ⅱ)若 b ? c ?
1 a ,求 cos C 的值. 3

17. (本题满分 15 分) 如图,平行四边形 ABCD ? 平面 CDE , AD ? DC ? DE ? 4 ,
?ADC ? 60 0 , AD ? DE

A

B

(Ⅰ)求证: DE ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 C ? AE ? D 的余弦值的大小.
D

C

18. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ? x 2 ? ax ? 1 ,

E

(第 17 题)

(Ⅰ)设 g ( x ) ? ( 2 x ? 3) f ( x ) ,若 y ? g ( x ) 与 x 轴恰有两个不同的交点,试求 a 的取值集合;
·3·

(Ⅱ)求函数 y ?| f ( x ) | 在 [0,1] 上的最大值.

19. (本题满分 15 分) 过离心率为

y2 x2 2 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F (1,0) 作直线与椭圆 C 交于不同的两 2 a b

点 A、B ,设 | FA |? ? | FB | , T ( 2,0) . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 1 ? ? ? 2 ,求 ?ABT 中 AB 边上中线长的取值范围.

20. (本题满分 15 分) 数列 {a n } 各项均为正数, a 1 ? (Ⅰ)求
1 2 ,且对任意的 n ? N * ,有 a n?1 ? a n ? ca n (c ? 0) . 2

c c 1 ? ? 的值; 1 ? ca 1 1 ? ca 2 a 3
1 ,是否存在 n ? N * ,使得 a n ? 1 ,若存在,试求出 n 的最小值,若不存在,请说明 2016

(Ⅱ)若 c ?

理由.
·4·

2016 年高三教学测试(一)
理科数学
合题目要求的) 1.C; 5.C; 2.A; 6.A; 3.B; 7.B; 4.A; 8.A.

参考答案

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

二、填空题(本大题共 7 小题,共 36 分) 9. [2,3] , (1,?? ) , (1,2) ; 11. 4 ? 3 ? 7 , 13. 15. 6.
3 7 或 ; 2 2 2 3 ; 3

10.若 a 2 ? b 2 ,则 a ? b ,真; 12., 14.
1 ; 27

x2 2y2 ? ?1; 9 9

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 分别是边 a、b、c 的对角,且 3a ? 2b , (Ⅰ)若 B ? 60 0 ,求 sin C 的值; (Ⅱ)若 b ? c ?
1 a ,求 cos C 的值. 3

解: (Ⅰ)∵ 3a ? 2b ,∴ 3 sin A ? 2 sin B
·5·

又∵ B ? 60? ,代入得 3 sin A ? 2 sin 60? ,解得 sin A ? ∵ a : b ? 2 : 3 ,∴ A ? B ,即 cos A ?
6 3 3?3 2 . 6

3 . 3

∴ sin C ? sin( A ? B ) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

…7 分

(Ⅱ)设 a ? 2t , b ? 3t ,则 c ? b ?
a 2 ? b2 ? c2 则 cos C ? ? 2ab

1 7 a? t 3 3

7 ( 2t ) 2 ? ( 3t ) 2 ? ( t ) 2 17 3 . ? 2 ? ( 2t ) ? ( 3t ) 27

…7 分

17.(本题满分 15 分) 如图,平行四边形 ABCD ? 平面 CDE , AD ? DC ? DE ? 4 , ?ADC ? 60 0 , AD ? DE (Ⅰ)求证: DE ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 C ? AE ? D 的余弦值的大小. 证明: (Ⅰ)过 A 作 AH ⊥ DC 交 DC 于 H . ∵平行四边形 ABCD ? 平面 CDE ∴ AH ⊥平面 CDE 又∵ DE ? 平面 CDE ∴ AH ⊥ DE ① 由已知, AD ⊥ DE ② AH ? AD ? A ③ 由①②③得, DE ⊥平面 ABCD ; …7 分
E A B

D H

C

解: (Ⅱ)过 C 作 CM ⊥ AD 交 AD 于 M ,过 C 作 CN ⊥ AE 交 AE 于 N , 连接 MN . 由(Ⅰ)得 DE ⊥平面 ABCD , 又∵ DE ? 平面 ADE , ∴平面 ADE ⊥平面 ABCD . ∴ CM ⊥ AE , 又∵ CN 垂直 AE ,且 CM ? CN ? C . ∴ AE ⊥平面 CMN ,得角 CNM 就是所求二面角的一个平面角. 又∵ CM ? 2 3 , MN ? 2 ,
·6·

A

B

N M D
C

E

∴所求二面角的余弦值为

7 . 7

…8 分

18. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ? x 2 ? ax ? 1 , (Ⅰ)设 g ( x ) ? ( 2 x ? 3) f ( x ) ,若 y ? g ( x ) 与 x 轴恰有两个不同的交点,试求 a 的取值集合; (Ⅱ)求函数 y ?| f ( x ) | 在 [0,1] 上的最大值. 解: (Ⅰ) (1)若 f ( x ) ? 0 恰有一解,且解不为 即 a 2 ? 4 ? 0 ,解得 a ? ?2 (2)若 f ( x ) ? 0 有两个不同的解,且其中一个解为 代入得
9 3 13 ? a ? 1? 0 ,a ? ? 4 2 6 13 ,?2,2} . 6 3 , 2 3 , 2

综上所述, a 的取值集合为 {?

…7 分

(Ⅱ) (1)若 ? (2)若 0 ? ?

a ? 0 ,即 a ? 0 ,则 y max ? f (1) ? 2 ? a 2

a ? 1 ,即 ? 2 ? a ? 0 ,此时 ? ? a 2 ? 4 ? 0 2

? a ? 2 a ? ?1 y max ? max{ f (0), f (1)} ? max{1, a ? 2} ? ? a ? ?1 ? 1

(3)若 ?

a ? 1 ,即 a ? ?2 ,此时 f (1) ? 2 ? a ? 0 2

a ? ?3 ? 1 , y max ? max{ f (0),? f (1)} ? max{1,? a ? 2} ? ? ? a ? 2 a ? ?3 ?
a ? ?1 ? a?2 ? ?? 1 ? 3 ? a ? ?1 ?? a ? 2 a ? ?3 ?

综上所述, y max

…8 分

·7·

19. (本题满分 15 分) 过离心率为

y2 x2 2 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F (1,0) 作直线与椭圆 C 交于不同的两 2 a b

点 A、B ,设 | FA |? ? | FB | , T ( 2,0) . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 1 ? ? ? 2 ,求 ?ABT 中 AB 边上中线长的取值范围. 解: (Ⅰ)∵ e ?
2 , c ? 1 ,∴ a ? 2 , c ? 1 2

即椭圆 C 的方程为:

x2 ? y2 ? 1. 2

…7 分

(Ⅱ) (1)当直线的斜率为 0 时,显然不成立. (2)设直线 l : x ? my ? 1 ,设 A( x 1 , y 1 ) , B( x 2 , y 2 ) 联立 x 2 ? 2 y 2 ? 1 ? 0 得 ( m 2 ? 2) y 2 ? 2my ? 1 ? 0 得 y1 ? y 2 ?

? 2m m ?2
2

, y1 y 2 ?

?1 m2 ? 2



由 | FA |? ? | FB | ,得 y 1 ? ? ?y 2 ∵? ? ? ∴ m2 ?
( y1 ? y 2 ) 2 y1 y2 1 ? 4m 2 1 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ,∴ ? ? ?? y1 y 2 ? ? y2 y1 m ?2
2 7

又∵ AB 边上的中线长为
? 4m 4 ? 9m 2 ? 4 ( m 2 ? 2) 2

1 ? ? 1 | TA? TB |? ( x 1 ? x 2 ? 4) 2 ? ( y 1 ? y 2 ) 2 2 2

?

2 ( m ? 2)
2 2

?

7 m ?2
2

? 4 ? [1,

13 2 ] 16

…8 分

·8·

20. (本题满分 15 分) 数列 {a n } 各项均为正数, a 1 ? (Ⅰ)求
1 ,且对任意的 n ? N * ,有 a n?1 ? a n ? ca n 2 (c ? 0) . 2

c c 1 的值; ? ? 1 ? ca 1 1 ? ca 2 a 3
1 ,是否存在 n ? N * ,使得 a n ? 1 ,若存在,试求出 n 的最小值,若不存在,请说 2016

(Ⅱ)若 c ? 明理由.

证明: (Ⅰ)∵

1 1 ? a n ?1 a n ? ca n 2



1 1 c 1 1 c ? ? ? ? ,即 a n ?1 a n 1 ? ca n a n a n ?1 1 ? ca n

1 1 c ? ? a 1 a 2 1 ? ca 1 1 1 c ? ? a 2 a 3 1 ? ca 2

…… 1 1 c ? ? a n a n ?1 1 ? ca n ∴ ∴ 得
1 1 c c c ? ? ? ??? a 1 a n ?1 1 ? ca 1 1 ? ca 2 1 ? ca n 1 c c c 1 ? ? ??? ? a 1 1 ? ca 1 1 ? ca 2 1 ? ca n a n ?1 c c 1 1 ? ? ? ?2 1 ? ca 1 1 ? ca 2 a 3 a 1

(说明:依次求出 a 2 , a 3 也得满分) (Ⅱ)∵ a n ?1 ? a n ? 得
1 2 a n ? a n ,∴ {a n } 单调递增. 2016

1 ? a 1 ? a 2 ? ? ? a 2016 2

由 a n?1 ? a n ?

an 2016

2

?

1 1 1 ? ? a n a n ?1 a n ? 2016 1 a 2017 ? 1 1 1 ? ??? a 1 ? 2016 a 2 ? 2016 a 2016 ? 2016

? 2?

∵ a i ? 0( i ? 1,2, ? ,2016)
·9·

∴2?

1 a 2017

?

1 ? 2016 2016

解得: a 2017 ? 1 此时, a 1 ? a 2 ? ? ? a 2017 ? 1 又∵ 2 ? ∴2?
1 a 2018 1 a 2018 ? ? 1 1 1 ? ??? a 1 ? 2016 a 2 ? 2016 a 2017 ? 2016

1 ? 2016 ? 1 1 ? 2016

解得: a 2018 ? 1 即数列 {a n } 满足: a 1 ? a 2 ? ? ? a 2017 ? 1 ? a 2018 ? a 2019 ? ? . 综上所述,存在 a n ? 1 ,且 n 的最小值为 2018 . …8 分

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·10·


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