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江苏高考数学应用题题型归纳


应用题题型归纳
在备考中,需要重点关注以下几方面问题: 1.掌握常见函数如二次函数、三次函数、有理分式函数(尤其二次分式函数 、无理函数等最值的求法,用导数求函数最值要引起重视; 2.加强阅读理解能力的培养, 对图形的辨认、 识别、 分析寻找等量关系式的训练要加强;3. 对于由图标(尤其表格)给出的函数应用题的训练要重视; 4.应用题的背景图形可能由平面多边形、空间多面

体转为由平面曲线,如圆,抛物线等围 成的图形;空间旋转体等的面积、体积的最值问题 5.熟悉应用题的解题过程:读题、建模、求解、评价、作答.

一、利润问题
1、某种商品原来每件售价为 25 元,年销售 8 万件. (1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2000 件,要使销售的总收入 不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革 1 2 新和营销策略改革,并提高定价到 .x 元.公司拟投入 6 ( x ? 600) 万元作为技改费用,投 入 50 万元作为固定宣传费用,投入

1 x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的 5

销售量 a 至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入 与总投入 之 ... ... 和?并求出此时商品的每件定价.

2 某小商品 2012 年的价格为 8 元/件,年销量为 a 件, 现经销商计划在 2013 年将该商品的 价格降至 5.5 元/件到 7.5 元/件之间,经调查,顾客的期望价格为 4 元/件,经测算,该 商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比,比例系数为 k , 该商品的成本价格为 3 元/件。 (1)写出该商品价格下降后,经销商的年收益 y 与实际价格 x 的函数关系式。 (2) 设 k ? 2a , 当实际价格最低定为多少时, 仍然可以保证经销商 2013 年的收益比 2012 年至少增长 20%?

3.近年来,某企业每年消耗电费约 24 万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用 15 年的 太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳 能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为 0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消 耗的电费 C (单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积 x (单位:平方米)之间的

C ( x) ?

函数关系是 设备的费用与该村 15 年共将消耗的电费之和.

k ( x ? 0, k 20 x ? 100 为常数 ). 记 F 为该村安装这种太阳能供电

(1)试解释 C (0) 的实际意义, 并建立 F 关于 x 的函数关系式; (2)当 x 为多少平方米时, F 取得最小值?最小值是多少万元?

4.某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为 4 元,并且每件商品需向总店交 a(1 ? a ? 3) 元的管理费,预计当每件商品的售价为 x(7 ? x ? 9) 元时,一年的销售量为 (10 ? x) 2 万件. (I)求该连锁分店一年的利润 L (万元)与每件商品的售价 x 的函数关系式 L( x) ; (II)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值.

5.某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根 据经验知道,其次品率 P 与日产量 x (万件)之间大体满足关系:

? 1 ,1 ? x ? c, ? ?6 ? x P?? (其中 c 为小于 6 的正常数) ? 2, x?c ? ? 3 (注:次品率=次品数/生产量,如 P ? 0.1 表示每生产 10 件产品,有 1 件为次品,其余
为合格品) 已知每生产 1 万件合格的仪器可以盈利 2 万元,但每生产 1 万件次品将亏损 1 万元, 故厂方希望定出合适的日产量. (1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额 T (万元)表示为日产量 x (万件)的函数; (2)当日产量为多少时,可获得最大利润?

二、与几何图形有关的实际问题
1、 如图,两座建筑物 AB, CD 的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的 高度分别是 9 cm 和 15 cm ,从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的视角 ?CAD ? 45? . (1) 求 BC 的长度; (2) 在线段 BC 上取一点 P ( 点 P 与点 B , C 不重合) ,从点 P 看这两座建筑物的视角分别 为 ?APB ? ? , ?DPC ? ? , 问 点 P 在 何 处 时 , ? ? ? 最 小?

D

A

?
B P

?
第 17 题图

C

2.某个公园有个池塘,其形状为直角△ABC,∠C=90°,AB=2 百米,BC=1 百米. (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在 AB、BC、CA 上取点 D,E,F,如图(1), 使得 EF‖AB,EF⊥ED,在△DEF 喂食,求△DEF 面积 S△DEF 的最大值; (2)现在准备新建造一个荷塘, 分别在 AB, BC, CA 上取点 D, E, F, 如图(2), 建造△DEF 连廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使△DEF 为正三角形,设求△DEF 边长的最小 值.

3.某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为 60 (如图) ,考虑 到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为 9 3 平方米,且高度不低 于 3 米.记防洪堤横断面的腰长为 x (米) ,外周长(梯形的上底线段 .......BC 与两腰长的 ..... 和 )为 y (米). . ⑴求 y 关于 x 的函数关系式,并指出其定义域; ⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米,则其腰长 x 应在什么范围内? ⑶当防洪堤的腰长 x 为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长 最小)?求此时外周长的值.

?

B
x
60?

C

A

D

4.如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于 A, B, C 三点处, AB ? AC , A 到线段

BC 的距离 AO ? 40 , ?ABO ? 2? (参考数据: tan 2? ? 2 3 ). 今计划建一个生活 7 3 7 垃圾中转站 P ,为方便运输, P 准备建在线段 AO (不含端点)上. (1) 设 PO ? x(0 ? x ? 40) ,试将 P 到三个小区距离的最远者 S 表示为 x 的函数,并 求 S 的最小值; 2? ,试将 P 到三个小区的距离之和 y 表示为 ? 的函数, (2) 设 ?PBO ? ? (0 ? ? ? ) 7 并确定当 ? 取何值时,可使 y 最小?

5.某仓库为了保持库内的湿度和温度, 四周墙上均装有如图所示的自动通风设施. 该设施 ABCD AB =2 BC =1 CDG E 的下部 是矩形,其中 米, 米;上部 是等边三角形,固定点 为 AB 的中点.△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风) ,MN 是可 以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆. (1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将△EMN 的面积 S(平方)表示成关于 x 的函 数; (2)求△EMN 的面积 S(平方米)的最大值.
G

M D

N C

A

E (第 3 题)

B

6. 如图,某海域中有甲、乙两艘测量船分别停留在相距

?

6 ? 2 海里的 M,N 两点,他

?

们 在同时观测岛屿上中国移动信号塔 AB,设塔底延长线与海平面交于点 O.已知点 M 在点 O 的正东方向,点 N 在点 O 的南偏西 15 ? 方向,ON ? 2 2 海里,在 M 处测得塔底 B 和 塔顶 A 的仰角分别为 30 ? 和 60 ? . (1)求信号塔 AB 的高度; (2)乙船试图在线段 ON 上选取一点 P ,使得在点 P 处观测信号塔 AB 的视角最大,请 判断这样的点 P 是否存在,若存在,求出最大视角及 OP 的长;若不存在,说明理由.

A

B
O N
第 6 题图

M

7.一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度 a 成正比,与它的厚度 d 的 平方成正比,与它的长度 l 的平方成反比. (Ⅰ)将此枕木翻转 90°(即宽度变为厚度) ,枕木的安全负荷会如何变化?为什么?(设 翻转前后枕木的安全负荷分别为 y1 , y 2 且翻转前后的比例系数相同都为 k ) (Ⅱ)现有一根横断面为半圆(已知半圆的半径为 R )的木材,用它来截取成长方体形的 枕木,其长度为 10,问截取枕木的厚度为 d 多少时,可使安全负荷 y 最大?

l

d a

d

a

MN 8.如图,A, B 为相距 2km 的两个工厂, 以 AB 的中点 O 为圆心, 半径为 2km 画圆弧。
为圆弧上两点,且 MA ? AB, NB ? AB ,在圆弧 MN 上一点 P 处建一座学校。学校 P 受工厂 A 的噪音影响度与 AP 的平方成反比,比例系数为 1,学校 P 受工厂 B 的噪音 影响度与 BP 的平方成反比,比例系数为 4 。学校 P 受两工厂的噪音影响度之和为 y , 且设 AP ? xkm 。 (1)求 y ? f ( x) ,并求其定义域; (2)当 AP 为多少时,总噪音影响度最小?
N

P M

B

O

A

9.如图,某小区有一边长为 2(单位:百米)的正方形地块 OABC,其中 OAE 是一个 游泳池,计划在地块 OABC 内修一条与池边 AE 相切的直路 l (宽度不计) ,切点为 M,并 把该地块分为两部分.现以点 O 为坐标原点,以线段 OC 所在直线为 x 轴,建立平面直角 坐标系,若池边 AE 满足函数 y ? ? x2 ? 2(0 ? x ? 2 的图象,且点 M 到边 OA 距离为

2 4 t( ? t ? ) . 3 3 2 (1)当 t ? 时,求直路 l 所在的直线方程; 3 (2) 当 t 为何值时, 地块 OABC 在直路 l 不含泳池那侧的面积取到最大, 最大值是多少?

10.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千 1 3 3 米/小时)的函数解析式可以表示为: y= x - x+8 (0<x≤120).已知甲、乙两地 128000 80 相距 100 千米. (Ⅰ)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

11. 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段.已知跳水板 AB 长为 2m,跳水板距水面 CD 的高 BC 为 3m.为安全和空中姿态优美,训练时跳水曲线应 在离起跳点 A 处水平距 hm(h≥1)时达到距水面最大高度 4m.规定:以 CD 为横轴, BC 为纵轴建立直角坐标系. (1)当 h=1 时,求跳水曲线所在的抛物线方程; (2)若跳水运动员在区域 EF 内入水时才能达到比较好的训练效果,求此时 h 的取值范 围. 2+h
2

B
3

A

C
5 6

E ·

F ·

D


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