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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-2教案:第4章 微积分基本定理 第一课时参考教案


微积分基本定理
第一课时 一、教学目标:了解牛顿-莱布尼兹公式 二、教学重难点:牛顿-莱布尼兹公式 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、复习:定积分的概念及计算 (二) 、探究新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积 分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函

数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻 t 时物体所在位置为 S(t),速度为 v(t) ( v(t ) ? o ) ,则物体在时间间隔 [T1 , T2 ] 内经过的路程可用速度函数表示为

?

T2

T1

v(t )dt 。
另一方面, 这段路程还可以通过位置函数 S (t) 在 [T1 , T2 ] 上的增量 S (T1 ) ? S (T2 )

来表达,即

?

T2

T1

v(t )dt = S (T1 ) ? S (T2 )

且 S ?(t ) ? v(t ) 。
b

对于一般函数 f ( x) ,设 F ?( x) ? f ( x) ,是否也有 ? f ( x)dx ? F (b) ? F (a)
a

若上式成立,我们就找到了用 f ( x) 的原函数(即满足 F ?( x) ? f ( x) )的数值 差 F (b) ? F (a) 来计算 f ( x) 在 [a, b] 上的定积分的方法。 定理 如果函数 F ( x) 是 [a, b] 上的连续函数 f ( x) 的任意一个原函数,则

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)
x a

证明:因为 ? ( x) = ? f (t )dt 与 F ( x) 都是 f ( x) 的原函数,故 F ( x) - ? ( x) =C (a ? x ? b) 其中 C 为某一常数。令 x ? a 得 F ( a ) - ? ( a ) =C,且 ? ( a ) = ? f (t )dt =0
a a

-1-

即有 C= F ( a ) ,故 F ( x) = ? ( x) + F ( a ) ? ? ( x) = F ( x) - F ( a ) = ? f (t )dt
a

x

令 x ? b ,有 ? f ( x)dx ? F (b) ? F (a)
a

b

为了方便起见,还常用 F ( x) |b a 表示 F (b) ? F (a ) ,即

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) |b a ? F (b) ? F (a)
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定

积分的一般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分 学之间联系的桥梁。 例1 计算 ? x 2 dx
0 1

1 解:由于 x3 是 x 2 的一个原函数,所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1 2 ?0 x dx = 3 x |0 = 3 ? 1 ? 3 ? 0 = 3

例 2 求?

2

x 1 ? x2

0

dx
1 1 1 d ( x2 ) 2 d (1 ? x 2 ) 1 = 2(1 ? x 2 ) 2 ? C ? (1 ? x 2 ) 2 ? C ? ? ? 2 1 ? x2 2 1 ? x2 2

解 因为 ?

xdx 1 ? x2

?



(1 ? x 2 )

1 2

2 0

x
? 5 ? 1 1 ? x2
1

有一个原函数为 (1 ? x2 ) 2 ,所以

1

?

2

x 1 ? x2

0

dx = (1 ? x 2 ) 2 ? 5 ? 1
0

2

例 3 汽车以每小时 32 公里速度行驶,到某处需要减速停车。设汽车以等减 速度 a =1.8 米/秒 2 刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离? 解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。 当 t=0 时, 汽车速度 v0 =32 公里/小时=
32 ? 1000 米/秒 ? 8.88 米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为 3600

v(t)=v0 ? at=8.88-1.8t 当汽车停住时,速度 v(t)=0 ,故从 v(t)=8.88-1.8t=0 解得
t= 8.88 ? 4.93 秒 1.8

于是在这段时间内,汽车所走过的距离是

-2-

s??

4.93

0

v(t)dt ? ?

4.93

0

1 (8.88 ? 1.8t)dt = (8.88 ? 1.8 ? t 2 ) 2 0

4.93

? 21.90 米,即在刹车后,

汽车需走过 21.90 米才能停住. (三) 、小结:本节课学习了牛顿-莱布尼兹公式. (四) 、课堂练习: (五) 、课后作业: 五、教后反思:

-3-


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