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§15.2.1二倍角公式


§15 三角函数及其应用
2.1二倍角公式

?两角和(差)的余弦公式 cos(?-?)=cos?· ?+sin?· ? cos sin cos(?+?)=cos?· ?-sin?· ? cos sin (1.1) (1.2)

余弦的两角和差,扣扣洒洒,加变成减,减变成加.

?两角差的正弦公式 sin(?+?)=sin?· ?+cos?· ? cos sin sin(?-?)=sin?· ?-cos?· ? cos sin

(1.3) (1.4)

正弦的两角和差,洒扣扣洒,减还是减,加还是加.

cos(?+?)=cos?· ?-sin?· ? cos sin

(1.2)

sin(?+?)=sin?· ?+cos?· ? cos sin
如果公式(1.3)和(1.2)中,分别令? =?, 你能得到什么结果? 我们不难得到: sin2?=2sin?· ? cos cos2?=cos2?-sin2? 或 cos2?=2cos2?-1 或 cos2?=1-2sin2?

(1.3)

(1.5) (1.6) (1.7) (1.8)

?二倍角的正弦公式 sin2?=2sin?· ? cos ?二倍角的余弦公式 cos2?=cos2?-sin2? 或 cos2?=2cos2?-1 或 cos2?=1-2sin2? (1.6) (1.7) (1.8) (1.5)

公式(1.5)—(1.8)都叫做二倍角公式.

填空: ① sin4? = 2sin(

)cos(

)
)

② cos6? = cos2( )-sin2( = 2cos2( )-1 = 1-2sin2( )

③ sin? = 2sin( )cos( ) ④ cos25?-sin25? = cos( )

? 2? 计算:①2sin15 cos15 ;② cos ? sin . 8 8
? ? 2

1 解:①2sin15 cos15 = sin 30 ? 2
? ?

?

2 ② cos ? sin ? cos ? 8 8 4 2
2 2

?

?

?

③ sin 22.5? cos 22.5?;

④1 ? 2sin 2 75?;
⑤8sin

?
48

cos

?
48

cos

?
24

cos

?
12

.

3 已知 sin ? = ,? 为第一象限角,求 sin 2?, 2?, 2?的值. cos tan 5 4 3 解:∵sin ? = ,? 为第一象限角,∴cos ? = , 5 5 3 4 24 ∴sin 2? =2sin ? cos ? =2 ? ? = 5 5 25 32 7 2 cos 2? =1 ? 2sin ? ? 1 ? 2 ? ( ) ? 25 5 sin 2? 24 tan 2? = = cos 2? 7 4 ? 已知 cos ? = ? ,? ? ( , ? ),求 sin 2?, 2?, 2?的值. cos tan 5 2

若已知 tan ? ? 2,能否求出tan 2?的值? sin 2? 解:∵tan 2? = cos 2? 2sin ? cos ? = 2 cos ? ? sin 2 ? 2 tan ? = 1 ? tan 2 ? 4 =? 3
用 cos ? 表示 cos3? .

sin 2? ? sin ? 求证: ? tan ? . 2 2cos 2? ? 2sin ? ? cos ?
2sin ? cos ? ? sin ? 证明: ∵左 ? 2 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ? 2sin 2 ? ? cos ? sin ? ? 2cos ? ? 1? = cos ? ? 2cos ? ? 1?

? tan ? =右
∴命题为真.

cos 2? 求证: ? cos ? ? sin ? . cos ? ? sin ?

1 ? sin2? ? cos2? 求证: =tan? . 1 ? sin2? ? cos2? 1 ? 2sin? cos? ? (1 ? 2sin 2? ) 证明:∵左= 1 ? 2sin? cos? ? (2cos 2? ? 1) 2sin? (cos? ? sin? ) = 2cos? (cos? ? sin? ) sin? = =tan? =右 cos? ∴命题为真. 1 ? cos2? 求证: =tan 2? . 1 ? cos2?

某交流电路中,已知电压为 u ? Usin?t , 电流为 i ? Isin(?t ? ) ,其中 U 、 I 、 ? 都是常数.
2 又知瞬时功率 p ? ui , UI 求证: p ? sin2?t . 2

?

证明:∵i ? Isin(?t ? )=Icos?t 2 UI ∴p ? ui ? Usin?t ? Icos?t ? ? 2sin?t ? cos ?t 2 UI ? sin2?t 2
已知等腰三角形一个底角的正弦等于0.8, 求这三角形的顶角的正弦、余弦值.

?

本节课 学到了哪些知识?
掌握了哪些方法?

何处还需要注意?

必修4 §3.2练习
P106 Q1、2、4


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