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黑龙江龙东地区2011-2012学年高二上学期高中教学联合体期末考试(文)


2011— 黑龙江龙东地区 2011—2012 学年度高二第一学期高中教学联合体期 末试卷(数学文) 末试卷(数学文)
考试说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时 间 150 分钟。 (1) 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2) 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,在草稿纸、试题上答题无效。 (3) 保持卡面清洁,不得折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀。 第Ⅰ卷(共 60 分) 选择题( 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. 对于实数 a , b, c , a > b ”是“ ac > bc ”的 “
2 2





A.充分不必要条件 . C.充要条件 .
2

B.必要不充分条件 . D.既不充分也不必要条件 . ( B. ?x ∈ R, cos 2 x > cos 2 x . D. ?x ∈ R, cos 2 x ≤ cos 2 x . )

2.命题: ?x ∈ R , cos 2 x ≤ cos x ”的否定为 .命题: “ A. ?x ∈ R, cos 2 x > cos 2 x . C. ?x ∈ R, cos 2 x < cos 2 x .

3.一个单位有职工 3.一个单位有职工 800 人,其中具有高级职称的 160 人,具有中级职称的 320 人,具有初级 为了解职工收入情况, 的方法, 职称的 200 人,其余人员 120 人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样 的方法,从中抽 为了解职工收入情况 决定采用分层抽样的方法 取容量为 的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 取容量为 40 的样本 则从上述各层中依次抽取的人数分别是 ( ) A.12,24,15,9 B.9,12,12,7 C.8,15,12,5 D.8,16,10,6 ( D. . )

4.在区间 [-1,2]上随机取一个数 x,则 | x |≤ 1 的概率为 4.在区间 2]上随机取一个数 A. .

2 3

B. .

1 4

C. .

1 3

1 2
( )

5.盒子中有大小相同的 个小球, 个黑球、 个白球,若从中随机地摸出两个球, 5.盒子中有大小相同的 3 个小球,其中 1 个黑球、2 个白球,若从中随机地摸出两个球,两 个球颜色不同的概率是 A. .

1 3

B. .

1 2

C. .

2 3

D.1 .

6 曲线 y = x 3 ? 2 x + 4 在点 (1 3) 处的切线的倾斜角为( , 处的切线的倾斜角为( A.30° . ° B.45° . ° C.60° . ° D.120° . °



7.执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是( 执行右面的程序框图, 执行右面的程序框图 , ) A.120 B .720 C. 1440 D. 5040

频频 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 长长mm O 5 10 15 20 25 30 35 40 组组

(7) (8) 8.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量, 根棉花纤维的长度( 8.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度(棉花纤维的 长度是棉花质量的重要指标) 所得数据都在区间 ,所得数据都在区间 长度是棉花质量的重要指标) 所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示, , 中 其频率分布直方图如图所示, 根中, 则其抽样的 100 根中,有( )根在棉花纤维的长度小于 20mm A.20 B.40 C.30 D.25 . . . . 9. 函数 f (x ) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ′(x ) 在 (a, b) 内的图象如图所示,则函数 内的图象如图所示,

f (x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点( 内有极小值点(


y y = f ′( x )

b a O x

A.1 个 .

B.2 个 C.3 个 . .
2

D. 4 个 .

上的一个动点, 到点( 10. 已知点 P 是抛物线 y = 2 x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线 准线的距离之和的最小值为( 准线的距离之和的最小值为( ) C. 5

A.

17 2

B. 3

D.

9 2

11. 双曲线

x2 y2 o ? = 1( a > 0 ,b > 0 ) 的左、 的左、 右焦点分别是 F1,F2 , F1 作倾斜角为 30 过 a2 b2


则双曲线的离心率为( 的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为(

A. 6 .

B. 3 .

C. 2 .

D. .

3 3

12.若点 12.若点 O 和点 F 分别为椭圆

x2 y 2 + = 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 的中心和左焦点, 为椭圆上的任意一点, 4 3

OP ? FP 的最大值为
A.2 B.3

( ) D.8

C.6 第Ⅱ卷(90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13 已知点(2,3)在双曲线 C: 已知点( , ) : 率为_______ 率为

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 上,C 的焦距为 4,则它的离心 , a2 b2

x2 y2 14.若抛物线 y = 2 px 的焦点与椭圆 + = 1 的左焦点重合,则 p 的值为 左焦点重合, 的值为___________ . 9 5
2

15、函数 f x) 3+ax-2 在区间 1,+ ∞ ) 、 .函数 ( ) =x 内是增函数,则实数 的取值范围是___________ - ( 内是增函数 则实数 a 的取值范围是 下列命题中是错误命题序号是 序号是_________ 16. 下列命题中是错误命题序号是 则 ”的否命题为: “ 则 ” ①命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为: 若 x2=1,则 x ≠ 1” 命题“ ②“x=-1”,是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件 是 ” 使得 ”的否定是: “ 均有 ” ③命题“ ?x ∈ R ,使得 x2+x+1 <0”的否定是: ?x ∈ R ,均有 x2+x+1 <0” 命题“ ④命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题. 命题“ 则 ”的逆否命题为真命题. 三、解答题 17.(本小题满分 10 分)设有两个命题,p:关于 x 的不等式 a > 1 (a>0,且 a≠1)的解集 ( 设有两个命题, a>0, 2 是{x|x<0};q:函数 y = lg(ax ? x + a ) 的定义域为 R。如果 p ∨ q 为真命题, p ∧ q 为假 {x|x<0}; 为真命题, 命题, 的取值范围。 命题,求实数 a 的取值范围。
x

18. 本小题满分 12 分) . (本小题满分 ( 在甲、 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从甲、乙两个盒子中 、 、 、 的四个球,现从甲、 个球,每个球被取出的可能性相等. 各取出 1 个球,每个球被取出的可能性相等. (Ⅰ)求取出的两个球上标号为相同数字的概率; 求取出的两个球上标号为相同数字的概率; 整除的概率. (Ⅱ)求取出的两个球上标号之积能被 3 整除的概率.
3 2 19、 ( =-2 19、 本小题满分 12 分)已知 f(x)=ax +bx -2x+c 在 x=-2 时有极大值 6,在 x=1 时 有极小值. 有极小值. 1)求 的值; (1)求 a、b、c 的值; (2)求 f(x)在区间 -3,3]上的最大值和最小值. 在区间[- 上的最大值和最小值. 求 在区间 上的最大值和最小值 3 2

2 20. ( 20. 本小题满分 12 分)设 F1 , F2 分别是椭圆 E: x + :

y2 =1(0﹤b﹤1)的左、右焦点, 的左、右焦点, ( b2

成等差数列。 、 两点, 过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A、B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。 (1)求 AB ; )

的值。 (2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值。 ) , 21. 本小题满分 12 分)已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y = 2 x + 1 截得的 . (本小题满分 已知顶点在原点, ( (1)求抛物线的方程; (2) 无公共点, 弦长为 15 , )求抛物线的方程; )若抛物线与直线 y = 2 x ? 5 无公共点,试在抛物 ( ( 线上求一点, 的距离最短。 线上求一点,使这点到直线 y = 2 x ? 5 的距离最短。 22. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x ) = ?

1 3 x + x 2 + (m 2 ? 1) x, ( x ∈ R, )其中m > 0 3

1 1 处的切线方程 (1)当 m = 1时, ) 曲线 y = f ( x)在点( ,f( ))
(2)求函数的单调区间与极值; )求函数的单调区间与极值; (3) ) 已知函数 f (x ) 有三个互不相同的零点 0,x1 , x 2 , x1 < x 2 。 , 且 若对任意的 x ∈ [ x1 , x 2 ] ,

f ( x) > f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。 恒成立, 的取值范围。

高二文科试卷答案 1、B 2、B 3、D 4、A 5、C 6、B 7、B 8、C 9、A 13、2 14、-4 15、 [?3,+∞) 16、①②③
x

10A、11、B 12、C

17 设有两个命题,p:关于 x 的不等式 a > 1 (a>0,且 a≠1)的解集是{x|x<0};q:函数

y = lg(ax 2 ? x + a ) 的定义域为 R。如果 p ∨ q 为真命题, p ∧ q 为假命题,则实数 a 的取
值范围___________。 答案:

p : 0 < a < 1。

……………2

函数 y = lg(ax 2 ? x + a ) 的定义域为 R 等价于 ?x ∈ R, ax 2 ? x + a > 0 ,……………4 所以 ?

?a > 0 ? ? = 1 ? 4a < 0
2

,解得 a >

1 1 ,即 q : a > 。 2 2

……………7

如果 p ∨ q 为真命题, p ∧ q 为假命题,则 p 真 q 假或 p 假 q 真,

……………9

?0 < a < 1 ?a ≤ 0或a ≥ 1 ? ? ∴? ? 1 1 1 0<a≤ ?a > 2 ?a ≤ 2 ? 2 或 a ≥1。 或? ,解得
18. (本小题满分 10 分) 解:设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球,其数字分别为 x、y , : 用 ( x, y ) 表示抽取结果,则所有可能的结果有 16 种,即

……………12

(1,1) , (1, 2 ) , (1,3) , (1, 4 ) , ( 2,1) , ( 2, 2 ) , ( 2,3) , ( 2, 4 ) , ( 3,1) , ( 3, 2) , ( 3,3) , ( 3, 4) , ( 4,1) , ( 4, 2 ) , ( 4,3) , ( 4, 4 ) .
4 (Ⅰ)设“取出的两个球上的标号相同”为事件 A, 则A= ……………

{(1,1) , ( 2, 2 ) , ( 3,3) , ( 4, 4 )} .
4 1 = . 16 4

…………5

事件 A 由 4 个基本事件组成,故所求概率 P ( A ) =

…………7

(Ⅱ)设“取出的两个球上标号的数字之积能被 3 整除”为事件 B, 则B =

{(1,3) , ( 3,1) , ( 2,3) , ( 3, 2 ) , ( 3,3) , ( 3, 4 ) , ( 4,3)} .
7 . 16
………10

…………8

事件 B 由 7 个基本事件组成,故所求概率 P ( B ) =

2

19、 解:(1)f′(x)=3ax +2bx-2,由条件知

?f′(-2)=12a-4b-2=0, ?f′(1)=3a+2b-2=0, ?f(-2)=-8a+4b+4+c=6.
1 1 8 解得 a= ,b= ,c= , 3 2 3 1 1 8 (2)由(1)得 f(x)= x3+ x2-2x+ , 3 2 3 2 f′(x)=x +x-2,令 f′(x)=0,得 x=-2 或 x=1.列表:

……………3

……………4

…………8

1 3 因此,在区间[-3,3]上,当 x=3 时,f(x)max=10 ,x=1 时,f(x)min= .……10 6 2
(1)由椭圆定义知 | ΑF2 | + | ΑΒ | + | ΒF2 |= 4

20 解: :

又 2 | AB | = | AF2 | + | Β F2 |, 得 | AB |=

4 3
2

……… 4

(2)L 的方程式为 y=x+c,其中 c = 1 ? b

设 A( x1,y1 ),B( x1,y1 ) ,则 A,B 两点坐标满足方程组

{

y= x + c 2 x 2 + y 2 =1 b

……………6

化简得 (1 + b ) x + 2cx + 1 ? 2b = 0.
2 2 2

则 x1 + x2 =

?2c 1 ? 2b 2 , x1 x2 = . ……………8 1 + b2 1 + b2


因为直线 AB 的斜率为 1,所以 | ΑΒ |=

2 | x 2 ? x1 |

4 = 2 | x2 ? x1 | . …10 3



8 4(1 ? b 2 ) 4(1 ? 2b 2 ) 8b 4 = ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = ? = 9 (1 + b 2 ) 2 1 + b2 1 + b2

解得

b=

2 . ………… 2

12

? y 2 = 2 px 21.解: (1)设抛物线的方程为 y = 2 px ,则 ? , 消去 y 得 ? y = 2x +1
2

4 x 2 ? (2 p ? 4) x + 1 = 0, x1 + x2 =

p?2 1 , x1 x2 = 2 4

……………2

AB = 1 + k 2 x1 ? x2 = 5 ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = 5 (

p?2 2 1 ) ? 4 × = 15 ,………4 2 4



p2 ? p = 3, p 2 ? 4 p ? 12 = 0, p = ?2, 或6 4
…………6

∴ y 2 = ?4 x,或y 2 = 12 x
2

(2)解法一、显然抛物线 y = ?4 x 与直线 y = 2 x ? 5 无公共点,设点 P ( ?

t2 , t ) 为抛物线 4

y 2 = ?4 x 上的任意一点,点 P 到直线 y = 2 x ? 5 的距离为 d ,则

……………7

2 × (? d=

t2 )?t ?5 4 5

t 2 + 2t + 10 = 2 5
1 , ?1) 为所求的点 4

……………10

当 t = ?1 时, d 取得最小值,此时 P ( ?

……………12

解法二、显然抛物线 y 2 = ?4 x 与直线 y = 2 x ? 5 无公共点,设与直线 y = 2 x ? 5 平行且与 抛物线 y 2 = ?4 x 相切的直线方程为 y = 2 x + b ,切点为 P,则点 P 即为所求点。……7 由?

? y = 2x + b 消去 y 并化简得: 4 x 2 + 4(b + 1) x + b 2 = 0 , 2 ? y = ?4 x
1 2

……………9

∵直线与抛物线相切,∴ ? = 16(b + 1) 2 ? 16b 2 = 0 ,解得: b = ? 把b = ?

1 1 代入方程 4 x 2 + 4(b + 1) x + b 2 = 0 并解得: x = ? ,∴ y = ?1 2 4 1 故所求点为 P ( ? , ?1) 。 4

……………12

1 22、解:设函数 f ( x) = ? x 3 + x 2 + (m 2 ? 1) x, ( x ∈ R, )其中m > 0 (Ⅰ)当 m = 1时, 3
曲线 y = f ( x)在点( ,f( )) 1 1 处的切线方程 (Ⅱ) 求函数的单调区间与极值; Ⅲ) ( 已 知 函 数 f ( x) 有 三 个 互 不 相 同 的 零 点 0 , x1 , x 2 , 且 x1 < x 2 。 若 对 任 意 的

x ∈ [ x1 , x 2 ] , f ( x) > f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。
1 3 x + x 2 , f / ( x) = x 2 + 2 x, 故f ' (1) = 1 所 以 曲 线 3 2 y = f ( x)在点( ,f( ))处 的 切 线 斜 率 为 1. 又 f (1) = , 所 以 曲 线 1 1 3 1 y = f ( x)在点( ,f( )) 1 1 处的切线方程为 y = x ? . …………2 3
解 析 当 m = 1时,f ( x) =

(2)解析 f ' ( x) = ? x 2 + 2 x + m 2 ? 1 ,令 f ' ( x) = 0 ,得到 x = 1 ? m, x = 1 + m 因为 m > 0, 所以1 + m > 1 ? m 当 x 变化时, f ( x), f ' ( x) 的变化情况如下表:
1? m 0 (1 ? m,1 + m) 1+ m 0 (1 + m,+∞) +

x
f ' ( x) f (x)

(?∞,1 ? m)
+

极小值

极大值
………………………………4

f (x) 在 (?∞,1 ? m) 和 (1 + m,+∞) 内减函数,在 (1 ? m,1 + m) 内增函数。

2 1 函数 f (x) 在 x = 1 + m 处取得极大值 f (1 + m) ,且 f (1 + m) = m 3 + m 2 ? 3 3
……5

函 数

f (x)



x = 1? m

处 取 得 极 小 值
……6

f (1 ? m)

, 且

2 1 f (1 ? m) = ? m 3 + m 2 ? 3 3

(3)解析

1 1 由题设, f ( x) = x(? x 2 + x + m 2 ? 1) = ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) 3 3

1 所以方程 ? x 2 + x + m 2 ? 1 =0 由两个相异的实根 x1 , x 2 ,故 x1 + x 2 = 3 ,且 3 4 1 1 ? = 1 + (m 2 ? 1) > 0 ,解得 m < ? (舍),m > ……………………8 3 2 2 3 因为 x1 < x 2 , 所以2 x 2 > x1 + x 2 = 3, 故x 2 > > 1 2 1 若 x1 ≤ 1 < x 2 , 则f (1) = ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ≥ 0 ,而 f ( x1 ) = 0 ,不合题意……9 3 若 1 < x1 < x2 , 则对任意的 x ∈ [ x1 , x 2 ] 有 x ? x1 ≥ 0, x ? x 2 ≤ 0, …………10 1 则 f ( x) == ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) ≥ 0 又 f ( x1 ) = 0 , 所以函数 f (x) 在 x ∈ [ x1 , x 2 ] 的 3 最小值为 0,于是对任意的 x ∈ [ x1 , x 2 ] , f ( x) > f (1) 恒成立的充要条件是 f (1) = m 2 ? 1 3 3 < 0 ,解得 ? <m< 3 3 3

综上,m 的取值范围是

1 3 ( , ) ……………… 12 2 3


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