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2.4.1等比数列


2.4《等比数列》 (第一课时)

自我检测
1、下列命题: ( 1 )数列 1、 ? 1、 1、 ? 1、 1是公比为? 1的等比数列。 ( 2 )x、 2 x、 4 x、 8 x是公比为2的等比数列。

?an ?中,a3 ? 2,a8 ? 64, 2、等比数列
q ? 2,an ? 2 求数列的公比和通项公 式。 9 1 2 3、等比数列 ?an ?中, a1 ? ,an ? , q ? ,则 n ? () 4
8 3 3
n?2

1 其中真命题的是()

4、 3和12的等比中项为() ? 6

精讲精析
1、等比数列定义
一般地,如果一个数列从第 2项起,每一项 与它的前一项的比等于 同一常数 ,那么这个数 列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列 的 公比 ,公比通常用字母q表示。

?an ? 是等比数列 ?

an ?1 ? q (n ? N * ) (q为常数) an

类比等差数列的通项公式的推导过程, 请同学们推导等比数列的通项公式。

等比数列的通项公式: q n-1 ﹡ ≠0 a =a q (n∈N , )
n 1

特别地,等比数列{an}中,a1≠0,q≠0

2、等比中项
在a与b中间插入一个数G,使a,G,b 成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项。

所以G ? ab
2

即G ? ? ab

3、探究 等比数列的通项公式与指数型函数的关系
12 10

若数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式表示是:
n-1 a =2 ______ n
8

上式还可以写成

1 n an ? ? 2 2

·

6

4

可见,表示这个等比数列 x 1 的各点都在函数 2 的图象上,如右图所示。

y ? ?2

2

·

· ?an ?的图象是其对应的 结论: 等比数列
1 2 3 4

-5

·

5

函数的图象上一些孤立 的点

例题讲解

?an ?中, 例题1 、在等比数列

(1)a4 ? 2, q ? ?3, 求a7 ; -54 (2)若a2 ? 18, a4 ? 8, 求a1与q;
2 2 a1 ? 27, q ? 或a1 ? ?27, q ? ? 3 3

例题2
某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种 物质是原来的84%,这种物质的半衰期为多长?

解:设这种物质最初的质量是1,经过n年, 剩留量为 an ,数列 ?an ?是一个等比数列

其 中a1 ? 0.84,q ? 0.84 n 设an ? 0.5, 则 0.84 ? 0.5 两边取对数,得 n lg 0.84 ? lg 0.5 得n ? 4 答 : 这 种 物 质 的 半 衰大 期约 为 4年 。

例题 3 ?an ?的 前3项 和 为 等比数列 168 , a2 ? a5 ? 42, 求a5、a7的 等 比 中 项 。

?3

1 ?an ?中,a2 ? 4,a5 ? ? , (? 1 ) 1、在等比数列 n? 4 1 2 2 ? 2 ,此数列的通项公式为 则此数列的公比为() () ?an ?中,公比q ? 4, 2、( 2010 福建高考)等比数列

随堂练习

an ? 4 3、已知a、b、c成等比数列,则二次函 数
2

且前3项的和等于21 ,则该数列的通项公式 an ? ()

n ?1

0 f ( x) ? ax ? bx ? c的图像与x轴的交点个数为()
4、若 ? 1 、a、b、c、 ? 9成等比数列,

-3 9 则b ? (), ac ? ()

1 ?an ?的前项和为Sn,Sn ? (an ? 1 已知数列 ) 3 1 1 ( 1 )求a1、a2。 a1 ? ? 2 、a2 ? 4

思悟提升

?an ?为等比数列。 ( 2 )求证:数列

1 1 数列?an ?是以 ? 为首项, ? 为公比的等比数列。 2 2

an 1、等比数列的定义: q ? (n ? 2 ) an ?1
2、 等 比 数 列 的 通 项 公 : 式an ? a1q 推导的方法:归纳法
n ?1

课堂小结

3、等比中项:若 a、G、b成等比数列,则 G ? ? ab

课后作业
P53 习题 2.4 A 组 1.(3)(4) 2


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