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《穿针引线法》的教学设计


《一元二次不等式的应用(1) 》教学设计
高二数学备课组 何 泽 2009/11/1 课 题:一元二次不等式的应用(1) 教学目标: (1) 知识与技能:能够把分式不等式转化为一元二次不等式求解,掌握“穿针引线 法”求解分式不等式和简单的高次不等式。 (2) 过程与方法:通过尝试与归纳得出基本方法,并熟练应用。 (3) 态度、情感、价值观:体会数学知识的联系,感受划归思想。 教学重点:求解分式不等式和简单的高次不等式 教学难点:在不等式转化过程中如何保证等价性 教学过程: 一、 引入课题 1、小练习:解不等式

(x+1)(2x-1)<0 ① (2x+1)(x+2)? 0 ③

(x-2)(1-x)<0 ② (1-2x)(1+x)? 0 ④

(学生练习完成,老师点评。师生共同复习“三个一元二次”的关系) 2、思考:解不等式

x+1 <0 2x-1 2x+1 ?0 ③ x+2


x-2 <0 1-x 1-2x ?0 ④ 1+x


二、新课 1、对于练习题 2 中这样的分式不等式,我们可以考虑等价变形去掉分母, 思路(1) : 对分母分正负情况讨论,去分母,注意不等式是否改变方向; (略) 思路(2) : 可以利用不等式的性质给不等式左右同时乘以分母的完全平方。

(x+1)(2x-1)<0 ②可化为 (x-2)(1-x)<0 ①可化为 (2x+1)(x+2)? 0 且 x ? ?2 ④可化为 (1-2x)(1+x)? 0 且 x ? ?1 ③可化为
试着与练习 1 中的不等式比较,解略 概括:原来将这些不等式去掉分母,我们就相当熟悉了!尤其是第二种方法更简 单,不过不等式含等号的时候要特别注意等价性啊! 2、上面练习题中的 2 组不等式,有个共同特点那就是不等式的右边为 0,左边可以 分解因式。下面的不等式也具有这样的特点,又该如何解决? 例题 1 解不等式: ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ? 0
1

析:这是个一元三次不等式,我们也可以利用函数来解决。设

f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)
(1)显然函数 f ( x ) 的图像与 x 轴的交点有 3 个,坐标分别为(1,0) (2,0) (3,0) ; (2)函数 f ( x ) 的图像把 x 轴分成了四个不相交的区间,它们依次为

(? ?, 1 ),(1,2),(2,3),(3,+?)
(3)当 x>3 时, f ( x) ? 0 ,函数的图像是一条不间断的曲线,并且 f ( x ) 的符号每 经过 x 轴的一个交点就会发生一次变化,由此如图:

变化规律就很明显,从右到左每个区间的符号正负相间。

(1,2)( ? 3,+?) 通过分析,不等式 ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ? 0 的解集为
我们把这种求解不等式的方法称为“穿针引线法” 。 例 2:解不等式 (1)

1 ?1 x

(2) (x-3)( x ? 2)( x ? 4) ? 0 (3) x(1-x)(2+x)>0
2

过程板演略。实际上,对于右边为 0,左边完全分解因式的不等式一般都可以使用 “穿针引线法” ,它的基本步骤和注意事项: (1)变形(右边为 0,左边完全分解因式,未知数的系数要为正) (2)标根(从左到右依次增大,注意实根和虚根) (3)穿根(从右上开始,奇次穿透,偶次不穿透) (4)结论(上正下负,写成集合形式或用区间表示) 3、课堂练习(教材 P 83 -3,4) 4、课堂小结:本节课咱们主要学习了求解分式不等式和简单的高次不等式的方法, 特别是 “穿针引线法”的运用,要注意各细节。 5、课后作业(教材 P 87 -7,8) 6、板书设计 课后反思

2


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