当前位置:首页 >> 数学 >>

2016


§3 全称量词与存在量词

学课前预习学案

考察下面几个命题:
(1)偶函数的图像关于y轴对称; (2)正四棱柱都是平行六面体;

(3)有大于等于3的实数;
(4)有些向量的模为1; (5)指数函数中有单调递增函数. 其中哪些命题中含有“所有的”,“任意的”意思?哪些 命题中含有“存在”,“至少有一个”的意思?你能用上这几

个短语中的某一个重新叙述原来的命题吗?

提示:

(1)与(2)中有“所有的”,“任意的”意思,

(3)(4)(5)中都有“存在一个”、“至少有一个的意思”.

(1)可以叙述为:所有偶函数的图像都关于y轴对称;
(2)可以叙述为:所有的正四棱柱都是平行六面体; (3)可以叙述为:存在大于等于3的实数;

(4)可以叙述为:存在模为1的向量;
(5)可以叙述为:至少有一个指数函数是单调递增函数.

1.全称量词与全称命题
像“所有”,“每一个”,“任何”,“任意”,“一
整体或全部 的含义,这样的词 切”都是在指定范围内,表示____________ 全称量词 叫作全称量词,通常用符号__________ 表示.含有__________ “? ” 的命题,叫作全称命题.

(1)常用的全称量词:

一般地,日常生活和数学中所用的“一切的”,“所有
的”,“每一个”,“任意的”,“凡”,“都”等词可统称 为全称量词,表示指定范围内的所有个体. (2)全称命题的格式: 一般地,设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质,那

么全称命题就是形如:“对M中的所有x,p(x)成立”的命题,
可以用符号简记为:?x∈M,p(x).

2.存在量词与特称命题
个别或一部分 的含义的量词叫作存在 我们将表示事物的______________

存在量词 的命题, 量词.通常用符号__________ 表示.含有__________ “?” 叫作特称命题.

(1)常用的存在量词:
一般地,日常生活和数学中所用的“存在”,“有一 个”,“有的”,“至少有一个”等词统称为存在量词,记作 ?x,?y等. (2)特称命题的格式:

一般地,设q(x)是某集合M的有些元素具有的性质,那么
特称命题就是形如:“存在集合M中的元素x,q(x)成立”的命 题.用符号简记为:?x∈M,q(x).

3.全称命题与特称命题的否定
(1) 全称命题 p : ? x∈M ,有 p(x) 成立;其否定命题为: ?x∈M,使p(x)不成立 __________________________ .

(2) 特称命题 p : ? x∈M ,使 p(x) 成立;其否定命题为:
?x∈M,有p(x)不成立 __________________________ .

(1)对全称命题与特称命题进行否定的方法 ①确定所给命题类型,分清是全称命题还是特称命题;

②改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词;把存在量
词换为恰当的全称量词; ③否定性质:原命题中的“是”“有”“存在”“成立” 等更改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.

(2)常见词语的否定: 原词 否定词 原词 否定词 至少两个

等于 不等于 至多一个

大于 不大于 至少一个 一个也没有 小于 不小于 是 不是 任意 所有的 某个 某些

都是 不都是

1.下列命题中是全称命题并且是真命题的是(
A.每个二次函数的图像都开口向上 B.对任意非正数c,若a≤b+c,则a≤b C.存在一条直线与两个相交平面都垂直 D.存在一个实数x0使不等式x-3x0+6<0成立

)

解析: A是全称命题,但是假命题,C、D是特称命题,
B是全称命题,并且是真命题. 答案: B

2.命题“有的函数没有解析式”的否定是(

)

A.有的函数有解析式
解析: 答案:

B.任何函数都没有解析式

C.任何函数都有解析式 D.多数函数有解析式 原命题是特称命题,它的否定应是全称命题. C

3.下列语句:①有一个实数a不能取对数;②所有不等式 的解集A,都有A?R;③自然数的平方是正数.其中全称命题 有________,特称命题有__________.(填序号)

解析: 因为①含有存在量词,所以①为特称命题;因为
“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都 是正数”.②含有全称量词,故②③均为全称命题. 答案: ②③ ①

4.指出下列命题中,哪些是全称命题,哪些是特称命 题,并判断真假: (1)当a>1时,曲线y=ax与曲线y=logax有交点; (2)被5整除的整数的末位数字都是0; (3)有的四边形没有外接圆.

解析:

(1)、(2)是全称命题,(3)是特称命题,

对(1)当a>1时,y=ax与y=logax都是增函数且两函数是互 为反函数;图像关于直线y=x对称故没有交点.所以(1)是假命 题.

对于(2)∵末位数字是5的整数也能被5整除.∴(2)是假命
题. 对于(3),∵只有对角互补的四边形才有外接圆,∴(3)是 真命题.

讲课堂互动讲义

全称命题、特称命题辨析
判断下列语句是全称命题,还是特称命题. (1)凸多边形的外角和等于360°;

(2)有的向量方向不定;
(3)对任意角α,都有sin2α+cos2α=1; (4)矩形的对角线不相等; (5)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂 直.

[思路导引] 先确定命题中含有(或隐含)的量词类型,再 判断命题类型.

[边听边记]
序号 (1) 理由 含有存在量词“有的” 含有全称量词“任意” 可以改为所有矩形的对角线不相等 结论 特称命题 全称命题 全称命题

可以改为所有的凸多边形的外角和等于360° 全称命题

(2)
(3) (4) (5)

若一个四边形是菱形可以改为所有的菱形

全称命题

个别语句中全称量词和存在量词体现的不明 显,给判断造成困难,从而容易出现错误.因此我们要根据命 题涉及的意义去判断,区分是一般性结论,还是对特殊例子才

成立的结论.大家熟悉的判定定理多数是特称命题,而性质定
理多数是全称命题.

1.判断下列命题是全称命题还是特称命题.
(1)指数函数都是单调函数; (2)负数的平方是正数; (3)有的实数是无限不循环小数; (4)有些三角形不是等腰三角形;

(5)每个二次函数的图像都与x轴相交.
解析: (1) 、 (2) 尽管不含量词,但其意义是指 “ 所有 的 ” , 故 (1)(2) 为 全 称 命 题 . (3) 是 特 称 命 题 . (4) 是 特 称 命 题.(5)是全称命题.

判定全称命题、特称命题的真假
判断下列命题的真假: (1)p:所有的单位向量都相等; (2)p:任一等比数列{an}的公比 q≠0; (3)p:存在 x0∈R,x2 0+2x0+3≤0; (4)p:存在等差数列{an},其前 n 项和 Sn=n2+2n-1.

[思路导引]

检验或证明 确定命题的形式 ―→ ―→ 结论 命题的真假

解析: (1)p 是全称命题,是假命题. 若两个单位向量 e1,e2 方向不相同时,虽然有|e1|=|e2|=1, 但 e1≠e2. (2)p 是全称命题,是真命题. 根据等比数列的定义知, 任一等比数列中, 其每一项 an≠0, an+1 所以其公比 q= ≠0(n=1,2,3,?). an

(3)p 是特称命题,是假命题. 因为对于 p 的否定:任意的 x∈R,x2+2x+3>0 是真命题, 这是因为 x2+2x+3=(x+1)2+2≥2>0 恒成立. (4)p 是特称命题,是假命题. 对于任一等差数列{an}(首项 a1,公差 d),其前 n 项和为: d? 1 d 2 ? ? 2 Sn=na1+ n(n-1)d= n +?a1-2? n . 因此不可能是 S = n +2n- n ? 2 2 ? ? 1 这种形式(含常数式).

(1)要确定一个全称命题是真命题,必须对所

有元素验证,即给出严格的证明;要确定一个全称命题是假命
题,只需举出一个反例. (2)要确定一个特称命题是真命题,只需找到一个满足要求 的特例;要确定一个特称命题是假命题,需要严格证明对所有 元素均不符合要求.

2.判断下列命题的真假.

(1)所有的素数都是奇数;
(2)有一个实数,使x2+2x+3=0; (3)有些整数只有两个正因数;

(4)所有奇数都能被3整除.

解析:

(1)2是素数,但不是奇数,所以,全称命题“所

有素数都是奇数”是假命题.
(2)对于任意x,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此,使x2+ 2x+3=0的实数x不存在,所以特称命题“有一个实数,使x2+

2x+3=0”是假命题.
(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3,所以特称命题 “有些整数只有两个正因数”是真命题. (4)由于存在奇数1不能被3整除,所以全称命题“所有奇数 都能被3整除”是假命题.

含有一个量词的命题的否定及其真假判定
(12分)写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)p:任意的x∈R,都有|x|=x; (2)p:任意的x∈R,x3>x2;

(3)p:至少有一个二次函数没有零点;
(4)p:存在一个角α∈R,使得sin2α+cos2α≠1.

[思路导引]

含有全称量词 判断命题形式 ――→ 写出p的否定 还是存在量词

全称命题的否定是特称命题 ――→ 判断真假 特称命题的否定是全称命题

[规范解答]

(1)p 是全称命题.

p 的否定是: 存在 x0∈R, 有|x0|≠x0, 如 x0=-1, |-1|=1≠ -1.2 分 所以 p 的否定是真命题.3 分 (2)p 是全称命题.
2 p 的否定是:存在 x0∈R,x3 ≤ x 0 0,4 分

如 x0=-1 时,(-1)3=-1×(-1)2=-1, 即(-1)3≤(-1)2, 所以 p 的否定是真命题.6 分

(3)p 是特称命题. p 的否定是:所有二次函数都有零点,7 分 如二次函数 y=x2+2x+3=(x+1)2+2>0. 任意的 x0∈R,y=x2 0+2x0+3≠0. 所以 p 是真命题,因此 p 的否定是假命题.9 分 (4)p 是特称命题. p 的否定是:任意的 α∈R,sin2α+cos2α=1,10 分 设任意角 α 终边与单位圆的交点为 P(x,y). 则 sin α=y,cos α=x,显然有 sin2α+cos2α=y2+x2=1, 所以 p 的否定是真命题.12 分

(1)特称命题的否定是全称命题,因此否定一 个特称命题时,要把存在量词换成全称量词,再否定命题的结

论即可;全称命题的否定是特称命题,因此否定一个全称命题
时,要把全称量词换成存在量词,再否定命题的结论即可. (2)命题的否定与原命题的真假性相反,可以用这一特点进 行全称命题与特称命题的真假判断;也可以借助该结论检验所 写命题的否定是否正确.

3.判断下列命题的真假,写出这些命题的否定并判断真
假. (1)三角形的内角和为180°;

(2)每个二次函数的图像都开口向下;
(3)存在一个四边形不是平行四边形; (4)存在一个实数x0,使得3x0<0.

解析:

(1)全称命题,且为真命题.否定:三角形的内角

和不全为180°,即存在一个三角形,且它的内角和不等于

180°.是假命题.
(2)全称命题,且为假命题.否定:存在一个二次函数的图 像开口不向下.是真命题. (3)特称命题,且为真命题.否定:所有四边形都是平行四 边形.是假命题. (4)特称命题,且为假命题.否定:对于所有实数x,都满 足3x≥0.是真命题.

写出下列命题的否定形式的命题. (1)矩形的四个角都是直角; (2)所有的方程都有实数解;

(3)4<3.
【错解】 (1)矩形的四个角都不是直角.(2)所有的方程 都没有实数解.(3)4>3.

【错因】

(1)错误的原因在于:“四个角都是直角”的否

定有以下几种情况:①四个角都不是直角;②三个角不是直
角;③两个角不是直角;④一个角不是直角.上述否定形式只 指出反面的一种情况而没有否定全部情况,因而是错误的.

(2)错误的原因同(1)类似,否定词用错.
(3)错误的原因是认为4<3的反面是4>3,而忽视了4=3的 情况. 【正解】 (1)矩形的四个角不都是直角;(2)有些方程没 有实数解;(3)4≥3.


相关文章:
2016年猴年宝宝起名大全_社会攻略_社会知识_社会信息_百度攻略
2016猴年日历 2016年猴年日历 2016年猴年春联大全-精选40条排版清晰 2015年宝宝起名大全,2015羊宝宝取名用字 羊年宝宝免费取名 2015宝宝起名大全 2015年宝宝取名大...
危险化学品目录(2016版)
2016 年第5号 按照《危险化学品安全管理条例》(国务院令第 591 号)有关规定,安全监 管总局会同工业和信息化部、公安部、环境保护部、交通运输部、农业部、国家...
2016年奉贤高三一模语文试题(附答案)_图文
2016 年奉贤高三一模语文试题一、阅读 (一)阅读下文,完成第 1-6 题(17 分) 当图像“遭遇”数字 ①大数据似乎一夜之间渗透进人们的生活,人们却还没来得及给...
2016会计基础知识重点
2016会计基础知识重点_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。2016会计基础知识重点 第一章??总论 本章主要内容 第一节 会计的概念与目标 第二节 会计的职能与...
2016年入党申请书
2016年入党申请书_入党/转正申请_党团工作_实用文档。2016年入党申请书 入党申请书敬爱的党组织: 我志愿加入中国共产党, 拥护党的纲领, 遵守党的章程, 履行党员...
2016石景山高三期末文科数学
2016石景山高三期末文科数学_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市石景山区 2015—2016 学年第一学期期末考试 高三数学(文)试卷第一部分(选择题共 40 分)一...
2016年中国高校及科研院所发表SCI论文排名_图文
2016年中国高校及科研院所发表SCI论文排名_院校资料_高等教育_教育专区。SCI论文排名 2016 年中国高校及科研院所发表 SCI 论文排名出炉 2017-02-08 05:04:39 ...
2016年高考真题——理综(新课标Ⅰ卷)原卷版
2016年高考真题——理综(新课标Ⅰ卷)原卷版_高考_高中教育_教育专区。附带解析 绝密★启封并使用完毕前 试题类型: 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科综合...
2016.12儒学与生活 99分
2016.12儒学与生活 99分_文学研究_人文社科_专业资料。1.【单选题】韩愈在()里提到了“博爱”一词。() ? A、 《原道》 我的答案:A 得分: 25.0 分 2....
金山区2016年高三数学文理科合卷一模试卷(含答案)
金山区2016年高三数学文理科合卷一模试卷(含答案)_数学_高中教育_教育专区。金山区 2015 学年第一学期期末考试 高三数学试卷 (满分:150 分,完卷时间:120 分钟)...
更多相关标签: