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【高优指导】2017高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图课件 理


第八章

立体几何

8.1

空间几何体的结构及其 三视图和直观图

-3-

考纲要求:1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能 运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.能画出简单空 间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图, 能识别上

述三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直 观图. 3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图, 了解空间图形的不同表示形式.

-4-

1.空间几何体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都平行且相等,上、下底面是全等且平行的多边 多 形. 面 (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形. 体 (3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上、 下底面是 相似多边形. (1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到. 旋 (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、 下 转 底中点连线所在直线旋转得到,也可由平行于圆锥底面的平面 体 截圆锥得到. (4)球可以由半圆面或圆面绕直径所在直线旋转得到.

-5-

2.三视图 (1)几何体的三视图包括主视图、左视图、俯视图,分别是从几何 体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线. (2)三视图的画法 ①基本要求:长对正,高平齐,宽相等. ②画法规则:主左一样高,主俯一样长,左俯一样宽;看不到的线画 虚 线.

-6-

3.直观图 (1)画法:常用斜二测画法. (2)规则: ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x'轴、y'轴的夹角 为45°,z'轴与x'轴和y'轴所在平面垂直. ②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平 行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线 段长度在直观图中变为原来的一半.

-7-

1 2 3 4 5

1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱. ( × ) (2)棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的平面与底面之 间的部分. ( √ ) (3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱. ( × ) (4)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥. (× ) (5)在用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行于 x轴和y轴,且∠A=90°,则在直观图中∠A=45°. ( ) ×

-8-

1 2 3 4 5

2.给出下列命题: 关闭 ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点 ,则这两点的连线是圆 ①不一定 ,只有这两点的连线平行于轴时才是母线 ;②不一定 ,因为 ; “柱的母线 其余各面都是三角形 ”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点 的三角形 ”,如图 (1)所示 ;③ 不一定 .当以斜边所在直线为旋转轴时 ②有一个面是多边形 ,其余各面都是三角形的几何体是棱锥 ; ,其 余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥 ,如图 (2)所示 ,它是由 ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都 两个同底圆锥组成的几何体 ;④错误 ,棱台的上、下底面是相似且对 是圆锥; 应边平行的多边形 ,各侧棱延长线交于一点 ,但是侧棱长不一定相等 . ④棱台的上、下底面可以不相似 ,但侧棱长一定相等 . 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3
关闭

A
解析 答案

-9-

1 2 3 4 5

3.如图是一个空间几何体的三视图,根据图中的尺寸(单位:cm),可 知该几何体的体积为( )

关闭

由三视图可知该几何体是一个侧面放置在水平面上的三棱柱,该棱 柱底面三角形的高为 4 cm,棱柱的高为 4 cm,其体积 1 关闭 V= ×6×4×4= 48(cm3),故选 B. 2 B A.36 cm3 B.48 cm3 C.24 cm3D.31 cm3
解析 答案

-10-

1 2 3 4 5

4.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几 何体的侧(左)视图为( )
关闭

给几何体的各顶点标上字母,如图 ①.A,E 在侧投影面上的投影重 合 ,C,G 在侧投影面上的投影重合 ,几何体在侧投影面上的投影及把 侧投影面展平后的情形如图②所示 ,故正确选项为 B(而不是 A).

关闭

B

图①

图②
解析 答案

-11-

1 2 3 4 5

5.利用斜二测画法得到: ①三角形的直观图一定是三角形; ②正方形的直观图一定是菱形; ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形; ④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的个数是 .

关闭

由斜二测画法的规则可知①正确;②错误,是一般的平行四边形;③错误,等 腰梯形的直观图不可能是平行四边形;而菱形的直观图也不一定是菱形,
1 也错误. ④ 解析 答案
关闭

-12-

1 2 3 4 5

自测点评 1.从空间几何体的定义入手,借助几何模型强化其结构特征. 2.注意空间几何体的不同放置对三视图的影响. 3.在斜二测画法中,与x轴、y轴、z轴都不平行的线段可通过确定 端点的办法来画,即过端点作坐标轴的平行线段,再借助所作的平 行线段来确定端点在直观图中的位置.

-13考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点1空间几何体的结构特征 例1下列结论正确的是( ) 关闭 A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 A 错误 ,如图 ①是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,它 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴 ,其余两边绕旋转轴旋转 的各个面都是三角形 ,但它不是三棱锥;B 错误 ,如图 ②,若 △ABC 不是 直角三角形 ,或△ABC 是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几 形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 何体都不是圆锥 ;C 错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知 ,它是正六棱 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等 ,则该棱锥可能是六 锥 ,易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设矛盾. 棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

关闭

D

图①

图②
解析 答案

-14考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:如何熟练应用空间几何体的结构特征? 解题心得:1.要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面 地去分析,多观察实物,提高空间想象能力. 2.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据 条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系 或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定. 3.通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只 要举出一个反例即可.

-15考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练1 有以下命题: 关闭 ①底面是矩形的四棱柱是长方体; 底面是矩形的四棱柱的侧棱可能与底面不垂直 ②四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形; ,故命题①是错误的 ; ③棱台的相对侧棱延长后必交于一点; ④直角梯形绕其腰所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆台. 其中真命题的序号是 .

②正确 ,如图 ,PD⊥平面 ABCD,其中底面 ABCD 为矩形 ,可证明 ∠PAB,
∠PCB 为直角 ,这样四个侧面都是直角三角形; 命题 ③由棱台的定义知是正确的; ④错误 ,当以斜腰所在直线为旋转轴时,旋转形成的面所围成的几何关闭 ②③ 体不是圆台 .
解析 答案

-16考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点2空间几何体的直观图 例2用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图 所示的一个正方形,则原来的图形是( )

关闭

由直观图可知,在直观图中多边形为正方形,对角线长为√2,所以原 图形为平行四边形,位于 y 轴上的对角线长为 2√2.
关闭

A
解析 答案

-17考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:用斜二测画法画直观图的方法技巧有哪些? 解题心得:1.原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x'轴 或y'轴平行,原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端 点再连线,原图中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图 中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出. 2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的 面积有以下关系:

S 直观图= S 原图形,S 原图形=2√2S 直观图.
4

√2

-18考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练2 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图,边 AB平行于y轴,BC,AD平行于x轴.已知四边形ABCD的面积为 2√2 cm2,则原平面图形的面积为( )

A.4 cm2

B.4√2 cm2

C.8 cm2

D.8√2 cm2
关闭

依题意可知∠BAD=45°,则原平面图形为直角梯形,上、 下底边的长 与 BC,AD 相等,高为梯形 ABCD 的高的 2√2倍,所以原平面图形的面 关闭 积为 8 cm2.
C
解析 答案

-19考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点3空间几何体的三视图与直观图的综合(多维探究) 类型一 由空间几何体的直观图识别三视图 例3将正方体(如图①所示)截去两个三棱锥,得到图②所示的几 何体,则该几何体的左视图为( )

关闭

还原正方体后,将D1,D,A三点分别向正方体右侧面作垂线,D1A的射影为

C1B,且为实线,B1C被遮挡应为虚线.故选B.
B

关闭

思考:由直观图得三视图的基本思路是什么?

解析

答案

-20考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

类型二 由空间几何体的三视图还原直观图 例4(2015课标全国Ⅱ,理6)一个正方体被一个平面截去一部分后, 剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( )
关闭

由题意知该正方体截去了一个三棱锥,如图所示 ,设正方体棱长为 a, 1 则 V 正方体 =a3,V 截去部分 = a3,故截去部分体积与剩余部分体积的比值为
1 3 5 3 a ∶ a =1∶ 5. 6 6 6

D

1 A. 8 1 C. 6

1 B. 7 1 D. 5
解析

关闭

答案

-21考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:由三视图还原几何体的直观图基本步骤有哪些? 解题心得:1.对于简单几何体的组合体,在画其三视图时首先应分 清它是由哪些简单几何体组成的,然后再画其三视图. 2.由三视图还原几何体时,要遵循以下三步:(1)看视图,明关系;(2) 分部分,想整体;(3)综合起来,定整体.

-22考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练3 (1)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的 坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的主 视图时,以zOx平面为投影面,则得到的主视图可以为( ) 关闭
在空间直角坐标系中,先画出四面体 O-ABC 的直观图 ,如图 ,设 O(0,0,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),将以 O,A,B,C 为顶点的四面体还 原成一个正方体后,由于 OA⊥BC,所以该几何体以 zOx 平面为投影 面的正视图为 A.

关闭

A
解析 答案

-23考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为(

)

关闭

四棱锥的直观图如图所示.

A.1 B.√2 由三视图可知 ,SB⊥ 平面 ABCD,SD 是四棱锥最长的 C.√3 D.2 C ,SD=√ 2 + 2 = √ 2 + 2 + 2 = √3 . 棱
解析

关闭

答案

-24考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.要掌握棱柱、棱锥的结构特征,计算问题往往转化到一个三角 形中进行解决. 2.旋转体要抓住“旋转”的特点,弄清底面、侧面及其展开图的形 状. 3.三视图的画法:(1)实虚线的画法:分界线和可见轮廓线用实线, 看不见的轮廓线用虚线; (2)理解“长对正、高平齐、宽相等”.

-25考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.台体可以看成是由锥体截得的,易忽视截面与底面平行且侧棱 (母线)延长后必交于一点. 2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同. 3.对于简单组合体,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们 的分界线,在三视图中,易忽视实虚线的画法.


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