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11.2 命题逻辑与条件判断


江苏教育出版社 综合高中 数学(第三册)

第11章 逻辑代数初步

命题逻辑与条件判断

一、引入新课
日常生活中,我们经常会说一些判断 性的话。例如,“今年暑假只有一个星 期”,“现在房价比十年前高”,“今天 是晴天”…… 数学中的命题逻辑也是研究判断的。 能够判断真假的陈述语句叫做命题。
正确的命题称为真命题,并记它的值为真; 错误的命题称为假命题,并记它的值为假。

问1.下列语句哪些是命题,哪些不是命 题?并说明理由。 (5) 向单招1141班同 (1) 0.5是整数 学致敬! (2) 3是12的约数 (6) 这是一棵大树吗? (3) 12>5 关键在于是否 (7) x > 5 (4) 3是12的约数吗? 判断一个语句是不 能判断其真假,
是命题,关键是什 即判断其是否 么? 注意:疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。

x<2 , x-5=3 , (x+y)(x-y)这些语句中含有变 量x或y等,在不给定变量的值之前,我们无 法确定这语句的真假

成立。

问2.下列语句是命题吗?如果是命题,则与 前面的命题(1)(2)(3)在结构上有什么区别? (8)0.5是非整数 (9)甲是乙的父亲且甲是乙的老师 (10)甲是乙的父亲或甲是乙的老师 “非”、“且”、“或”这些词就叫做逻辑 (1) 0.5是整数 联结词。 (2) 3是12的约数 将一些简单命题用联结词联结,就构成了 (3) 12>5 复合命题。 通常用小写字母p,q,r等表示命题。例如 p: 0.5是非整数。命题p是真命题。

二、讲授新课
1. 非 设p是一个命题,联结词“非”是对命题p 的否定,则“非p”或 “p的否定”是一个新 命题,记作?p。 p :南京是江苏省省会。 ? ?p :南京不是江苏省省会。 ? p是真命题; ?p是假命题。
?

二、讲授新课

二、讲授新课
2. 且 一般地,用联结词“且”把命题p和命题q 联结起来,就得到一个新命题,记 作 p∧ q , 读作“p且q”. 例如:若 p : a > 3, q : a < 5,

则 p∧ q : 3 < a < 5 .

当p,q都是真命题时, p ? q 是真命题;当p , p?q 是 q 两个命题中有一个命题是假命题时, 假命题. p q p?q 真 真 假 假 “全真为真,有假即假” 真 假 真 假 真 假 假 假

二、讲授新课
3. 或 一般地,用联结词“或”把命题p和命题q 联结起来,就得到一个新命题,记作p∨q , 读作“p或q ”. 例如:若 p : 6是2的倍数;

q : 6是3的倍数.
则 p ∨ q : 6是2或3的倍数.

当p,q 两个命题中有一个命题是真命题时, p∨q是真命题;当p ,q 两个命题都是假命题 时,p∨q 是假命题. p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∨q 真 真 真 假

“全假为假,有真即真”

三、例题与练习
例1 下列各组语句是命题吗?它们之间有什么 关系?并判明真假. 真 (1)35能被5整除, 假 35不能被5整除; 假 (2)函数y=lgx是偶函数, 真 函数y=lgx不是偶函数; (3)|a|≥0, 真 假 |a|<0; (4)方程x2-4=0无实根, 假 真 方程x2-4=0有实根.

三、例题与练习
例2 写出下列命题p的否定 : (1)p:7是大于5的实数; (2)p:矩形的对角线互相垂直; (3)p:16不是5的倍数; (4)p :我们班上每个同学都能言善辩。 解: ?p : 7是不大于5的实数; (1) ?p : 矩形的的对角线不互相垂直; (2) ?p : 16是5的倍数; (3) (4) ?p : 我们班上并非每个同学都能言善辩。

三、例题与练习
思考1:一般地,对一个命题p全盘否定,就 得到一个新命题,记作﹁p,读作“非p”或 “p的否定”,那么﹁p的否定是什么? ﹁p的否定是p 思考2:命题p与﹁p的真假有什么关系?

p与﹁p必有一个是真命题,另一个是假命题.
因此,若p是真命题,则﹁p 必是假命题 ; 若p是假命题,则﹁p 必是真命题.

三、例题与练习
思考3:命题p:“大于1的数是正数”的否定 是什么?其否命题是什么? ﹁p:大于1的数不是正数. 否命题:不大于1的数不是正数. 任何一个命题都有否定, 对于命题“若p,则 q”的否定可表示为“若p,则非q”, 命题“若p,则 q”的否命题可表示为“若非p,则 非 q” . 命题的否定只否定结论

否命题则既否定条件也否定结论

三、例题与练习
例3 将下列命题用“且”联结成新命题,并 判断它们的真假: (1)p:平行四边形的对角线互相平分, q:平行四边形的对角线相等; 解:

p∧q:平行四边形的对角线互相平分且相等. 假命题

三、例题与练习
例3 将下列命题用“且”联结成新命题,并 判断它们的真假: (2)p:菱形的对角线互相垂直, q:菱形的对角线互相平分; 解:

p∧q: 菱形的对角线互相垂直且平分. 真命题

三、例题与练习
例3 将下列命题用“且”联结成新命题,并 判断它们的真假: (3)p: 35是15的倍数, q: 35是7的倍数. 解:

p∧q: 35是15的倍数且是7的倍数. 假命题

三、例题与练习
例4 用逻辑联结词“且”改写下列命题,并判 断它们的真假。 (1)1既是奇数,又是素数; (2)2和3都是素数. 解: (1)1是奇数且1是素数.(假) (2)2是素数且3是素数. (真)

三、例题与练习
例5 判断下列命题的真假: (1)2≤2; 真 (2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子 真 集; (3)周长相等的两个三角形全等或面积 假 相等的两个三角形全等. (4)“p∧q真”的充分不必要条件是 假 “p∨q真”.

三、例题与练习
例6 在一次模拟射击游戏中,小李连续射击 了两次,设命题p:“第一次射击中靶”, 命题q:“第二次射击中靶”,试用,p、q 及逻辑联结词“或”“且”“非”表示下列 命题: (1)两次射击均中靶; p∧ q (2)两次射击至少有一次中靶. p∨ q

四、探究思考

四、探究思考
金盒上写有命题p:肖像在这个盒子里; ? 银盒上写有命题q:肖像不在这个盒子里; ? 铅盒上写有命题r:肖像不在金盒里。 ? 显然命题r是命题p的否定,则p与r必有一个 为真。 ? 题设这三个命题里只有一个是真的,于是 命题q:肖像不在这个盒子里是假命题。 ? 即知肖像一定在这个银盒子里。
?

五、课堂小结
本节课学习了“非p”“ p且q ”“ p或q ” 形式的命题,讨论了如何判断其真假性的方 法: ①“非p”形式的命题的真假p与的真假相反; ② “ p且q ”形式的命题当p与q同时为真时 为真,否则为假;(全真为真,有假即假) ③ “ p或q ”形式的命题当p与q同时为假时 为假,否则为真.(全假为假,有真即真)

六、作业

P.10 1、2


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