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三角函数的积化和差


3.3.3 三角函数的积化和差 与和差化积

考察公式:

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

(1)

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? (2) sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
(3) (4)

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

将(1)、(2)两个式子相加减得到
1 cos ? cos ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2
1 sin ? sin ? ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2

将(3)、(4)两个式子相加减得到
1 sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2
1 cos ? sin ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2

从上面四个式子又可以得到

sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2sin ? cos ?
sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2cos ? sin ?
cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 2cos ? cos ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?2sin ? sin ?

x? y x? y 设 ? ? ? ? x, ? ? ? ? y 则 ? ? ,?? 2 2

这样 sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2sin ? cos ? 可以写成

x? y x? y sin x ? sin y ? 2sin cos 2 2
同样可以得到其余三个式子

x? y x? y sin x ? sin y ? 2sin cos 2 2
x? y x? y sin x ? sin y ? 2cos sin 2 2
x? y x? y cos x ? cos y ? 2cos cos 2 2

x? y x? y cos x ? cos y ? ?2sin sin 2 2

例1 把下列各积化成和差的形式。 (1) 2sin 64 cos10
? ?

(2) sin84? cos132?
(3) cos cos 6 6 (4) sin 2sin1.2

?

?

2sin 64? cos10? 解:(1)
? sin 74? ? sin 54?

(2)sin84

?

cos132

?
? ?

? cos132 sin 84

1 ? ? ? (sin 226 ? sin 48 ) 2
(3) cos 6 cos 6
? ?

1 ? ? (cos ? cos 0) 2 3 3 ? 4

(4)sin 2sin1.2

1 ? ? (cos 3.2 ? cos 0.8) 2

例2. 把 下列各式化为积的形式.

(1) cos3? ? cos?
(2) cos 40 ? cos52
? ?

(3) sin 54 ? sin 22
?

?

(4) sin5x ? sin3x 解:(1)

3? ? ? 3? ? ? cos cos3? ? cos? ? 2cos 2 2

? 2cos 2? cos?

(2) cos 40 ? cos52
?

?
? ? ? ?

40 ? 52 40 ? 52 ? ?2sin sin 2 2

? 2sin 46 sin 6
?

?

(3) sin 54 ? sin 22
?

?

54? ? 22? 54? ? 22? ? 2sin cos 2 2

? 2sin 38 cos16
?

?

(4) sin5x ? sin3x

5 x ? 3x 5 x ? 3x ? 2cos sin 2 2

? 2cos 4x sin x

例3. 已知A+B+C=180°, 求证: A B C sin A ? sin B ? sin C ? 4 cos cos cos 2 2 2 证明:因为A+B+C=180°, 所以 C=180°-(A+B),
C A? B ? 90? ? 2 2

sinA+sinB+sinC

A? B A? B ? 2sin cos ? sin( A ? B) 2 2 A? B A? B A? B A? B ? 2sin cos ? 2sin cos 2 2 2 2 A? B A? B A? B ? 2sin (cos ? cos ) 2 2 2

A? B A ?B ? 2sin ? 2 cos cos 2 2 2 C A B ? 2cos ? 2cos cos 2 2 2 A B C ? 4cos cos cos 2 2 2


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