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3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域 教案


3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域 教案 一、教学目标: 1.知识目标:能做出二元一次不等式(组)所表示平面区域;会把若干直线围成的平面区 域用二元一次不等式组表示. 2.能力目标:培养学生用数形结合思想分析问题、解决问题的能力; 3.情感目标:体会数学的应用价值,激发学生的学习兴趣. 二、教学重点、难点: 重点:二元一次不等式(组)表示的平面区域 难点:用二元一次

不等式(组)表示平面区域. 三、教学方法与手段 本节课采用探究式教学法,采用启发、引导、探索、讨论交流的方式进行组织教学.并 充分利用多媒体辅助教学. 四、教学过程 (一)自主学习 自主学习,结合课本思考给出的问题 (二)讲授新课 1.二元一次不等式(组)的定义 (1)二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的最高次数是 1 的不等式叫做二元一 次不等式. (2)二元一次不等式组:有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组. 注意:二元一次不等式(组)是根据未知数的个数和未知数的最高次数加以区分. 2.探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形 回忆:初中一元一次不等式(组)的解集所表示的图形——数轴上的区间 二元一次方程表示的是什么图形? 直线 思考:在直角坐标系内,二元一次不等式(组)的解集表示什么图形? 问题一:平面直角坐标系中不在直线上的点被直线 Ax ? By ? C ? 0 分为几部分? 两部分 以 x ? y ? 1 ? 0 为例进行直观说明,引出以下概念:

每部分叫做开半平面,开半平面与直线的并集叫做闭半平面. 以不等式解(x,y)为坐标的所有点构成的集合,叫做不等式表示的区域或不等式的图象. 如何求二元一次不等式表示的平面区域? 我们先研究具体的二元一次不等式 x ? y ? 1 ? 0 的解集所表示的图形. 问题二:平面内所有的点被直线 x ? y ? 1 ? 0 分成几类? 如图:在平面直角坐标系内, x ? y ? 1 ? 0 表示一条直线. 平面内所有的点被直线分成三类: y 1 第一类:在直线 x ? y ? 1 ? 0 上的点; 1 O x

第二类:在直线 x ? y ? 1 ? 0 左下方的区域内的点; 第三类:在直线 x ? y ? 1 ? 0 右上方的区域内的点. 问题三:每部分中的点都有哪些特点? 在直线的上方、下方取一些点: 上方: (0,2) , (1,3) , (0,5) , (2,2) 下方: (-1,0) , (0,0) , (0,-2) , (1,-1) 分别把点的坐标代入式子 x ? y ? 1中,会有什么结果? 直线上方的点使的 x ? y ? 1 ? 0 ;直线下方的点使的 x ? y ? 1 ? 0 . 猜想:直线同侧点的坐标是否使式子的值具有相同的符号? 问题四:直线 x ? y ? 1 ? 0 右上方的平面区域如何表示?左下方的平面区域呢?

x ? y ?1 ? 0 ; x ? y ?1 ? 0 .
由学生自行归纳总结,不要求证明. 结论:直线 Ax ? By ? C ? 0 把平面直角坐标系中不在直线上的点分为两部分,同一侧点的 坐标使式子 Ax ? By ? C 的值具有相同的符号,并且两侧的点的坐标使式子 Ax ? By ? C 的值符号相反,一侧都大于 0,一侧都小于 0. 问题五:如何判断 Ax ? By ? C ? 0 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 哪一侧平面区域? 根据以上结论,只需要在直线的某一侧取一个特殊点(x0 , y0),从

Ax0 ? B y 0 ?C 的正负即可

判断不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示直线哪一侧的平面区域,这种方法称为代点法. 概括为: “直线定界,特殊点定域” . 特别地,当 C ? 0 时,常把原点作为特殊点,即“直线定界、原点定域” . 问题六: Ax ? By ? C ? 0 表示的平面区域与 Ax ? By ? C ? 0 表示的平面区域有何不同? 如何体现这种区别? 把直线画成实线以表示区域包含边界直线; 把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线. (三)应用新知,练习巩固 例 1.画出下面二元一次不等式表示的平面区域:

3x ? 2 y ? 6 ? 0
2x ? 3 y ? 6 ? 0

例 2.画出下列不等式组所表示的平面区域 (1)

(2)

(1)

(2)

例三:画出下面不等式组所表示的平面区域

(四)课堂小结

知识上:1.二元一次不等式(组)表示平面区域 2.判定方法: “直线定界,特殊点定域” . 小诀窍:如果 C≠0,可取(0,0); 如果 C=0,可取(1,0)或(0,1). 思想方法上:数形结合的数学思想方法. (五)布置作业 教材 89 页练习 B 组 1、2. 教学反思 新的课程标准要求教师在教学过程中,注重知识的产生过程学,让学生在探索、发现、 验证和总结的过程中建构知识体系,同化或顺应个体的认知结构。 本节课是在学生建构了二元一次方程表示直线的基础上, 进一步研究二元一次不等式表 示的平面区域, 是对方程和不等式关系的进一步研究. 学生对二元一次不等式表示的图形是 什么这个问题比较困惑, 理解起来有一定困难。 所以本节课的在设计上遵循了由直观到抽象, 先实验探索猜想,再进行适当的推理论证的思路,并在此过程中指导学生递进式加深理解, 掌握方法。希望在这种教学设计下,学生能体会到方程与不等式的关系,能把数学符号语言 顺利翻译成图形直观语言,为下一步利用图形解决线性规划问题打下基础。 一、 教学目标设计。 充分考虑到学生现有认知结构的情况, 把知识与技能目标定为: “了 解二元一次不等式(组) 、二元一次不等式(组)的解集的概念;了解二元一次不等式(组) 的解集所表示的图形为平面区域.会根据二元一次不等式(组)作出所表示的平面区域. ” 。 从学生情况看,这个教学目标的设定是合理的,符合学生实际,教学中达成了这个目标。在 学生学习过程中注重知识的产生和形成过程, 把学习方法和学科方法融汇在整个教学的过程 中,即:从直观到抽象,从具体到一般,探索、发现和论证。在情感和态度上,培养学生耐 心细致,认真分析,努力探索的态度和精神. 教学过程中较好地把握了从直观到抽象,先探索发现,再进行逻辑推理论证这条主线, 实施的效果较好。 二、 学生主体地位落实较好。 为了在教学过程中充分体现学生的主体地位和教师的主导 作用,调动学生积极参与,我从数学实验入手,观察直线同侧区域点的坐标的计算值,比较 这个值所满足的不等式,引导学生大胆提出猜测,通过计算验证的方法进行归纳总结,进一 步推广到一般的情形.在例题的讲解过程中,注重先由学生自主分析讨论,统一认识后,教 师再指导学生完成作图,对关键点或难点及时进行点拨和点评,使学生感受到成功的喜悦。 三、本节课较为满意的教学环节是在问题的呈现上,从直观到抽象,从特殊到一般,先 探索发现,后推理验证。这是由认知规律所决定的。学习者要理解、接纳一种新的知识或方 法,必须建立在其原有的认知结构基础之上,不能凭空产生。所谓简单,指的是原有认知结 构已经存在的认知。为此,在教学过程中注重从学生已经掌握的二元一次方程的基础上,通 过数学演示实验的观察, 发现直线的同一侧的点的坐标都满足同一个二元一次不等式, 进一 步猜测、推广到一般情形,使学生能接受(够得到) ,能理解,能掌握。


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