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2011年体育单招数学试题及答案


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绝密★启用前 2011 年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单独统一招生考试 数学 注意事项: 1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 3.本卷共 19 小题,共 150 分。 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 6

分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请将正确的选项的字母填写在题后的括号内。 (1)设集合 M = {x|0<x<1},集合 N={x| -1<x<1},则【 (A)M∩N=M (C)M∩N=N (B)M∪N=N (D)M∩N= M∩N 】 】

(2)已知函数 f ( x) 的图象与函数 y ? sin x 的图象关于 y 轴对称,则 f ( x) ? 【 (A) ? cos x (B) cos x (C) ? sin x (D) sin x

(3)已知平面向量 a ? (1, 2), b ? (?1,3) ,则 a 与 b 的夹角是【 (A)

?

?

?

?



? 2

(B)

? 3

(C)

? 4

(D)

? 6

1 ( x ? ?5) 的反函数是【 】 x?5 1 (A) y ? x ? 5( x ? R) (B) y ? ? 5( x ? 0) x 1 y ? ? 5( x ? 0) x x ?1 ? 0 的解集是 【 (5)不等式 】 x
(4)函数 y ? (A){x|0<x<1} (C){x|-∞<x<0} (B){x|1<x<∞} (D){x|-∞<x<0}

(C) y ? x ? 5( x ? R)

(D)

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(6)已知函数 f ( x) ?

1 x 3 x cos ? sin ,则 f ( x) 是区间 【 2 2 2 2
2 4 3 3 4 2 (D) ( ? ? , ? ) 上的增函数 3 3



(A) ( ? , ? ) 上的增函数 (C) (? ? , ? ? ) 上的增函数

2 3

8 3

(B) ( ? ? , ? ) 上的增函数

8 3

2 3

(7)已知直线 l 过点 (?1,1) ,且与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,则直线 l 的方程是【 (A) 2 x ? y ? 1 ? 0 (B) 2 x ? y ? 3 ? 0 (C) 2 x ? y ? 3 ? 0

】 (D)

2x ? y ?1 ? 0
(8) 已知圆锥曲线母线长为 5,底面周长为 6? ,则圆锥的体积是【 (A) 6? (B) 12? (C) 18? (D) 36? 】



(9) Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项合和,已知 S3 ? ?12 , S6 ? ?6 ,则公差 d ? 【 (A)-1 (B)-2 (C)1 (D)2

(10)将 3 名教练员与 6 名运动员分为 3 组,每组一名教练员与 2 名运动员,不同的分法 有【 】 (B)180 种 (C)270 种 (D)360 种

(A)90 中

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.把答案填在题中横线上。 (11) (2 x 2 ? ) 6 的展开式中常数项是

1 x



(12)已知椭圆两个焦点为 F1 (?1,0) 与 F2 (1,0) ,离心率 e ?

1 ,则椭圆的标准方程 3





(13)正三棱锥的底面边长为 1,高为

6 ,则侧面面积是 6



(14)已知{ an }是等比数列, a1 ? a2 则 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 1,则 a1 ?



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(15)在 ?ABC 中,AC=1,BC=4, cos A ? ?

3 则 cos B ? 5



(16)已知函数 f ( x) ? 4ax 2 ?

a (a ? 0) 有最小值 8,则 a ? x2



三.解答题:本大题共 3 小题,共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本题满分 18 分) 甲、乙两名篮球运动员进行罚球比赛,设甲罚球命中率为 0.6,乙罚球命中率为 0.5。 (I)甲、乙各罚球 3 次,命中 1 次得 1 分,求甲、乙等分相等的概率; (II)命中 1 次得 1 分,若不中则停止罚球,且至多罚球 3 次,求甲得分比乙多的概率。
(18)本题满分 18 分) ( 如图正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,P 是线段 AB 上的点, AP=1,PB=3

(I)求异面直线 PB ' 与 BD 的夹角的余弦值; (II)求二面角 B ? PC ? B ' 的大小; (III)求点 B 到平面 PCB ' 的距离

C’ D’ C P D A A’

B’

B

(19)(本题满分 18 分)

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设 F(c,0)(c>0)是双曲线 x 2 ? 点,O 是坐标原点。

y2 ? 1的右焦点,过点 F(c,0)的直线 l 交双曲线于 P,Q 两 2

(I)证明 OP ? OQ ? ?1 ;

??? ???? ?

(II)若原点 O 到直线 l 的距离是

3 ,求 ?OPQ 的面积。 2

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绝密★ 启用前 2011 年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单独统一招生考试 数学试题参考答案和评分参考 评分说明: 1.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参 考. 如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制 订相应的评分细则, 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变 该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正 确解答应得分效的一半:如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数.表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.
选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 6 分,满分 60 分.

( 1 ) B ( 2 ) C ( 3 ) C (4)D(5)A( 6 ) D ( 7 ) A ( 8 ) B ( 9 ) D (10)A
二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 6 分,满分 36 分.

(11)60

(12)

x2 y 2 ? ?1 9 8

(13)

3 4

(14)3

(15)

2 6 5

(16)2

三.解答题: (17)解: (I) 设甲得分为 k 的事件为 Ak ,乙得分为 k 的事件为 Bk ,k=0,1,2,3 则

P( A0 ) ? 0.43 ? 0.064

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P( A1 ) ? 3? 0.6 ? 0.42 ? 0.288
P( A2 ) ? 3 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.432

P( A3 ) ? 0.63 ? 0.216

P( B0 ) ? 0.53 ? 0.215
P(B1 ) ? 3? 0.53 ? 0.375 P(B2 ) ? 3? 0.53 ? 0.375

P( B3 ) ? 0.53 ? 0.125
甲和乙得分相等的概率为

p ? p( A0 B0 ? A1B1 ? A2 B2 ) ? 0.305
(II)设甲得分多于 k 的事件为 Dk ,乙得分为 k 的事件为 Ek , k ? 0,1, 2 ,则

p( D0 ) ? 0.6

p( D1 ) ? 0.62 ? 0.36

p( D2 ) ? 0.63 ? 0.216
p( E0 ) ? 0.5

p( E1 ) ? 0.52 ? 0.25

p( E2 ) ? 0.53 ? 0.125
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甲得分比乙多的概率为

p ? p( D0 E0 ? D1E1 ? D2 E2 ) ? 0.417
18. 本题主要考查立体儿何中角与距离的计算,涉及两条异面直线角、二面角、 点到面的距离.考查运算能力和空间想象能力。 解:(I)连接 B ' D ' , B ' D ' //BD,异面直线 PB ' 与 BD 的夹角是 ?PB ' D ' 。过点 A ' 作 PB ' 的垂线,垂足为 Q,由三垂线定理,DQ⊥ PB ' 由
A ' Q BB ' 16 ? 得 A'Q ? A ' B ' PB ' 5

DQ=

12 4 41 3 2 , QB ' ? , cos ?PB ' D ' ? 5 5 10

(II)过点 B 作 PC 的垂线 BR,垂足为 R,由三垂线定理 BR⊥PC. ?BRB ' 是二面角
B ? PC ? B ' 的平面角



BR PC 12 ? ,得 BR ? BP BC 5 5 3

tan ?BRB ' ?

二面角 B ? PC ? B ' 的大小为 arctan

5 3

(III)四面体 B ? PCB ' 的体积 V ? 8

三角形 PCB ' 的距离 d ? 3

V 6 34 ? S 17

(19)本题主要考查直线与双曲线的位置关系应用.涉及平面向量的数量积、点 到直线的距离公式及三角形的面积公式,考查分析问题、解决问题的能力和运算 能力。

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解:(I) c ? 3

若直线 l 的方程是 x ? 3 ,代入双曲线方程,解得两个交点的坐标分别是

( 3, 2) ( 3, ?2)
??? ???? ? 从而 OP ? OQ ? ?1
若直线 l 的方程是 y ? k ( x ? 3),| k |? 2 代入双曲线方程,化简得

(2 ? k 2 ) x2 ? 2 3k 2 x ? (3k 2 ? 2) ? 0
解得两个交点的坐标分别是

(

? 3k 2 ? 2 k 2 ? 1 ?2 3k ? 2k k 2 ? 1 , ) 2 ? k2 2 ? k2
? 3k 2 ? 2 k 2 ? 1 ?2 3k ? 2k k 2 ? 1 , ) 2 ? k2 2 ? k2

(

??? ???? 3k 4 ? 4(k 2 ? 1) ? 12k 2 ? 4k 2 (k ? 1) ? 从而 OP ? OQ ? ? ?1 (2 ? k )2

(II)原点 O 到直线 y ? k ( x ? 3) 的距离 d ?

3|k| k 2 ?1

若d ?

3 ,则 k ? ? 3 2

|PQ|=16
?OPQ 的面积是 12。

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