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广西桂林第十八中学2016届高三数学上学期第三次月考试卷 理


桂林市第十八中学 13 级高三第三次月考 理 科 数 学

考试时间 2015 年 11 月 07 日 15:00——17:00 第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 5 , 集合 M ? ?3, 4, 5 1. 已知全集 U ? ?1, 2, 3, 4, ? ? , N

? ?1, 2,5? , 则集合 (?U M ) ? N 可以表示为 ( ) A. ?1? 2. 若复数 B. ?1, 2? C. ?1, 2,3? D. ?1, 2,3, 4? )

a ? 3i ? a ? R, i为虚数单位? 是纯虚数,则实数 a 的值为( 1 ? 2i A. ?6 B. ?2 C. 4 D. 6 3.已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1, 公差d ? 0 ,且 a 2 是 a1 与 a 4 的等比

C.3 1 ?? ? 4. 已知 x ? ? 0, ? ? ,且 sin 2 x ? ,则 sin ? ? x ? ? 5 ?4 ? A.

中项,则 d ? ( A.1 B.2

) D.4

15 15 5 5 B. ? C. D. ? 5 5 5 5 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( 5 4 7 5 A. B. C. D. 2 3 3 3



6. 有 4 名优秀学生 A , B ,C , D 全部被保送到甲,乙,丙 3 所学校,每所学校至少去一名, 则不同的保送方案共有 A.26 种 B.32 种 C.36 种 D.56 种 7.已知不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0, 构成平面区域 ? (其中 x , y 是变量),则目标函数
?y ? 0 ?
z ? 3x ? 6 y 的最小值为(

?2 x ? y ? 4 ? 0, ?

开始

) C.-6 D. 6

S ? 0, n ? 1
S ? S ? log 2 n ?1 n?2

A. -3

B.3

8.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
9.在ΔABC中,?BAC ? 120?,AB ? 2,AC ? 1,D是边BC上的点? 包括端点?, ???? ??? ? 则 AD ? BC 的取值范围是( ) A. [1,2] B.[0,1] C.[0,2] D. [﹣5,2]

n ? n ?1

S ? ?3?
是 输出n 结束



10. 已知函数 f ( x) ? 3sin ? x cos ? x ? 3 cos2 ? x(? ? 0) 的最小正周期为

? ,将函数 f ( x) 的图像 2 ? 向左平移 ? ( ? >0)个单位后,得到的函数图形的一条对称轴为 x ? ,则 ? 的值不可 8
-1-

能为( ) 5? 13? 17? 23? A. B. C. D. 24 24 24 24 11. 如图过拋物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? 的焦点 F 的直线依次交拋物线及准线于点 A,B,C, 若 BC ? 2 BF ,且 AF ? 3 ,则拋物线的方程为( A. y 2 ? )
3 9 B y2 ? 9x C. y 2 ? x D. y 2 ? 3 x ] x 2 2 12. 已知 a ? 0 , 函数 f ? x ? ? eax sin x ? x ?[0, ??) ? .记 x n 为 f ? x ? 的从小到大的第 n ? n ? N ? ? 个极值

点,则数列 ? f ? xn ?? 是( A.等差数列,公差为 e C.等比数列,公比为 e a?
a?

) B.等差数列,公差为 ?e a? D.等比数列,公比为 ?e a?

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

? 1 ? ? x 2 ? 的展开式中的常数项是________. 13. 二项式 ? ? x ?
14. 如图,设 D 是图中边长为 4 的正方形区域, E 是 D 内函数 y ? x 2 图象下方的点构成 的区域.在 D 内随机取一点,则该点落在 E 中的概率为 . 15. A、B、C、D 是 同 一 球 面 上 的 四 个 点 , 其 中 ?ABC 是 正 三 角 形 , AD ⊥ 平 面 ABC , AD=4,AB=2 3 ,则该球的表面积为_________. 16. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2an ? 2n ?1 ,若不等式 2n2 ? n ? 3 ? (5 ? ? )an 对 ?n ? N ? 恒成立, 则整数 ? 的最大值为_________. 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分) 如图,在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山,山顶设有一个观察站 P ,上午 11 时,测得一 轮船在岛北偏东 30°,俯角为 30°的 B 处,到 11 时 10 分又测得该船在岛北偏西 60°,俯角 为 60°的 C 处. (1)求船的航行速度是每小时多少千米? (2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的 D 处,问此时船距岛 A 有多远?

10

18.(本小题满分 12 分) 某市工业部门计划度所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造,对所辖企业是否支持改 造进行问卷调查,结果如下表: 支持 不支持 合计 中型企业 80 40 120
-2-

小型企业 240 200 440 合计 320 240 560 ( Ⅰ ) 能 否 在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 0.025 的 前 提 下 认 为 “ 是 否 支 持 节 能 降 耗 技 术 改造”与“企业规模”有关? (Ⅱ) 从 上 述 320 家 支 持 节 能 降 耗 改 造 的 中 小 企 业 中 按 分 层 抽 样 的 方 法 抽 出 12 家 , 然 后 从 这 12 家 中 选 出 9 家 进 行 奖 励 ,分 别 奖 励 中 、小 企 业 每 家 50 万 元 、10 万 元 。 记 X 表示所发奖励的钱数,求 X 的分布列和数学期望: 附: K2 ?
P( K 2 ? k0 )
k0

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c )(b ? d )

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD ,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底面 ABCD 是
?ABC ? 60? 的菱形, M 为棱 PC 上的动点,且
PM ? ? ( ? ? ?0,1? )。 PC
2 5 . 5
A D P

(Ⅰ) 求证: BC ? PC ; (Ⅱ) 试确定 ? 的值,使得二面角 P ? AD ? M 的平面角余弦值为

M

20.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 ? : y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? 的焦点到准线的距离为 2。 (Ⅰ)求 p 的值;

B

C

(Ⅱ)如图所示,直线 l1 与抛物线 ? 相交于 A , B 两点, C 为抛物线 ? 上异于 A , B 的一点, 且 AC ? x 轴, 过 B 作 AC 的垂线, 垂足为 M ,过 C 作直线 l 2 交直线 BM 于点 N ,设 l1 , l 2 的斜 率分别为 k1 , k 2 ,且 k1k 2 ? 1 。 ① 线段 MN 的长是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由; ② 求证: A, B, C , N 四点共圆.

21. (本小题满分 12 分) 已知f ? x ? ? ln x ? e x ? a

?1? 若x ? 1是f ? x ?的极值点,讨论f ? x ?的单调性; ? 2 ?当a ? ?2时,证明:f ? x ? 在定义域内无零点.

-3-

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. (本小题满分 10 分) 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, AB 为圆 O 的直径, BC , CD 为圆 O 的切线, B, D 为切点. (Ⅰ)求证: AD / / OC ; (Ⅱ)若圆 O 的半径为 2,求 AD ? OC 的值.

23.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数). ? y ? ?4 ? 2 sin ?

(Ⅰ)以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; 0?,B ? 0, 2? ,圆 C 上任意一点 M ? x, y ? ,求 ?ABM 面积的最大值. (Ⅱ)已知 A ? ?2,

24.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? k ? x ? 3 , k ? R且f ? x ? 3? ? 0 的解集为 ??1,1? (Ⅰ)求 k 的值;

? II ? 若a, b, c是正实数,且

1 1 1 1 2 3 ? ? ? 1, 证明: a ? b ? c ? 1. ka 2kb 3kc 9 9 9

桂林市第十八中学 13 级高三第三次月考 理 科 数 学 答 案 一、选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 1.答案:B 解析:有元素 1,2 的是 ? U M , N ,分析选项则只有 B 符合。 2. 答 案 : A 解析:

a ? 3 i ( a? 3 i) (1 ? 2 i ) a? 6 ? ? ? 1 ? 2i (1 ? 2 i ) (1 ? i2 ) 5

? 3 a 2 a?6 3? 2 a ? 0, ? 0? , a?? 6 i ,所以 。 5 5 5
-4-

3.答案:A 4.答案:A

? 1 3 ?? ? ? 2 sin ? ? x ? ? ? ? sin x ? cos x ?? ? ?1 ? sin 2 x ? ? 2 5 ?4 ? ? 2 ?
2

2

15 ?? ? ? x ? ? 0, ? ? ,sin 2 x ? 2sin x cos x ? 0 ? sin x ? 0, cos x ? 0 ? sin ? ? x ? ? 5 ?4 ?
5.答案:A 解析:该几何体是下面是一个三棱柱, 上面是一个有一个侧面垂直于底面的三棱锥。 其体积为 ?

1 ?1 4 ?1 ? ? ? 1? 2 ? ? 1 ? ? ? ? 1? 2 ? ? 1 ? 。 3 ?2 3 ?2 ? ?

6.答案:36 解析:先从 4 名优秀学生 A , B ,C , D 中选出 2 名保送到甲,乙,丙 3 所学校中的某一所, 1 2 有 C2 4C3 ? 18 种方案;然后将剩余的 2 名优秀学生保送到剩余的 2 所学校,有 A 2 ? 2 种 方案;故不同的保送方案共有 18 ? 2 ? 36 种。 7.答案:C ? 2 x ? y ? 4 ? 0, ? 解析:不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0, 表示的平面区域如图阴影部分所示, ?y ? 0 ? 由限性规划知识可求答案。 8.答案:C 解析:由程序框图可知,从 n ? 1 到 n ? 15 得到 S ? ?3 ,因此将输出 n ? 16 . 故选 C。 9. 答 案 : D 解析:∵D 是边 BC 上的一点(包括端点) , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴可设 CD ? ?CB ? AD ? ? AB ? (1? ?) AC(0 ? ? ? 1) ??? ? ??? ? ? ?BAC ? 120? , AB ? 2 , AC ? 1 ,? AB?AC ? 2 ?1? cos120? ? ?1 ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?2 ??? ?2 ?? ? AD?BC ? ? ? AB ? (1 ? ? ) AC ( AC ? AB ) ? (2 ? ? 1) AB ? AC ? ? AB ? (1 ? ? ) AC ? ?(2? ? 1) ? 4? ? 1 ? ? ? ?

? ?7? ? 2.

?0 ? ? ? 1
???? ??? ? ? AD?BC 的取值范围是 ? ? ? 5, 2 ? ?。
10.答案:B 解 析 :

? (?7? ? 2) ? ? ??5, 2? ?

2? ? ? ,所以 2? ? 4 ,即 f ( x ) ? 3 sin(4x ? ? )? 3 。将函数 f ( x) 的图片向左 2? 2 6 2 ? 平移 ? ( ? >0)个单位后得到 g ( x) ? 3 sin(4 x ? ? 4? ) ? 3 ,因为函数 g ( x) 的一条
,故 对称轴为 x ? 知,选 B。
-5-

3 3 3 3 1 3 ? 3 f ( x) ? sin 2? x ? cos 2? x ? ? 3(sin 2? x? ? cos 2? x? ) ? ? 3 sin(2? x ? ) ? 2 2 2 2 2 2 6 2

?

6

2

。故 4?? ? ? ? 4? ? ? ? k? (k ? Z ) ,解得 ? ? ? ? ? k? (k ? Z ) ,观察可 8 8 6 2 24 4

11.答案:D 解析:如图分别过点 A,B 作准线的垂线,分别交准线于点 E,D, 设|BF|=a,则由已知得:|BC|=2a, 由定义得:|BD|=a,故∠BCD=30°, 在直角三角形 ACE 中,∵|AF|=3,|AC|=3+3a, ∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6,从而得 a=1, ∵BD∥FG,∴

1 2 3 ? ,求得 p= , 2 p 3
2

因此抛物线方程为 y =3x。 12.答案:D
解析:f ? ? x ? ? ae ax sin x ? e ax cos x ? e ax ? a sin x ? cos x ? ? e ax a 2 ? 1sin ? x ? ? ? 其中 tan ? ? 1 ? ?? , ? ? ? 0, ? a ? 2? sin ? n? ? ? ?
a ? n? ?? ?

f ? ? x ? ? 0 ? x ? ? ? k? ? x ? k? ? ? , k ? N ? ? f ? xn ? ? e ? f ? xn ?1 ? f ? xn ?
a ? n? ?? ?

?

e

a ? n ?1?? ?? ? e? sin ? ? n ? 1? ? ? ? ?

sin ? n? ? ? ?

?

e a ? n? ?? ? sin ? n? ? ? ?
a ? n? ?? ? ?? ? e? sin ? n? ? ? ? ? ?

? e a?

? sin ? n? ? ? ?

sin ? n? ? ? ?

? ?e a?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.答案:45 解 析 :
r Tr ?1 ? C10 ( 1 ?r 0 r ? ?5 1 1 ?r 0 2 r r 2r ) (? x )r ? C10 x 2 (?1)r x r ? C10 (?1) x2 x 5





5r ?5 2
14.答案:

? 0r
1 3

2 ? 2? ,故常数项为 C10 (?1)2 ? 45 。

x3 2 8 |0 2 ? 2? x dx 3?1 解析:由几何概型得,该点落在 E 中的概率为 P ? 0 ? 3 ? 4? 4 16 16 3 15.答案:32 ?
2 2

2

解析:由题意画出几何体的图形如图, 把 A、B、C、D 扩展为三棱柱,上下底面中心连线的中点与 A 的距离为球的半径, AD=4,AB=2 3 ,△ABC 是正三角形,所以 AE=2,AO=2 2 。 所求球的表面积为:4 ? (2 2 ) =32 ? 。 16.答案:4 解析:当 n ? 1 时, S1 ? 2a1 ? 22 得 a1 ? 4 , Sn ? 2an ? 2n ?1 ; 当 n ? 2 时, Sn ?1 ? 2an ? 2n ,两式相减得 an ? 2an ? 2an ?1 ? 2n ,得 an ? 2an ?1 ? 2n , a an ?1 所以 n ? ? 1。 2n 2n ?1 a a ?a ? 又 1 是以 2 为首项,1 为公差的等差数列, n ? 2 ,所以数列 ? n ? n ? 1 ,即 an ? (n ?1) ? 2 n 。 n ? 1 2 2n ?2 ? 2n ? 3 因为 an ? 0 ,所以不等式 2n2 ? n ? 3 ? (5 ? ? )an ,等价于 5 ? ? ? n 。 2
2

-6-

2n ? 1 n ?1 2n ? 3 bn ?1 2n ? 1 记 bn ? n , n ? 2 时, 。 ? 2 ? 2n ? 3 4n ? 6 2 bn 2n b 3 所以 n ? 3 时, n ?1 ? 1, (bn ) max ? b3 ? 。 bn 8

所以 5 ? ? ? , ? ? 5 ? ?

3 8

3 8

37 ,所以整数 ? 的最大值为 4。 8

17.解:(1)在 Rt△PAB 中,∠APB=60° ,PA=1,∴AB= 3 (千米) 在 Rt△PAC 中,∠APC=30°,∴AC= 在△ACB 中,∠CAB=30°+60°=90°

3 (千米)????3 分 3

? BC ?

AC 2 ? AB 2 ? (

3 2 30 ) ? ( 3)2 ? 3 3

??.6 分

30 1 ? ? 2 30 (千米 / 时) 3 6
(2)∠DAC=90°-60°=30°,sin∠DCA=sin(180°-∠ACB)=sin∠ACB=

30 3 3 10 . sin∠CDA=sin(∠ACB-30°)=sin∠ACB·cos30°-cos∠ACB·sin30° ? 10 3 1 3 (3 3 ? 1) 10 ? ? 1? ( 10 ) 2 ? ???.9 分 2 2 10 20 AD AC ? 在△ACD 中,据正弦定理得 , sin DCA sin CDA 9? 3 ∴答:此时船距岛 A 为 千米???? 12 分. 13
2 2

AB ? BC

3

?

3 10 10

560(80×200-40×240) 18.解: (Ⅰ)K = ≈5.657,???? 4 分 120×440×320×240 因为 5.657>5.024, 所以能在犯错概率不超过 0.025 的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模” 有? 6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知“支持”的企业中,中小企业家数之比为 1:3, 按分层抽样得到的 12 家中,中小企业分别为 3 家和 9 家. 设 9 家获得奖励的企业中,中小企业分别为 m 家和 n 家,则(m,n)可能为 (0,9) , (1,8) , (2,7) , (3,6) .与之对应, X 的可能取值为 90,130,170,210.???? 7 分 0 9 1 8 C3C9 1 C3C9 27 P(X=90)= 9 = , P(X=130)= 9 = , C12 220 C12 220 2 7 3 6 C3C9 108 C3C9 84 P(X=170)= 9 = , P(X=210)= 9 = , ???? 9 分(每两个 1 分) C12 220 C12 220 分布列如下: X 90 130 170 210
-7-

P

1 220

27 220

108 220

84 220 ???? 10 分 ???? 12 分

1 27 108 84 期望 E(X)=90× +130× +170× +210× =180 220 220 220 220

19.解: (Ⅰ)取 AD 中点 O ,连结 OP, OC , AC ,依题意可知△ PAD ,△ ACD 均为正三角形, 所以 OC ? AD , OP ? AD ,又 OC ? OP ? O , OC , OP ? 平面 POC , 所以 AD ? 平面 POC ,又 PC ? 平面 POC ,所以 AD ? PC , 因为 BC // AD ,所以 BC ? PC 。????5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 PO ? AD ,又平面 PAD ? 平面 ABCD , 平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , PO ? 平面 PAD ,所以 PO ? 平面 ABCD .????6 分 以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz 如图所示, ????7 分
B ??? ? PC ? 3, 0, ? 3 ???? ? ??? ? 由 PM ? ? PC ? ? 3, 0, ? 3 可得点 M 的坐标为 3? , 0, 3 ? 3? , ???? ? ???? ? 所以 AM ? 3? ,1, 3 ? 3? , DM ? 3? , ?1, 3 ? 3? , z P

M A O C x D y

则 P 0, 0, 3 , A ? 0, ?1,0? , D ? 0,1,0? , C

?

?

?

?

? ?

?

3, 0, 0 ,

?

?

?

?

?

?

?

???? ? ? 3? x ? y ? ? n ? AM ? 0 ? ? 设平面 MAD 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则 ? ???? , 即 ? ? ? ?n ? DM ? 0 ? 3? x ? y ? ?

? ?

3 ? 3? z ? 0 3?

? 3? ? z ? 0

? ?1 ? z ?x ? 解得 ? ? ,令 z ? ? ,得 n ? ? ? ?1,0, ? ? ,????8 分 ? ?y ? 0 ???? 显然平面 PAD 的一个法向量为 OC ? 3, 0, 0 ,????9 分 ???? 3 ? ? ? 1? n ? OC ???? 2 5 ? ???? ? 依题意 cos n, OC ? ,???? 10 分 2 2 5 n OC ? ? ? ? ? 1? ? 3

?

?

1 或 ? ? ?1 (舍去), ???? 11 分 3 1 2 5 所以,当 ? ? 时,二面角 P ? AD ? M 的余弦值为 .???? 12 分 3 5 20.解: (Ⅰ) p ? 2 ???? 3 分 (Ⅱ)①设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?,则 C?x1 ,? y1 ?, M ?x1 , y 2 ? , 直线 l1 的方程为: y ? k1 x ? b ????4 分
解得 ? ? 由?

? y ? k1 x ? b ? y ? 4x
2

消元整理可得: k1 x ? ?2bk1 ? 4?x ? b ? 0
2 2 2

-8-

4 ? 2bk1 ? ? x1 ? x2 ? k 2 1 所以 ? ???? 5 分 ? 2 ?x x ? b 1 2 ? k12 ? 4 ? ? y1 ? y 2 ? k 1 可求得: ? ? ? y y ? 4b 1 2 ? k1 ?
? y ? y2 ? 直线 l 2 的方程为: y ? y1 ? k 2 ( x ? x1 ) 所以可求得 N ? 1 ????6 分 ? x1 , y2 ? ? k ? 2 ? ?
所以 MN =

y1 ? y 2 4 = =4???? 7 分 k2 k1 k 2

? 2 ? bk1 2 ? ???? 8 分 ? k2 , k ? ? 1? ? 1 2 ? bk1 ? 2 1? 则 AB 的中垂线方程为: y ? ? ? ? x ? ? ? k1 k1 ? k12 ? ?
② AB 的中点 E?

? 2 ? 与 BC 的中垂线 x 轴交点为: o?? 2k1 ? bk1 ? 2 ,0 ? ???? 9 分 2 ? ? k1 ? ? 所以 ?ABC 的外接圆的方程为:

? 2k12 ? bk1 ? 2 ? 2k12 ? bk1 ? 2 2 2 ? ? x ? ? y ? ( ? x2 ) 2 ? y 2 ????10 分 2 2 ? ? k k 1 1 ? ? 由上可知 N ?x1 ? 4, y2 ?
? x1 ? 4 ? 2k12 ? bk1 ? 2 2k12 ? bk1 ? 2 2k12 ? bk1 ? 2 ? x ? ? x ? x ? 4 ? ?2 ? 0 2 1 2 k12 k12 k12
2

2

? 2k12 ? bk1 ? 2 ? 2k12 ? bk1 ? 2 2 2 ? ???? 11 分 ?? x ? 4 ? ? y ? ( ? x2 ) 2 ? y 2 1 2 2 2 ? ? k k 1 1 ? ? 所以 A, B, C , N 四点共圆. ???? 12 分
1 x?a ? e ??1分 x 由已知得f ? ?1? ? 0 ? 1 ? e1? a ? 0 ? a ? ?1?? 2分 21.解: ?1? f ? ? x ? ? 1 x ?1 ?e x 1 ①当0 ? x ? 1时, ? 1, e x ?1 ? e0 ? 1 ? f ? ? x ? ? 0 x ? f ? x ? 在 ? 0,1? 上递增?? 4分 此时f ? ? x ? ? 1 ②当x ? 1时, ? 1, e x ?1 ? e0 ? 1 ? f ? ? x ? ? 0 x ? f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上递减?? 6分

-9-

? ?? ? 2 ? f ? x ? 定义域为 ? 0, 当a ? ?2时,e x ? a ? e x ? 2 ? f ? x ? ? ln x ? e x ? a ? ln x ? e x ? 2 ?? 7分 令g ? x ? ? ln x ? e x ? 2 ?? 8分 1 x?2 ?e x 1 g ?? ? x ? ? ? 2 ? e x ? 2 ? 0 x ? g ? ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上递减 则g ? ? x ? ? 1 0 ?e ? 0 2 ? g ? ? x ? 在 ?1, 2 ? 上有唯一零点x0 ??10分 又g ? ?1? ? 1 ? e ?1 ? 0, g ? ? 2 ? ? ? 1 1 ? e x0 ? 2 ? 0 ? ln x0 ? ? x0 ? 2, e x0 ? 2 ? x0 x0

? 当0 ? x ? x0 , g ? ? x ? ? 0 ? g ? x ? 在 ? 0, x0 ? 上递增 当x ? x0 , g ? ? x ? ? 0 ? g ? x ? 在 ? x0 , ?? ? 上递减
g ? x ?max ? g ? x0 ? ? ln x0 ? e x0 ? 2 ? ? x0 ? 2 ? 1 x0

? 1? 1 ? ? ? x0 ? ? ? 2 ? ?2 x0 ? ? 2 ? 0 x0 ? x0 ? ?当a ? ?2时,f ? x ? ? 0.??11分 ?当a ? ?2时,f ? x ? 在定义域内无零点.??12分

22.解:(I)连接 BD, OD,? CB, CD 是圆 O 的两条切线,

? BD ? OC , ? ?ODB ? ?DOC ? 90? ,又? AB 为圆 O 的直径, ? AD ? DB , ? ?ADO ? ?ODB ? 90? ??DOC ? ?ODA , ? AD / / OC ,即得证,???? 5 分 (II)? AO ? OD ,? ?DAO ? ?DOC , ? Rt △ BAD∽ Rt △ COD , AD ? OC ? AB ? OD ? 8 。 ????10 分
23.解: (I)圆 C 的参数方程为 ?
2

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数) y ? ? 4 ? 2 sin ? ?
2

所以普通方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4

? 圆 C 的极坐标方程: ? 2 ? 6? cos? ? 8? sin ? ? 21 ? 0 ????5 分 | 2 cos? ? 2 sin ? ? 9 | (II)点 M ( x, y ) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ? 2 1 ? △ ABM 的面积 S ? ? | AB | ?d ?| 2 cos ? ? 2 sin ? ? 9 |?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | 2 4 所以△ ABM 面积的最大值为 9 ? 2 2 ???? 10 分 24.解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? k ? x ? 3 ,所以 f ( x ? 3) ? 0 等价于 x ? k
由 x ? k 有解,得 k ? 0 ,且其解集为 ? x ? k ? x ? k ? 又 f ( x ? 3) ? 0 的解集为 ??1,1? ,故 k ? 1 ???? 5 分
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(Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 1 1 ? ? ?1 a 2b 3c

又 a, b, c 是正实数, 由均值不等式得

1 1 1 a a 2b 2b 3c 3c a ? 2b ? 3c ? (a ? 2b ? 3c)( ? ? ) ? 3? ? ? ? ? ? ? a 2b 3c 2b 3c a 3c a 2b a 2b a 3c 2b 3c 3? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3? 2? 2? 2 ? 9 2b a 3c a 3c 2b 当且仅当 a ? 2b ? 3c 时取等号。 1 2 3 也即 a ? b ? c ? 1 ???? 10 分 9 9 9

- 11 -


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