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微积分初步


《微积分初步》
?导数可应用于求各种变化率,如求变速直线 运动的速度、加速度、切线的斜率,经济的边 际等问题。
?介绍微分的概念及应用。 ?介绍积分的概念及应用。

1、导数的定义:
lim

导数的计算

一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
?x ?0

/>
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? lim ? lim . ? x ? 0 ? x ? 0 ( x0 ? ?x) ? x0 ?x ?x

我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数(derivative), 记作 f '( x0 ) 或 y ' |x? x0 ,即 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f '( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x

2、 根据导数的定义,求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤:
1.求增量: ?y ?

f ( x ? ?x) ? f ( x)

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? 2.算比值: ?x ?x ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ? lim 3.取极限: y ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

下面我们求几个常用函数的导数。
1 、求函数 y ? c ( c 是常数)的导数。 解:(1)求增量: ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? c ? c ? 0
?y ?0 (2) 算比值: ?x

(3)取极限:y ? ?

这就是说,常数的导数等于零 2 、求函数 y ? x 的导数。
解:

?y lim ?0 ?x ? 0 ? x

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x ? x ? ? ? 1, ?x ?x ?x ?y ? y? ? lim ? lim 1 ? 1. ?x ?0 ?x ?x ?0

在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x 的图 象,从图象上看,它们的导数分别表示什么?
y

函数f ( x) ? kx的导函数为:

O

x

f '( x) ? (kx)' ? k

2 3、 函数 y ? f ( x) ? x , 的导数

解:
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x)2 ? x 2 2 x ? ?x ? (?x) 2 ? ? ? ? 2 x ? ?x, ?x ?x ?x ?x

?y ? f ?( x) ? lim ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x. ?x ?0 ?x ?x ?0
1 y ? f ( x ) ? , 的导数 4、 函数 x 1 1 解: ? ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x x ?1 ? ? ? , ?x ?x ?x x ( x ? ?x )
? f ?( x) ? lim ?y ?1 1 ? lim ?? 2. ?x ?0 ?x ?x ?0 x( x ? ?x) x

(

?

一般地,可以证明幂函数 是任意实数)的导数公式为

y?x

?

( x ) ' ? nx
(1)

?

? ?1

(2)

2 1 ?2 ?2 ?3 y ? 2 ? x ? y? ? ( x )? ? ?2 x ? ? 3 x x 1 1 1 ?1 1 1 2 ? y? ? ( x 2 )? ? x 2 ? y? x?x 2 2 x

下面我们求几个常用函数的导数。
1 、求函数

y ?c(

c 是常数)的导数。

?y ? 0 常数的导数等于零 ?x ? 0 ? x 2 、求函数 y ? x 的导数。 ?y ? y ? lim ? lim 1 ? 1. ?x ?0 ?x ?x ? 0 y? ? lim

函数f ( x) ? kx的导函数为:f '( x) ? (kx) ' ? k.
3 函数 y ? f ( x) ? x ,
2

1 4 函数 y ? f ( x) ? , x

?y lim ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x. 的导数? f ?( x) ? ? x ?0 ?x ?x ?0 ?y ?1 1 的导数 ? f ?( x) ? lim ? lim ?? 2. ?x ?0 ?x ?x ?0 x( x ? ?x) x
(? 是任意实数)

一般地,可以证明幂函数 y ? x? 的导数公式为 (x ?)?= ? x ?-1

基本初等函数的导数公式

1、若f ( x) ? c, 则f '( x) ? 0; n * 2、若f ( x) ? x (n ? N ), 则f '( x) ? nxn?1; 3、若f ( x) ? sin x, 则f '( x) ? cos x; 4、若f ( x) ? cos x, 则f '( x) ? ? sin x; x 5、若f ( x) ? a , 则f '( x) ? a x ln a(a ? 0); 6、若f ( x) ? ex , 则f '( x) ? e x ; 1 7、若f ( x) ? loga x, 则f '( x) ? x ln a (a ? 0, 且a ? 1); 1 8、若f ( x) ? ln x, 则f '( x) ? .
x

导数运算法则

可以帮助我们解决两个函数加、 减、乘、除的求导问题。

1、 [ f ( x) ? g ( x)]' ? f '( x) ? g '( x); 2、 [ f ( x) g ( x)]' ? f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x);
f ( x) f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) 3、 [ ]' ? ( g ( x) ? 0). 2 g ( x) [ g ( x)]

1、熟记以下导数公式:
(1) (C)‘=0 (2)( x ( 3)

2、熟记运算法则

)? ? ?x? ?1 (sin x)? ? cos x
?
x
x

1. A(u ) ' ? Au ' 2.(u ? v) ' ? u '? v ' 3.(uv) ' ? u ' v ? uv ' u u ' v ? uv ' 4.( ) ' ? 2 v v

(4)(cosx)? ? ? sin x (5)(a

)' ? a x ln a
x

(6)(e )' ? e

(7)(log a x)? ? (8)(ln x ) ? ?

1 x

1 x ln a

利用函数的导数来研究函数的极值问题: 一般地,当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是 极大(小)值的方法是: (1):如果在x0附近的左侧 f ?( x) ? 0, 右侧 f ?( x) ? 0, 那 么,f(x0)是极大值; (2):如果在x0附近的左侧 f ?( x) ? 0, 右侧 f ?( x) ? 0, 那 么,f(x0)是极小值.
说明 求函数极值的方法与步骤:
①求
f ?( x) 。
f ?( x)

②令 f ?( x) ? 0 ,求一阶驻点。

③分区间讨论

的正负号,确定单调区间

进而确定极值点。 ④将极值点代入f(x)算出极值。

函数的极值:

请注意几点

(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不 意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是 说极值与最值是两个不同的概念. (2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上 或定义域内极大值或极小值可以不止一个.

(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个 函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,x1是极大 值点,x4是极小值点,而f(x4)>f(x1).
y

f ( x4 ) f ( x1 )

o

a

(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端 点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点 可能在区间的内部,也可能在区间的端点.

X1

X2

X3 X4

b

x

在函数取得极值处,如果 曲线有切线的话,则切线 是水平的,从而有 f ?( x0 ) ? 0 . 但反过来不一定.如函数 y=x3,在x=0处,曲线的切 线是水平的,但这点的函 数值既不比它附近的点的 函数值大,也不比它附近 的点的函数值小.

二阶导数的应用
曲线凹凸区间的判定 直观看曲线“往上弯” 为凹,每点切线在曲 线下方;曲线“往下 0 弯”为凸,每点切线 在曲线上方。

y

y

y=f(x)
?1
?2 ?2

y=f(x)
?1

a a图

b

x

0

a b图

b

x

进一步观察曲线凹凸性与切线的关系
a图曲线是凹的,切线的倾斜角? 为锐角,且由小变大, tan ? 是递增的,则表明 f ??( x) ? 0

有 f ?( x) ? t an? 递增,反之亦然。这就得到

f ??( x) ? 0

有f(x)凹;(b)图同理有 f ??( x) ? 0 ,f(x)凸。

f ??( x) ? 0的地方, f ( x)凹; 曲线上凹凸的分界 f ??( x) ? 0的地方, f ( x)凸。 点叫做曲线的拐点。

例1:求下列函数的导数并画出函数的大致图像:

e ?1 (1) y ? x e ?1
x

x ? cos x (2) y ? x ? sin x
(3) y ? x ? sin x; x ? [0, ? ]
(4)试证当x>0时,有 x

1? x

? ln(1 ? x) ? x

微分:导数的代数应用
如果说用导数判定确定函数的单调性、极值、曲线的凹 凸性、拐点,是导数在几何上的应用,那么这里“微分”则 主要是导数在代数上的应用。因为“微分”的主要问题是函 数的近似计算——如何求一个函数的改变量 ?y ? 微分的概念及思想 ?y lim 设函数y=f(x)的导数存在,即 ?x?0 ?x
? f ?( x ) ,由极限的概念

?y ? f ?( x),得 ?y ? f ?( x) ?x ?x 令dy ? f ?( x)?x ,称它为函数f(x)的微分。并记 dx ? ?x





dy ? f ?( x)dx

例1 求函数y ? 1 ? 2 x3 的微分 解
dy ? f ?( x)dx ? (1 ? 2x 3 )?dx ? 6x 2 dx

需要注意: (1)微分的意义 由于 dy ? f ?( x)dx ? ?y ,说明可以用微分求函数的 改变量,即 ?y ? dy

这里

?x

越小近似程度越好。

(2)微分的思想 如下图所示:MT是y=f(x)在M点的切线
y

f ?( x) ? tan?, NP ? ?y, NT ? f ?( x)?x ? dy

y=f(x)

P T N x

微分 dy ? ?y ,当 ?x 较小时,
?

M

0 x X+△X 可用直线MT来近似曲线MP (或说用三角形MTN近似曲边三角形MPN)。

可见,“以直代曲”是微分的一个基本思想。 于是,可顾名思义,把“微分”看作动词,意思为 “无限细分”,而把“微分”看作名词,意思为“微 小的一部分”。

(3) 微分的计算 由于 dy ? y ?dx ,因此,“求微分就是求导数”. (并且在存在的情况下,可微与可导等价)。 于是,由导数公式与法则可直接得到微分的公式 与法则,如下表 微分基本公式(略) 微分四则运算法则 设u、v是x的可导函数,则
d (u ? v ) ? d u ? d v d (u v) ? vd u ? u d v u vd u ? u d v d( ) ? v v2

例2 在下面的括号中以适当的函数填空:
( 1)d ( (3)d ( ) ? xdx ) ? e 2 x dx (2)d ( (4)d ( ) ? xdx ) ? sin xdx

分析 例1求微分是通过求 y ?求dy, 即dy ? y ?dx 这里对照 dy ? y ?dx ,则是其逆运算,已知 y ? 求原 来的函数。方法在于熟练掌握导数公式:首先找到类 似的求导公式,然后猜察反推和多次试算。

1 (1)d ( x 2 ) ? xdx 2 1 (3)d ( e 2 x ) ? e 2 x dx 2 2 (2)d ( x 2 ) ? x dx 3 (4)d (? cos x) ? sin xdx
3

说明:由微分的逆运算求原函数是接下来积分讲的内 容,通过求原函数可求不定积分。

微分的近似计算
由 ?y ? dy,即f ( x0 ? ?x) ? f ( x) ?
f ?( x)?x

得到近似公式:

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )?x

例3 证明近似公式: e x ? 1 ? x(当x 很小时) 证明 令f ( x) ? e x,取x0 ? 0, ?x ? x,
由公式f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )?x得

e x ? f (0 ? x) ? f (0) ? f ?(0)?x ? e 0 ? e 0 ? x ? 1 ? x.

类似地,可以证明当 x 较小时有下面近似公式
n ( 1 ) 1? x ?1?

x n

(2) sin x ? x (4) ln(1 ? x) ? x

(3) tan x ? x

已知变速直线运动方程s ? s ? t ? , 微分学问题: 求瞬时速度v ? t ? .

已知曲线方程y ? x ? 1,求过点? 1, 2 ?的
2

切线方程.

积分学问题:

已知瞬时速度v ? t ? ,

求变速直线运动方程s ? s ? t ? .

设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切 线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.

微分学: 积分学:

[F ( x )]' ? ( ? )

( ? )? ? f ( x )

互逆问题

不定积分的概念和性质 一、原函数与不定积分的概念
二、 基本积分表

三、 不定积分的性质

一、原函数与不定积分的概念
1 ( x ? 0), ? ln x? ? , x
1 x

? sin x ? ? ? cos x sin x是 cos x的一个原函数 .
?

ln x 是

在区间 (0,?? ) 内的一个原函数. 定义1(原函数) 如果在区间 I 内,

可导函数 F ( x ) 的导函数为 f ( x ), 即 ?x ? I , 都有 F ?( x ) ? f ( x ) 或 dF ( x ) ? f ( x )dx 那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x ) 或 f ( x )dx 在区间 I 内原函数.

原函数存在定理: 如果函数 f ( x ) 在区间 I 内连续, 那么在区间 I 内存在可导函数 F ( x ), 使 ?x ? I 都有 F ?( x) ? f ( x). 即 连续函数一定有原函数. 问题:(1) 原函数是否唯一? (2) 若不唯一它们之间有什么联系? 例 ? sin x ?? ? cos x

?sin x ? C ? ? cos x(C为任意常数)

?

关于原函数的说明: (1)若 F ?( x ) ? f ( x ),则对于任意常数C, F ( x ) ? C 都是 f ( x ) 的原函数. 有无穷多个 (2)若F ( x ) 和 G ( x )都是 f ( x ) 的原函数, 则 F ( x ) ? G( x ) ? C (C为任意常数) 证(2)
?
它们之间相差常数

?F ( x ) ? G ( x )?

?

? F ?( x ) ? G ?( x )

? f ( x) ? f ( x) ? 0

? F ( x ) ? G ( x ) ? C (C为任意常数)

定义2(不定积分) 在区间I 内,函数 f ( x )的带有任意常数项 的原函数,称为 f ( x ) 在区间I内的不定积分, 记为 ? f ( x )dx 被 积 积 分 函 号 数

? f ( x )dx ? F ( x ) ? C
被 积 表 达 式

任 积原 意 分函 常 变数 数 量

例1 求 ? x dx .

5

? ? x x 5 5 解 ? ? ? ? x , ? x dx ? ? C . ? 6 6 ? ?
6
6

?

1 dx . 例2 求 ? 2 1? x ? 解 ? ?arctan x ? ?

1 ? ? dx ? arctan x ? C . 2 1? x

1 , 2 1? x

例3 设曲线通过点(1,2), 且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线 方程. 解 设曲线方程为 y ? f ( x ), dy 根据题意知 ? 2 x, dx 即 f ( x ) 是 2 x 的一个原函数. 2 2 ? ? 2 xdx ? x ? C , ? f ( x ) ? x ? C , 由曲线通过点(1,2)? C ? 1, 2 所求曲线方程为 y ? x ? 1.

微分运算与求不定积分的运算的关系 由不定积分的定义,可知 d f ( x )dx ? f ( x ), d [ f ( x )dx ] ? f ( x )dx , ? dx

?

?

?

? F ?( x )dx ? F ( x ) ? C , ? dF ( x ) ? F ( x ) ? C .
结论:
微分运算与求不定积分的运算“互逆”.

二、 基本积分表
x ?x ? ? ? ? C. ? ? ? x ? ? x dx ? ??1 ? ? ? 1?
? ?1

?

? ?1

( ? ? ?1)

启示 能否根据求导公式得出积分公式? 结论

既然积分运算和微分运算是互逆的, 因此可以根据求导公式得出积分公式.

dx (3) ? ? ln x ? C; x dx 说明: x ? 0, ? ? ? ln x ? C , x 1 1 x ? 0, [ln(? x )]? ? ( ? x )? ? , ?x x dx dx ? ln | x | ? C , ? ? ? ln(? x ) ? C , ? ? x x

基 本 积 分 表

( k 是常数 ); kdx ? kx ? C ? ? ?1 x ? ( 2) ? x dx ? ? C (? ? ?1); ??1

(1)

1 ( 4) ? dx ? arctan x ? C ; 2 1? x 1 ( 5) ? dx ? arcsin x ? C ; 2 1? x (6) ? cos xdx ? sin x ? C ;

(7)
( 8)

dx 2 (9) ? 2 ? ? csc xdx ? ? cot x ? C ; sin x

? sin xdx ? ? cos x ? C ; dx 2 ? ? cos2 x ? sec xdx ? tan x ? C ;

(10) ? sec x tan xdx ? sec x ? C ;
(11) ? csc x cot xdx ? ? csc x ? C ;

(12)

dx ? e ? C; x a x (13) ? a dx ? ? C; ln a
x

?e

x

例4 求积分 ? x 解

2

xdx .
5 2

?x

2

xdx ? ? x dx

根据积分公式
5 ?1 2
7 2

?x

?

dx ?

x

? ?1

? ?1

?C

x 2 ? ? C ? x ? C. 5 7 ?1 2

? (e

x

? 3cos x )dx ? ? e dx ? 3? cos xdx
x

? e ? sin x
x

?C

三、 不定积分的性质 线性性质
(1)

? [ f ( x ) ? g( x )]dx ? ? f ( x )dx ? ? g( x )dx;
? ? ? ? ? g ( x )dx ? ? f ( x ) ? g( x ). ?? f ( x ) dx ?? ? ?? ?



? f ( x )dx ? g( x )dx ?? ? ?? ?

? 等式成立.

(可推广到有限多个函数之和的情况)

( 2)

? kf ( x )dx ? k ? f ( x )dx .

( k ? 0为常数)

例 已知一曲线 y ? f ( x ) 在点 ( x , f ( x )) 2 处的切线斜率为 sec x ? sin x, 且此曲线与 y轴的交点为 (0,5), 求此曲线的方程. dy 2 解 ? ? sec x ? sin x , dx

? y ? ? ?sec x ? sin x ?dx ? tan x ? cos x ? C ,
2

? y(0) ? 5,

? C ? 6,

所求曲线方程为 y ? tan x ? cos x ? 6.

小结
1.原函数的概念: F ?( x ) ? f ( x ) 2.不定积分的概念:? f ( x )dx ? F ( x ) ? C
3.求微分与求积分的互逆关系 4.不定积分的性质(线性性) 5.基本积分表(1) 6.利用积分公式求积分

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

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矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

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矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

求由连续曲线y?f(x)对应的曲边梯形面积的方法
n个小区间: ?a, x1 ?,? x1, x2 ?, 每个小区间宽度⊿x ?
b?a n

(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成

? xi?1, xi ?, ,? xn?1, b?,

(2)取近似求和 :任取xi?[xi?1, xi],第i个小曲边梯形的面积用 y 高为f(x )而宽为?x的小矩形面积
i

f(xi)?x近似之。

y=f ( x)
n

取n个小矩形面积的和作为曲边梯
形面积S的近似值: S?
n

? f (x )?x
i ?1 i

(3)取极限:,所求曲边梯形的 面积S为

S ? lim ? f (xi )?x
n?? i ?1

O

a

xi xi xi+1 ?x

b

x

一、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步
曲”:
n求和------取极限得到解决 n 分割---近似代替---b?. a i ?1 i ?1

小矩形面积和S=? f (xi )?x ? ? f (xi ) ?

n

如果当n?∞时,S 的无限接近某个常数,

这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,记作

?a

b

b?a 即 dx? ? lim ?x fi。 (xi ) lim f (x)dx,即 )) dx f (x i)?? ? ? ??aa ff((xx ? ?n 0?? n i ?1 i ?1
bb
n
n

定积分的定义: 即

?

b

a

b?a f ( x)dx ? lim ? ? f (xi ) n?? n i ?1
n

定积分的相关名称: ? ———叫做积分号, y f(x) ——叫做被积函数, f(x)dx —叫做被积表达式, x ———叫做积分变量, a ———叫做积分下限, O b ———叫做积分上限, [a, b] —叫做积分区间。

y ? f ( x)

a

b

x

积分上限

f (x i )?x i ? ?a f ( x )dx ? I ? lim ? ? 0 i ?1
积分下限

b

n

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

定积分的定义: 即

?

b

a

b?a f ( x)dx ? lim ? ? f (xi ) n?? n i ?1
n

按定积分的定义,有 (1) 由连续曲线y?f(x) (f(x)?0) ,直线x?a、x?b及x轴 所围成的曲边梯形的面积为

S? ? f (x)dx;
a

b

(2) 设物体运动的速度v?v(t),则此物体在时间区间 v ? v(t ) [a, b]内运动的距离s为 v

s? ? v(t)dt。
a

b

O

a

b

t

y

根据定积分的定义右边图形的面积为 1 1 1 2 S ? ? f ( x)dx ? ? x dx ? 0 0 3
v
2

f(x)=x2
S? 1 3
1

g gg

D S1 DS2 D S3 DS4

g

v(t )
D Sj

t2

2
O

x

gD S

n

根据定积分的定义左边图形的面积为 1 1 5 2 S ? ? v(t )dt ? ? (?t ? 2)dt ? 0 0 3
O

1 1 2 3 j n - 1 n n n n n

t

说明:
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关,即

?a f(x)dx ? ?a f (t)dt ??a
(3)

b

b

b

f(u)du。

(2)定义中区间的分法和 xi 的取法是任意的.

?a f(x)dx ? - ?b f (x)dx
b

a

(2)定积分的几何意义:

当 f(x)?0 时,积分? f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a x?a、x?b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y?f ( x)

b

?a f (x)dx ? ?a f (x)dx? ?c
O a
b a

b

c

b

f (x)dx。

b x

特别地,当 a?b 时,有? f (x)dx?0。

定积分的几何意义:
当f(x)?0时,由y?f (x)、x?a、x?b 与 x 轴所围成的曲 边梯形位于 x 轴的下方,

积分 ? f (x)dx 在几何上表示
a

b

y

y??f (x)
b

上述曲边梯形面积的负值。
S ? ? [? f ( x)]dx
a b

S ? ? [? f ( x)]dx
a

??
b

?a

b

f ( x)dx . ,
c b

O a
b c

b x
? ?S f (x)dx? ? ?a f (x)dx ?? a c
b

f (x

? ?S f (x)dx? ? ?a f (x)dx ?? a c

f (x)dx。

y?f ( x)

三:

定积分的基本性质

性质1.

?

b

a

kf ( x )dx ? k ? f ( x )dx
a

b

性质2.

?

b

a

[ f ( x ) ? g( x )]dx ? ? f ( x )dx ? ? g( x )dx
a a

b

b

三:

定积分的基本性质

性质3.

定积分关于积分区间具有可加性
b

?

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a c

c

b

y

y?f ( x)

O

a
c1 c2



b x
b

?

b

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a c1 c2

例1

求?

4

e

1 dx . x

key

2 ln 2 ? 1.

求 ? sin tdt.
0

?

key

2.

求? x 3dx.
0

1

key

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