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正弦定理和余弦定理(公开课)


余弦定理的定义 及证明

高考对本章的考查趋势
(1)斜三角形的边角关系以选择题或填空题给出一小 题或难度较小的解答题; (2)斜三角形的边角关系与解析几何、立体几何、实 际应用联系起来组成中档题。

余弦定理

(1)余弦定理:

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2

b ? c ? a ? 2ca cos B
2 2 2

c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

b ?c ?a (2)常见变形公式: cos A ? 2bc
2 2

2

(边角互化,求角,判别角)

问题一:三角形中的边角运算 问题二:三角形的形状判断 问题三:三角形的面积求解

三角形的边角运算
1、在△ABC中,已知b=12,A=300,B=1200,
则 a=

4 3。
,B=600,c=1, D. 不确定

2、在△ABC中,b= 3

则此三角形有( A ) A. 一解 B. 两解 C. 无解

c? 3、在△ABC中,若a=3,b=4,
则这个三角形中最大角为

37,

1200 。

4、已知△ABC中,a=4,b=6,C=600,

则 c=

2 7



可归纳出—— 解斜三角形的类型:
求角时要注意用“大 边对大角” 进行取舍。 正弦 ①已知两角和任一边,求其他两边和一角,用 定理

②已知两边和一边的对角,求第三边和其他两角,用 正弦 定理。 ③已知三边求三角,用 余弦 定理。

④已知两边和它的夹角,求第三边和其他两个角,用 余弦 定理。 要数形结合,画图分析边角关系,合理使用公式。

三角形的形状判断

(1)在△ABC中,acosA=bcosB,判断三角形的形状。

思路:转化成单一的角关系或边长的关系
(2)在△ABC中,a=5,b=6,c=8,△ABC的形状是( C ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 都有可能

a ?b ?c 25 ? 36 ? 64 1 cos C ? ? ?? ?0 2ab 2? 5? 6 20
2 2 2

三角形的面积求解
S ?ABC
S ?ABC

1 ? ? 底?高 2

1 1 1 ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

S?ABC

1 ? (a ? b ? c)r (r是该三角形内切圆半径) 2

在?ABC中,A ? 1200 , AB ? 5, BC ? 7, 求?ABC的面积。

1、在△ABC中,已知sinA:sinB:sinC=5:7:8,
0 0 则B=60 120

2、?ABC中,若a, b, c成等比数列,且c ? 2a, 则cos B ? (dd Bd ) 1 3 2 2 A. B. C. D. 4 4 4 3

2 5 3、已知?ABC中,B ? 45 , AC ? 10, cos C ? . 5 (1)求该三角形面积;
0

(2)记AB中点为D,求中线CD的长.

小结
熟记:正、余弦定理及其变形,三角形面积公式,合
理采用公式(求边、外接圆半径、角、面积等)

活用:灵活运用定理,实现边角转化(判别三角形形状等)

注重:数形结合与转化思想


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