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宁夏银川九中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


2014-2015 学年宁夏银川九中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)下列各式正确的是() A. = B.log27 =﹣3 C. = D.a =1
0

2. (5 分)设集合 A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=() A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4} 3. (5 分)已知 A、B 是两个集合,它们的关系如图所示,则下列式子正确的是()

A.A∪B=B

B.A∩B=A

C.(?AB)∪B=A

D.(?AB)∩A=B

4. (5 分)若函数 y=(x+1) (x﹣a)为偶函数,则 a=() A.﹣2 B . ﹣1 C. 1 5. (5 分)下列函数中,与函数 y=x 表示同一函数的是() A. C. ,且 a≠1)
x

D.2

B. D. ,且 a≠1)

6. (5 分)函数 y=(a﹣1) 在 R 上为减函数,则 a 的取值范围是() A.a>0 且 a≠1 B.a>2 C.a<2 D.1<a<2 7. (5 分)函数 y= A.{x|﹣1<x<1} 1} + 的定义域是() {x|0<x<1} D. {﹣1,

B.{x|x<﹣1,或 x>1} C.

8. (5 分)设函数 f(x)= A.﹣1 B. 0

,则 f(f(2) )=() C. 2 D.1

9. (5 分) 某学生离家去学校, 由于怕迟到, 所以一开始就跑步, 等跑累了再走余下的路程. 在 如图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则如图中的四个图形中较符合该学 生走法的是()

A.

B.

C.
x﹣1

D.

10. (5 分)已知 f(x)=4+a 的图象恒过定点 P,则点 P 的坐标是() A.(1,5) B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0) 11. (5 分)函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 ,则 a 的值为 () A. B. 2 C. 或 D.
x

12. (5 分)已知 f(x)是偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,若 f(lgx)>f(1) ,则实数 x 的取值范围是() A.( ,1) B.(0, )∪(1,+∞) C. ( ,10) D.

(0,1)∪(10,+∞)

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)若函数 g(x+2)=2x+3,则 g(3)的值是. 14. (5 分)若 2<a<3,化简
2

+

的结果是.

15. (5 分)已知 f(x)=x ﹣2x+3,在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范 围是. 16. (5 分)有下列四个命题: ①函数 ②函数 是偶函数; 的值域为{y|y≥0};

③已知集合 A={﹣1,3},B={x|ax﹣1=0,a∈R},若 A∪B=B,则 a 的取值集合为{﹣1,3}; ④集合 A={非负实数},B={实数},对应法则 f:“求平方根”,则 f 是 A 到 B 的映射; 你认为正确命题的序号为.

三、解答题(共 70 分) 17. (10 分)计算: (1) (2 ) +(lg5) +(
0





(2) (log32+log34)log23. 18. (12 分)设全集为 R,集合 A={x|﹣1≤x<3},B={x|2x﹣4≥x﹣2}, 1)求:A∪B,?R(A∩B) ; 2)若集合 C={x|2x+a>0},满足 B∪C=C,求实数 a 的取值范围. ,x∈[3,5]

19. (12 分)已知函数 f(x)=

(1)判断函数 f(x)的单调性,并证明; (2)求函数 f(x)的最大值和最小值. 20. (12 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,如图为函数 f(x)的部分图象. (1)请你补全它的图象; (2)求 f(x)在 R 上的表达式; (3)写出 f(x)在 R 上的单调区间(不必证明) .

21. (12 分)已知函数 f(x)=loga(x+1) ,g(x)=loga(1﹣x) (a>0 且 a≠1) . (1)求 f(x)+g(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)+g(x)的奇偶性,并证明. 22. (12 分)已知函数 f(x)=2 (a 为常数) (1)求函数 f(x)的定义域; (2)若 a>0,时证明 f(x)在 R 是增函数;
ax+2

(3)当 a=1 时,求函数 y=f(x) ,x∈(﹣1,3]的值域.

2014-2015 学年宁夏银川九中高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)下列各式正确的是() A. = B.log27 =﹣3 C. = D.a =1
0

考点: 方根与根式及根式的化简运算. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,运用根式及其运算化简即可. 解答: 解: = ,log27 =﹣ ,a =1(a≠0) ,
0

故选 C. 点评: 本题考查了指数幂与对数的运算,属于基础题. 2. (5 分)设集合 A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=() A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4} 考点: 交、并、补集的混合运算. 分析: 属于集合简单运算问题.此类问题只要审题清晰、做题时按部就班基本上就不会出 错. 解答: 解:∵集合 A={1,2},B={1,2,3}, ∴A∩B=A={1,2}, 又∵C={2,3,4}, ∴(A∩B)∪C={1,2,3,4} 故选 D. 点评: 考查的是集合交、并、补的简单基本运算. 3. (5 分)已知 A、B 是两个集合,它们的关系如图所示,则下列式子正确的是()

A.A∪B=B

B.A∩B=A

C.(?AB)∪B=A

D.(?AB)∩A=B

考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 专题: 计算题. 分析: 直接根据图表得出 A∪B=A,A∩B=B, (CAB)∪B=A, (CAB)∩A=CAB,得出答案. 解答: 解:由图可知 A∪B=A,A∩B=B, (CAB)∪B=A, (CAB)∩A=CAB

故选 C. 点评: 本题考查了 Venn 图表达集合的关系及运算,此题比较容易,解题过程中要细心. 4. (5 分)若函数 y=(x+1) (x﹣a)为偶函数,则 a=() A.﹣2 B . ﹣1 C. 1

D.2

考点: 偶函数. 分析: 本小题主要考查函数的奇偶性的定义:f(x)的定义域为 I,?x∈I 都有,f(﹣x)=f (x) .根据定义列出方程,即可求解. 解答: 解:f(1)=2(1﹣a) ,f(﹣1)=0 ∵f(x)是偶函数 ∴2(1﹣a)=0,∴a=1, 故选 C. 点评: 本题主要考查偶函数的定义,对于函数的奇偶性问题要注意恰当的使用特殊值法. 5. (5 分)下列函数中,与函数 y=x 表示同一函数的是() A. C. ,且 a≠1) B. D. ,且 a≠1)

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 阅读型. 分析: 分析给出的四个选项是否与函数 y=x 为同一函数,关键看给出的四个函数的定义域 和对应关系是否与函数 y=x 一致,对四个选项逐一判断即可得到正确结论. 解答: 解:函数 y=x 的定义域为 R, 函数 = ,与函数 y=x 的解析式不同,所以不是同一函数;

的定义域是{x|x≠0},所以与函数 y=x 的定义域不同,不是同一函数; 函数 一函数; 函数 ,与函数为同一函数. 的定义域是{x|x>0},与函数 y=x 的定义域不同,不是同

故选 D. 点评: 本题考查两个函数是否为同一函数的判断,判断两个函数是否为同一函数,关键是 判断两个函数的定义域是否相同,对应关系是否一致,为基础题. 6. (5 分)函数 y=(a﹣1) 在 R 上为减函数,则 a 的取值范围是() A.a>0 且 a≠1 B.a>2 C.a<2 D.1<a<2 考点: 函数单调性的性质.
x

专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由指数函数的单调性,可得 0<a﹣1<1,解得 a 即可. 解答: 解:由函数 y=(a﹣1) 在 R 上为减函数, 则 0<a﹣1<1,即有 1<a<2. 故选 D. 点评: 本题考查函数的单调性,考查指数函数的单调性,考查运算能力,属于基础题.
x

7. (5 分)函数 y= A.{x|﹣1<x<1} 1}

+

的定义域是() {x|0<x<1} D. {﹣1,

B.{x|x<﹣1,或 x>1} C.

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 2 2 分析: 要使函数有意义,则需 1﹣x ≥0 且 x ﹣1≥0,解得即可得到定义域. 2 2 解答: 解:要使函数有意义,则需 1﹣x ≥0 且 x ﹣1≥0, 2 2 2 解得 x ≤1 且 x ≥1,则 x =1,即 x=±1, 则定义域为{﹣1,1}. 故选 D. 点评: 本题考查函数的定义域的求法,注意偶次根式被开方式非负,考查运算能力,属于 基础题.

8. (5 分)设函数 f(x)= A.﹣1 考点: 专题: 分析: 解答: B. 0 函数的值. 计算题;函数的性质及应用. 由分段函数代入求函数的值. 解:由题意, )=f(1)

,则 f(f(2) )=() C. 2 D.1

f(f(2) )=f( = =0,

故选 B. 点评: 本题考查了段函数的函数值的求法,属于基础题. 9. (5 分) 某学生离家去学校, 由于怕迟到, 所以一开始就跑步, 等跑累了再走余下的路程. 在 如图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则如图中的四个图形中较符合该学 生走法的是()

A.

B.

C.

D.

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 数形结合. 分析: 本题考查的是分段函数的图象判断问题.在解答时应充分体会实际背景的含义,根 据一开始就跑步, 等跑累了再走余下的路程, 即可获得随时间的推移离学校距离大小的变化快 满,从而即可获得问题的解答. 解答: 解:由题意可知:由于怕迟到,所以一开始就跑步, 所以刚开始离学校的距离随时间的推移应该相对较快.而等跑累了再走余下的路程, 则说明离学校的距离随时间的推移在后半段时间应该相对较慢. 所以适合的图象为: 故选 B.

点评: 本题考查的是分段函数的图象判断问题.在解答的过程当中充分体现了应用问题的 特点,考查了对变化率知识的应用能力.值得同学们体会反思. 10. (5 分)已知 f(x)=4+a 的图象恒过定点 P,则点 P 的坐标是() A.(1,5) B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0) 考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 计算题. 分析: 由 x﹣1=0 得 x=1,代入解析式求出对应的函数值,就是此点的坐标. 解答: 解:令 x﹣1=0,解得 x=1,代入 f(x)=4+a 则函数 f(x)过定点(1,5) . 故选 A.
x﹣1 x﹣1

得,f(1)=5,

点评: 本题考查了指数函数过定点(0,1) ,即令指数为零求出对应的 x 和 y 的值,即所求 的定点坐标. 11. (5 分)函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 ,则 a 的值为 () A. B. 2 C. 或 D.
x

考点: 指数函数的单调性与特殊点;指数函数的定义、解析式、定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: 当 a>1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上是增函数,由题意可得 a ﹣a= ,解得 a 的 值.当 1>a>0 时,同理根据函数的单调性可得 a﹣a = ,解得 a 值,由此得出结论. 解答: 解:当 a>1 时,函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)在区间[1,2]上是增函数,由题意可 得 a ﹣a= ,∴a= . 当 1>a>0 时,函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)在区间[1,2]上是减函数,由题意可得 a﹣a = , 解得 a= . 综上,a 的值为 或 故选 C. 点评: 本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,体现了分类讨论的数学思想,属于基础 题. 12. (5 分)已知 f(x)是偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,若 f(lgx)>f(1) ,则实数 x 的取值范围是() A.( ,1) B.(0, )∪(1,+∞) C. ( ,10) D.
x 2 2 x 2 2

(0,1)∪(10,+∞) 考点: 函数单调性的性质;偶函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用偶函数的性质,f(1)=f(﹣1) ,在[0,+∞)上是减函数,在(﹣∞,0)上单 调递增,列出不等式,解出 x 的取值范围. 解答: 解:∵f(x)是偶函数,它在[0,+∞)上是减函数, ∴f(x)在(﹣∞,0)上单调递增, 由 f(lgx)>f(1) ,f(1)=f(﹣1) 得:﹣1<lgx<1, ∴ <x<10,

故答案选 C. 点评: 本题考查偶函数的性质及函数单调性的应用. 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)若函数 g(x+2)=2x+3,则 g(3)的值是 5. 考点: 函数的值. 专题: 集合. 分析: 由函数的解析式得,必须令 x+2=3 求出对应的 x 值,再代入函数解析式求值. 解答: 解:令 x+2=3,解得 x=1 代入 g(x+2)=2x+3, 即 g(3)=5. 故选 C. 点评: 本题的考点是复合函数求值,注意求出对应的自变量的值,再代入函数解析式,这 是易错的地方.

14. (5 分)若 2<a<3,化简

+

的结果是 1.

考点: 专题: 分析: 解答: ∴

根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 计算题;函数的性质及应用. 开偶次方根时注意数的正负. 解:∵2<a<3, +

=a﹣2+3﹣a=1, 故答案为:1. 点评: 本题考查了根式的化简与求值,属于基础题. 15. (5 分)已知 f(x)=x ﹣2x+3,在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范 围是[1,2]. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题. 分析: 先画出二次函数图象:观察图象,欲使得闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,区 间[0,m]的右端点必须在一定的范围之内(否则最大值会超过 3 或最小值达不到 2) ,从而解 决问题. 解答: 解:通过画二次函数图象 观察图象,欲使得闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2, 区间[0,m]的右端点必须在抛物线顶点的右侧, 且在 2 的左侧(否则最大值会超过 3) ∴知 m∈[1,2]. 答案:[1,2]
2

点评: 本题主要考查利用图象求闭区间上函数的最值,图象法是数学解题中常用的思想方 法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质. 16. (5 分)有下列四个命题: ①函数 ②函数 是偶函数; 的值域为{y|y≥0};

③已知集合 A={﹣1,3},B={x|ax﹣1=0,a∈R},若 A∪B=B,则 a 的取值集合为{﹣1,3}; ④集合 A={非负实数},B={实数},对应法则 f:“求平方根”,则 f 是 A 到 B 的映射; 你认为正确命题的序号为②④. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 规律型. 分析: ①根据奇偶性的定义进行判断. ②根据函数的性质求函数的值域. ③根据集合的基 本运算进行判断.④根据映射的定义进行判断. 解答: 解:①函数 f(x)的定义域为{x|x≠2},定义域关于原点不对称,∴函数 f(x)为非 奇非偶函数,∴①错误. ②由 x﹣1≥0 得 x≥1,此时 ,∴函数 的值域为{y|y≥0},∴②正确.

③∵A∪B=B,∴A?B,若 a=0,则 B=?,不满足条件,若 a≠0,则 B={ },为单元素集,不 满足条件,∴③错误. ④根据映射的定义可知,f 是 A 到 B 的映射,∴④正确. 故答案为:②④. 点评: 本题主要考查各种命题的真假判断,涉及的知识点较多,综合性较强. 三、解答题(共 70 分) 17. (10 分)计算: (1) (2 ) +(lg5) +(
0





(2) (log32+log34)log23.

考点: 对数的运算性质;根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用指数的运算法则即可得出. (2)利用对数的运算法则和换底公式即可得出. 解答: 解: (1)原式= = =4. (2)原式=log38?log23 = =3. 点评: 本题考查了指数函数与对数的运算法则、换底公式,属于基础题. 18. (12 分)设全集为 R,集合 A={x|﹣1≤x<3},B={x|2x﹣4≥x﹣2}, 1)求:A∪B,?R(A∩B) ; 2)若集合 C={x|2x+a>0},满足 B∪C=C,求实数 a 的取值范围. 考点: 子集与交集、并集运算的转换. 专题: 计算题;集合. 分析: (1)由 A 与 B,求出两集合的交集,并集,以及交集的补集即可; (2)B∪C=C,则 B?C,即可求实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)∵A={x|﹣1≤x<3},B={x|x≥2},全集为 R, ∴A∪B={x|x≥﹣1},A∩B={x|2≤x<3},CR(A∩B)={x|x<2 或 x≥3}; (2)C={x|2x+a>0}={x|x>﹣ }, ∵B∪C=C, ∴B?C, ∴﹣ <2, ∴a>﹣4. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. +1

19. (12 分)已知函数 f(x)=

,x∈[3,5]

(1)判断函数 f(x)的单调性,并证明; (2)求函数 f(x)的最大值和最小值. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数的单调性的定义证明其单调性,借助单调性求函数的最大值和最小值.

解答: 解: (1)∵f(x)= 设任意的 x1,x2,且 3≤x1<x2≤5, ∴6≤x1+3<x2+3, > ,

=2﹣



∴f(x1)﹣f(x2)=(2﹣ ∴函数 f(x)=

)﹣(2﹣

)=



<0,即 f(x1)<f(x2)

,x∈[3,5]是增函数; ,x∈[3,5]是增函数; .

(2)由(1)知函数 f(x)= 故当 x=1 时,

;当 x=5 时,

点评: 本题主要考查函数的单调性和最值的求法,属于基础题. 20. (12 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,如图为函数 f(x)的部分图象. (1)请你补全它的图象; (2)求 f(x)在 R 上的表达式; (3)写出 f(x)在 R 上的单调区间(不必证明) .

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: (1)由函数的对称性补全它的图象; (2)设 f(x) )=a(x﹣0) (x﹣2) ,从而求出函数解析式,由奇函数解对称区间上的解析式; (3)由图象写出函数的单调区间. 解答: 解: (1)

(2)当 x≥0 时,设 f(x)=a(x﹣0) (x﹣2) , 把 A 点(1,﹣1)代入,解得 a=1, 2 ∴f(x)=x ﹣2x, (x≥0) , 当 x<0 时, ∵f(x)为 R 上的奇函数, 2 2 ∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣[(﹣x) ﹣2(﹣x)]=﹣x ﹣2x, ∴ ;

(3)由图知,f(x)在(﹣∞,﹣1]和[1,+∞)上单调递增,f (x)在(﹣1,1)上单调递 减. 点评: 本题考查了函数的解析式的求法,图象的作法及单调区间的写法,属于基础题. 21. (12 分)已知函数 f(x)=loga(x+1) ,g(x)=loga(1﹣x) (a>0 且 a≠1) . (1)求 f(x)+g(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)+g(x)的奇偶性,并证明. 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由函数的定义 ,从而可解得 f(x)+g(x)的定义域;

(2)令 F(x)=f(x)+g(x)=loga[(x+1) (1﹣x)],定义域为(﹣1,1) ,根据已知求得 F (x)=F(﹣x)即可证明 F(x)=f(x)+g(x)在(﹣1,1)上是偶函数. 解答: (1)由函数的定义 ,解得 ∴函数的定义域为(﹣1,1)…(4

分) (2)令 F(x)=f(x)+g(x) =loga(x+1)+loga(1﹣x) =loga[(x+1) (1﹣x)],定义域为(﹣1,1) F(﹣x)=loga[(﹣x+1) (1﹣(﹣x) )] =loga[(x+1) (1﹣x)]=F(x) ∵F(x)=F(﹣x) ∴F(x)=f(x)+g(x)在(﹣1,1)上是偶函数 …(12 分) 点评: 本题主要考察了对数函数的图象与性质,考察了函数的奇偶性的证明,属于基础题.

22. (12 分)已知函数 f(x)=2 (a 为常数) (1)求函数 f(x)的定义域; (2)若 a>0,时证明 f(x)在 R 是增函数; (3)当 a=1 时,求函数 y=f(x) ,x∈(﹣1,3]的值域. 考点: 函数的值域;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)定义域是使函数表达式有意义的 x 的取值集合; (2)任取 x1,x2∈R,且 x1<x2,用函数单调性的定义证明; (3)由第一问 a>0 时 f(x)在 R 是增函数;故当 a=1 时,函数 y=f(x) ,x∈(﹣1,3]时递 增,所以 f(﹣1)<f(x)≤f(3) . 解答: 解: (1)函数 f(x)=2 对任意实数都有意义,所以定义域为 R (2)任取 x1,x2∈R,且 x1<x2, 由 a>0 得 ax1+2<ax2+2 x 因为 y=2 在 R 上是增函数, ax1+2 ax2+2 所以有 2 <2 , 即 f(x1)<f(x2) 所以函数 f(x)在 R 上是增函数 x+2 (3)由(2)知当 a=1 时,f(x)=2 在(﹣1,3]上是增函数 所以 f(﹣1)<f(x)≤f(3) 即 2<f(x)≤32 所以函数 f(x)的值域为(2,32] 点评: 本题主要考查函数的单调性,利用单调性求函数的值域,属于基础题.
ax+2

ax+2


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