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11月29日-正切函数的图象与性质


正切函数的图象与性质

问题引入
1.正余弦函数的基本性质包括哪些内容?

(1)定义域; (2)值域; (3)周期性; (4)奇偶性; (5)单调性;
思考:这些性质可以通过怎样方法得到? 分析图象

探究y ? tanx的图像与性质

正切函数图象
作法如下:

r />
y

?建系画圆 ?八等分右半圆 ?作正切线
?

?
2

?

3? ? ? ? ? 8 4 8

o?

?
4

8

3? 8

? 2

x

?移线描点
?连线.

正切函数图象

y
1

?

3? 2

??

?

?
2

O

?
?

?1

?

3? 2

x

正切函数图像是由被相互平行的直线
x?

?
2

? k? ?k ? Z ?隔开的无穷多支曲线所组

成的,称之为正切曲线

正切函数图象的画法
??

y
1

?

?
2

?1

O

?
?

?

x

三点两线法:
"三 点 "是 指 : (? ,?1), (0,0), ( ,1); 4 4 ? ? "两 线 "是 指x ? ? 和x ? . 2 2

?

?

? ? 正切函数图像性质 (1)定义域: ? ? x | x ? ? k? , k ? Z ? y 2
3? 2

??

?

?
2

O? 2

?

3? 2

x

( (6)对称性: 图象关于点

(2)值 域 : R (3)周期性: T ? ? (4)奇偶性: 奇函数 (5)零 点 : (k? ,0) ? k ? Z ? k?
?
2

?

?

2

,0)( k ? Z )成中心对称
?
2

(7)单调性: 在每个开区间 (?

? k? ,

? k? )( k ? Z )都是增函数

(8)渐近线: x ? k? ? 2 ?k ? Z ?

? ? ? ?? ? k? ? , k? ? :? (9)正值区间 :? k? , k? ? 2 ? 负值区间 2 ? ? ? ?

典例分析
例1 : 求函数 y ?
? tan x ? 3
结合正切函数的图象知 , ? ? k? ? ? x ? k? ? ( k ? z ) 2 3 ? ? ?函 数 定 义 域 为 ( k? ? , k? ? ](k ? z ) 2 3

3 ? tan x的定义域.

解:要使函数有意义 , 则 3 - tan x ? 0

求函数y ?

3 ? tan x ? tan x ? 1的定义域

正、余弦函数最小正周期是2π.
求三角函数的周期,通常有三种方法: 方法一:定义法 方法二:公式法

?x ? R, f ( x) ? f ( x ? T )

y ? A sin(?x ? ? )或y ? A cos(?x ? ? ) 2? T? |? |
方法三:观察法(图像法)

典题分析
例2.求下列函数的周期:
1 ? (1) y ? 3 tan(2 x ? ); ( 2) y ? 3 tan( ? x ? ). 2 4 4

?

? 解 : ? f ( x ) ? 3 tan (2 x ? ) ? 3 tan(2 x ? ? ? ) 4 4 ? ? ?
?
? 3 tan [2( x ? 2 )?

? 结论 : 函数y ? A tan( ?x ? ? )的周期为 T ? ?

? f ( x )的最小正周期 .

] ? f (x ? ) 4 2

典题分析

x ? 例3.求 函 数 f ( x ) ? 3 tan(? ? )单 调 减 区 间 . 2 4
x ? 解:原函数可化为 : y ? ?3 tan( ? ); 2 4

x ? 令u ? ? ; 所 以y ? tan u的 单 调 递 增 区 间 为 : 2 4 ? ? 1 ? k? ? ? u ? k? ? , k ? Z ; ?由u ? x ? 得 : 2 2 2 4 ? 1 ? ? k? ? ? x ? ? k? ? 2 2 4 2 ? y ? f ( x )的单调递减区间为 : ? 3? ( 2k? ? ,2k? ? )(k ? Z ) 2 2

典题分析
例4.比较下列两个正切函数值的大小 (不通过求值).

(1) tan167 ____tan173 ;
11 13 ( 2) tan(? ? ) _____ tan( ? ? ); 4 5

0

?

0

?

典题分析
?
4

例5.函 数y ? tan(3 x ? ? )图 象 的 对 称 中 心 是( ,0), 其 中?

?
2

?? ?

?
2

, 求?的 值.

??

?
4

或? ? ?

?
4

课堂小结
正切函数的性质:
? ? ? 1.定义域: ? x | x ? ? k? , k ? Z ? 2 ? ? 2.值域: R
3.周期性: T ? ? 5.单调性:
在每个开区间 (-

4.奇偶性: 奇函数
?
2 ? k? ,

?
2

? k? )( k ? Z )都是增函数

课后作业:
课时作业(十一)


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