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2007年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛试卷参考答案


2007 年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛试卷参考答案
(考试时间:2007 年 9 月 16 日上午 8:00-10:30) 一、选择题(共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分,以下每小题均给出了代号为 A、B、C、D 的四个选项,其中有且只有一个是正确的,请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、 多填或错填均得零分) 1.一个直角三角形的两条直角边长为 a

, b 满足不等式

a 2 ? 6a 2 ? 19 ? b2 ? 4b 3 ? 16 ? 3 ,
则这个直角三角形的斜边长为( A.5 B. 30 ) C.6 D. 40

2.数 812934756 是一个包含 1 至 9 每个数字恰好一次的九位数,它具有如下性质:数字 1 至 6 在其中是从小到大排列的, 但是数字 1 至 7 不是从小到大排列的. 这样的九位数共有( ) 个. A.336 B.360 C.432 D.504 3.一个三角形的最短边长度是 1,三个角的正切值都是整数,则该三角形的最长边的长度为 ( ).

2 10 3 5 B. C. 3 D.2 5 5 4.正三棱锥底面一个顶点与它所对侧面重心的距离为 8,则这个正三棱锥的体积的最大值为 ( ). A.18 B.36 C.72 D.144
A. 5.对每一个正整数 k ,设 ak ? 1 ?

1 1 ? ? ,则 2 k

(3a1 ? 5a2 ? 7a3 ? ? ? 99a49 ) ? 2500a49
等于( A.-1025 ) B.-1225 C.-1500 D.-2525

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?的五元子集共有 21 个,每个子集的数从小到大排好后,取 6.集合 S ? ?
出中间的数,则所有这些数之和是( ) A.80 B.84 C.100

D.168

二.填空题(共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分.请直接将答案写在题中的横线上) 7.函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ,若 f ( x) ? a <2 恒成立的充分条件是 1 ? x ? 2 ,则实数 a 的 取值范围是 . 8.在直角坐标平面上,正方形 ABCD 的顶点 A、C 的坐标分别为(12,19) 、 (3,22) ,
2007 年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛试卷参考答案 1

则顶点 B、D 的坐标分别为
2 2

. (A、B、C、D 依逆时针顺序排列)

9.已知 F1 、 F2 分别是椭圆

x y ? 2 ? 1 (0< b <3)的左、右焦点.若在椭圆的右准线 9 b


上存在一点 P,使得线段 PF1 的垂直平分线过点 F2 ,则 b 的取值范围是 10.方程 100x ? 3 y ? 1003 的正整数解 ( x, y ) 有 11.设 f ( x) ? 组.

1 1? x ,则不等式 ? lg 2x ? 5 1? x

1 ? 1 ? f ? x( x ? )? < 的解集为 2 ? 5 ?



12.设函数 f ( x) ? 1 ? 2x ? 3 x ? 1 ,如果方程 f ( x) ? a 恰有两个不同的实数根 u, v ,满 足 2 ? u ? v ? 10 ,则实数 a 的取值范围是 .

三、解答题: (共 4 小题,每小题 20 分,满分 80 分.要求写出解题过程)

2x ? 2 s i n x , g ( x) ? 3 x ? 13 . 已 知 f ( x) ? s i n

1 , 若 对 任 意 x1 , x2 ? (0, ? ?) 恒 有 4x

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? m ,试求 m 的最大值.

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14.已知 F1 、 F2 分别是双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 的左、右焦点,过 F1 斜率为 k 的直线 l1 交双曲 3

线的左、右两支分别于 A、C 两点,过 F2 且与 l1 垂直的直线 l 2 交双曲线的左、右两支分别于 D、B 两点. (1)求 k 的取值范围;

(x0 , y0 ) 是直线 l1 、 l 2 的交点为,求证: x0 ? (2)设点 P
(3)求四边形 ABCD 面积的最小值.

2

2 y0 4 > ; 3 3

15.如图,在锐角三角形 ABC 中, AA1 , BB1 是两条角平分线,I,O,H 分别是 ?ABC 的内心,外心,垂心,连接 HO,分别交 AC,BC 于点 P,Q.已知 C, A1 ,I, B1 四点共圆. (1)求证: ?C ? 60? ; (2)求证: PQ ? AP ? BQ . B1 P A 第 15 题 图 H I O C

A1 Q

B

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16.已知两个整数数列 a0 , a1 , a 2 , ? 和 b0 , b1 , b 2 , ? 满足 (1)对任意非负整数 n ,有

an ? 2 ? an ? 2 ;
(2)对任意非负整数 m, n, 有

a m ?an ? bm 2 ? n 2
证明:数列 a0 , a1 , a 2 , ? 中最多只有 6 个不同的数.

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2007 年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛试卷参考答案
(考试时间:2007 年 9 月 16 日上午 8:00-10:30) 一、选择题(共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分,以下每小题均给出了代号为 A、B、C、D 的四个选项,其中有且只有一个是正确的,请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、 多填或错填均得零分) 1.一个直角三角形的两条直角边长为 a, b 满足不等式

a 2 ? 6a 2 ? 19 ? b2 ? 4b 3 ? 16 ? 3 ,
则这个直角三角形的斜边长为( A.5 答案:B 解:原不等式化为 (a ? 3 2 ) 2 ? 1 ? (b ? 2 3 ) 2 ? 4 ? 3 , 而 (a ? 3 2 ) 2 ? 1 ? (b ? 2 3 ) 2 ? 4 ? 1 ? 4 ? 3 , 所以 a ? 3 2 , b ? 2 3 .于是,斜边长为 30 . 2.数 812934756 是一个包含 1 至 9 每个数字恰好一次的九位数,它具有如下性质:数字 1 至 6 在其中是从小到大排列的, 但是数字 1 至 7 不是从小到大排列的. 这样的九位数共有( ) 个. A.336 B.360 C.432 D.504 答案:C 解:在 1,2,3,4,5,6 中插入 7,有 6 种放法,然后插入 8 和 9,分别有 8 种和 9 种放法, 所以,共有 6 ? 8 ? 9 ? 432 个满足性质的九位数. 3.一个三角形的最短边长度是 1,三个角的正切值都是整数,则该三角形的最长边的长度为 ( ). B. 30 ) C.6 D. 40

2 10 3 5 B. C. 3 5 5 答案:B 解:该三角形不是直角三角形.不妨设 A ? B ? C .
A. 则 tan A ? 3 ,又 tan A ? Z ,所以 tan A ? 1 .

D.2

非直角三角形中,有恒等式 tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C , 即 tan B 、 tan C 是方程 1 ? x ? y ? xy 的一组正整数解. 所以 tan B =2, tan C =3. 易解得最长边为

3 5 2 10 (另外一条边长为 ). 5 5

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4.正三棱锥底面一个顶点与它所对侧面重心的距离为 8,则这个正三棱锥的体积的最大值为 ( ). A.18 B.36 C.72 D.144 答案:D 解: 设正三棱锥 P-ABC 的底面边长为 a , 高为 h ,O 为三角形 ABC 的中心,G 为侧面 PBC 的重心,GH 垂直底面 ABC,垂足为 H.

1 1 8 8 3 4 3 PO ? h, AH ? AD ? ? a? a, 3 3 9 9 2 9 16 2 1 2 由 AH 2 ? GH 2 ? AG2 得 a ? h ? 64 , 27 9
则 GH ? 故 16a 2 ? 3h2 ? 64 ? 27 , 由平均不等式得
G B D

P

h A H O C 第 4 题答题 a

64 ? 27 ? 8a2 ? 8a2 ? 3h2 ? 33 8a2 ? 8a2 ? 3h2 ,
所以, a 2 h ? 576 3 ,于是 VP ? ABC ? 当



1 3 2 S ?ABC h ? a h ? 144 . 3 12

a 6 ? 时等号成立.故体积的最大值为 144. h 4 1 1 5.对每一个正整数 k ,设 ak ? 1 ? ? ? ,则 2 k

(3a1 ? 5a2 ? 7a3 ? ? ? 99a49 ) ? 2500a49
等于( A.-1025 答案:B 解: ) B.-1225 C.-1500 D.-2525

(3a1 ? 5a2 ? 7a3 ? ? ? 99a49 ) ? 2500a49

= (3 ? 5 ? ? ? 99) ?1 ? (5 ? 7 ? ? ? 99) ? ? (7 ? 9 ? ? ? 99) ? ? ? ? 99 ? = (502 ? 12 ) ?1 ? (502 ? 22 ) ? ? ? ? (502 ? 492 ) ?

1 2

1 3

1 ? 2500a49 49

1 2

1 ? 2500a49 49

1 1 ? ? ? ) ? (1 ? 2 ? ?49) ? 2500a49 2 49 = ? (1 ? 2 ? ? ? 49) ? ?1225 .
= 502 (1 ?

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?的五元子集共有 21 个,每个子集的数从小到大排好后,取 6.集合 S ? ?
出中间的数,则所有这些数之和是( ) A.80 B.84 C.100

D.168

2007 年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛试卷参考答案 6

答案:B 解:显然中间数只能是 3,4,5.
2 2 2 以 3 为中间数的子集有 C4 个,以 4 为中间数的子集有 C3 个,以 5 为中间数的子集 ? C3 2 有 C4 个. 2 2 2 2 所以,这些中间数的和为 3 ? C4 ? 4 ? C3 ? C3 ? 5 ? C4 ? 84 .

另解:对某个子集 A ,用 8- A 表示 A 中每个元素被 8 减所得的集合,这个集合也是一 个满足要求的 5 元子集.这是一个 1-1 对应.且这两个集合中中间数之和为 8,平均为 4. 故所有的中间数的和为 21? 4=84 . 二.填空题(共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分.请直接将答案写在题中的横线上) 7.函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ,若 f ( x) ? a <2 恒成立的充分条件是 1 ? x ? 2 ,则实数 a 的 取值范围是 答案:1< a <4 .

解:依题意知, 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? a <2 恒成立. 所以 1 ? x ? 2 时,-2< f ( x) ? a <2 恒成立,即 f ( x) ? 2 < a < f ( x) ? 2 恒成立. 由于 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 = ( x ? 1)2 ? 2 的最大值为 3,最小值为 2, 因此,3-2< a <2+2,即 1< a <4. 8.在直角坐标平面上,正方形 ABCD 的顶点 A、C 的坐标分别为(12,19) 、 (3,22) , 则顶点 B、D 的坐标分别为 . (A、B、C、D 依逆时针顺序排列) 答案: (9,25) 、 (6,16) 解:设线段 AC 的中点为 M,则点 M 的坐标为 (

15 41 , ) ,利用复数知识不难得到顶点 B 2 2

和 D 的坐标分别为(9,25) 、 (6,16) . (或者利用向量知识) 9.已知 F1 、 F2 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 (0< b <3)的左、右焦点.若在椭圆的右准线 9 b2


上存在一点 P,使得线段 PF1 的垂直平分线过点 F2 ,则 b 的取值范围是 答案: (0,

6)

解:线段 PF1 的垂直平分线过点 F2 ,等价于 F2 P ? F1F2 . 设椭圆的右准线 x ?

9 交 x 轴于点 K , c

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则在椭圆的右准线上存在一点 P,使得 F2 P ? F1F2 ,等价于 F2 K ? F1F 2 . 所以

9 ? c ? 2c , c 2 ? 3 . c

因此 b2 ? a 2 ? c 2 ? 9 ? c 2 ? 6 故 b 的取值范围是 (0,

6 ?.
组.

10.方程 100x ? 3 y ? 1003 的正整数解 ( x, y ) 有

答案:4 解:由题设可知, x ? 10 .两边模 3,知 x ? 1(mod 3) ,所以, x =1,4,7,10,对应的 y 分别为 301,201,101,1. 故满足方程的正整数解有 4 组. 11.设 f ( x) ?

1 1? x ,则不等式 ? lg 2x ? 5 1? x

1 ? 1 ? f ? x( x ? )? < 的解集为 2 ? 5 ?



答案: (

1 ? 17 1 1 ? 17 ,0) ? ( , ) 4 2 4

1 ? ? 解:原不等式即为 f ? x( x ? )? < f (0) . 2 ? ?
因为 f ( x) 的定义域为(-1,1) ,且 f ( x) 为减函数.

1 ? 1 ? 17 1 1 ? 17 ?? 1 ? x ? ( x ? 2 ) ? 1 ,0) ? ( , ) 所以 ? .解得 x ? ( 1 4 2 4 ? x( x ? ) ? 0 2 ?
12.设函数 f ( x) ? 1 ? 2x ? 3 x ? 1 ,如果方程 f ( x) ? a 恰有两个不同的实数根 u, v ,满 足 2 ? u ? v ? 10 ,则实数 a 的取值范围是 答案: ? 5 ? a ? .

4 3 ? ? x ? 4, 当x ? ?1时, ? 1 解:因为 f ( x) ? ?? 5 x ? 2, 当 ? 1 ? x ? 时, 2 ? 1 ?? x ? 4, 当x ? 时. 2 ? 当 a>3 时, f ( x) ? a 无解;当 a =3 时, f ( x) ? a 只有一个解.

2007 年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛试卷参考答案 8

9 ? a ? 3 时,直线 y ? a 与 y ? x ? 4 和 y= ? 5x ? 2 有两个交点,故此时 f ( x) ? a 有 2 9 两个不同的解;当 a < ? 时,直线 y ? a 与 y ? x ? 4 和 y ? ? x ? 4 有两个交点,故此时 2 f ( x) ? a 有两个不同的解.
当? 对于上述两种情形,分别求出它们的解 u, v ,然后解不等式 2 ? u ? v ? 10 ,可得实数 a 的取值范围是 ? 5 ? a ?

4 . 3 1 , 若 对 任 意 x1 , x2 ? (0, ? ?) 恒 有 4x

三、解答题: (共 4 小题,每小题 20 分,满分 80 分.要求写出解题过程)

2x ? 2 s i n x , g ( x) ? 3 x ? 13 . 已 知 f ( x) ? s i n

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? m ,试求 m 的最大值.
解:因为 f ( x1) ? sin 2 x1 ? 2 sin x1 ,

? 2 sin x1 (cos x1 ? 1)

? f ( x1)?2 ? 4(1 ? cos x1)(1 ? cos x1)3
4 ? (3 ? 3 cos x1 )(1 ? cos x1 )(1 ? cos x1 )(1 ? cos x1 ) 3 4 3 ? 3cos x1 ? 1 ? cos x1 ? 1 ? cos x1 ? 1 ? cos x1 4 ? ?( ) 3 4 27 = 4 3 3 所以 f ( x1 ) ? . 2
又 g ( x2 ) ? 3x2 ? 所以 m ?

1 ? 3, 4 x2

3 3 3 ? 3? . 2 2 ? 3 3 当 x1 ? , x2 ? 时,上述各式的等号成立,所以 m 的最大值为 . 2 3 6 y2 ? 1 的左、右焦点,过 F1 斜率为 k 的直线 l1 交双曲 14.已知 F1 、 F2 分别是双曲线 x 2 ? 3
线的左、右两支分别于 A、C 两点,过 F2 且与 l1 垂直的直线 l 2 交双曲线的左、右两支分别于
2007 年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛试卷参考答案 9

D、B 两点. (1)求 k 的取值范围;

(x0 , y0 ) 是直线 l1 、 l 2 的交点为,求证: x0 ? (2)设点 P
(3)求四边形 ABCD 面积的最小值.

2

2 y0 4 > ; 3 3

解: (1)由条件知, l1 、 l 2 的方程分别为 y ? k ( x ? 2) 、 y ? ? ( x ? 2) .
2 ? 2 由 ?3 x ? y ? 3 ,得 (3 ? k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 4k 2 ? 3 ? 0 . ? y ? k ( x ? 2)

1 k

由于 l1 交双曲线的左、右两支分别于 A、C 两点, 所以 x A ? xC ?

? 4k 2 ? 3 <0,解得 k 2 <3. 2 3? k

?3 x 2 ? y 2 ? 3 ? 由? ,得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 4x ? 4 ? 3k 2 ? 0 . 1 y ? ? ( x ? 2 ) ? k ?
由于 l 2 交双曲线的左、右两支分别于 D、B 两点, 所以 xB ? xD ? 因此,

? 4 ? 3k 2 1 <0,解得 k 2 > . 2 3k ? 1 3

3 3 1 )?( , 3) . < k 2 <3, k 的取值范围是 (? 3 ,? 3 3 3

(2)由条件知, PF1 ? PF2 ,点 P 在以 F1F2 为直径的圆上.
2 2 所以 x0 ? y0 ? 4.

因此 x0 ?

2

2 x2 y2 y0 4 > 0 ? 0 = . 3 3 3 3

(3) 由 (1) 知, AC ? 1 ? k 2 ? x A ? xC ? 1 ? k 2 ? (

4k 2 2 ? 4k 2 ? 3 6(1 ? k 2 ) ) ? 4 ? ? . 3? k2 3? k2 3? k2

1 1 ?4 ? 4 ? 3k 2 6(1 ? k 2 ) BD ? 1 ? (? ) 2 ? xB ? xD ? 1 ? (? ) 2 ? ( 2 ) 2 ? 4 ? ? . k k 3k ? 1 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
∴四边形 ABCD 的面积 S ?

1 18(k 2 ? 1) 2 . AC ? BD ? 2 (3 ? k 2 )(3k 2 ? 1)

2007 年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛试卷参考答案 10

由于 S ?

18(k 2 ? 1) 2 18 18 = ? ? 18 .当且仅当 2 2 2 2 2 (3 ? k )(3k ? 1) 3 ? k 3k ? 1 1 3 ? k 3k 2 ? 1 2 ? ?( ? ) k 2 ?1 k 2 ?1 4 k 2 ?1 k 2 ?1

3 ? k 2 3k 2 ? 1 ? ,即 k 2 ? 1, k ? ?1 时,等号成立. k 2 ?1 k 2 ?1 所以,四边形 ABCD 面积的最小值为 18.
15.如图,在锐角三角形 ABC 中, AA1 , BB1 是两条角平分线,I,O,H 分别是 ?ABC 的内心,外心,垂心,连接 HO,分别交 AC,BC 于点 P,Q.已知 C, A1 ,I, B1 四点共圆. (1)求证: ?C ? 60? ; (2)求证: PQ ? AP ? BQ . B1 P A 证明: (1)因为 C, A1 ,I, B1 四点共圆,所以
?C ? 180? ? ?AIB

C

A1 H I O Q

B 第 15 题 图

1 1 1 ? ?I A ? B?I B C ? ?A ? ?B ? 90? ? ?C . 2 2 2
所以, ?C ? 60? . (2)因为 ?AHB ? 180? ? ?C ? 120? , ?AOB ? 2?ACB ? 120? , 所以, A, H , O, B 四点共圆, 于是 ?PHA ? ?OBA ?

C

B1 P A H I O

A1 Q

1 (180? ? ?AOB) ? 30? , 2

又 ?PAH ? 90? ? ?C ? 30? , 所以 ?PAH ? ?PHA , 于是 AP ? PH , 同理可得 BQ ? QH 故, PQ ? AP ? BQ

B 第 15 题答题 图

2007 年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛试卷参考答案 11

16.已知两个整数数列 a0 , a1 , a 2 , ? 和 b0 , b1 , b 2 , ? 满足 (1)对任意非负整数 n ,有

an ? 2 ? an ? 2 ;
(2)对任意非负整数 m, n, 有

a m ?an ? bm 2 ? n 2
证明:数列 a0 , a1 , a 2 , ? 中最多只有 6 个不同的数. 证明:首先,一个整数若是 4 的倍数,则它一定能表示成 (n ? 2)2 ? n2 ,其中 n 是非负整 数.事实上,由 4k ? (k ? 1)2 ? (k ?1)2 便得. 若 m, n, ( m > n )的奇偶性相同,则 m 2 ? n 2 是 4 的倍数,设

m 2 ? n 2 = (k ? 2)2 ? k 2 ,
所以

m2 ? k 2 ? (k ? 2)2 ? n2

于是由条件(2)知

am ? ak ? bm2 ? k 2 ? b(k ? 2) 2 ? n 2 ? ak ? 2 ? an ,
故 am ? an ? ak ? 2 ? ak 所以, am ? an ? 2 于是在 a1 , a3 , a5 , ? 中,任意两项的差的绝对值至多为 2,所以,它们最多能取 3 个 不同的值: a, a ? 1, a ? 2 . 同样,在 a0 , a2 , a 4 , ? 中,任意两项的差的绝对值也至多为 2,所以,它们最多能取 3 个不同的值: b, b ? 1, b ? 2 . 综上所述,数列 a0 , a1 , a 2 , ? 中最多只有 6 个不同的数.

2007 年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛试卷参考答案 12


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