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北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用(一)利用定积分求平面图形的面积


定积分的简单应用(一)
利用定积分求平面图形的面积

一、教学目标:1、进一步让学生深刻体会 “分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边 梯形的思想方法;2、让学生深刻理解定积 分的几何意义以及微积分的基本定理;3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形面积的几 种常见题型及方法。 二、教学重难点: 曲边梯形面积的求法及 应用 三、教学方法:探析归纳,讲练结合

四、教学过程

前面,我们运用分割→近似代替→求和→取极限 的过程,求出了一些曲边梯形(由函数 y ? f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0 ) 的图象和直线 x ? a , x ? b , x 轴围成的 平面图形)的面积. 并把它们浓缩成了一个结果:定积分( ? f ( x )dx )
a b

1.微积分基本定理---------牛顿-莱布尼茨公式

?

b

a

f ( x)dx ? ? F ' ( x)dx ? F ( x) |b a ? F (b) ? F (a)
a

b

牛顿-莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系.
2.利用牛顿-莱布尼茨公式求定积分的关键是

确定f ( x)的原函数F ( x)

我们知道定积分 ? f ( x )dx 的几何意义:
a

b

它是介于 x 轴、函数 f ( x ) 的图象及两条直线 x ? a, x ? b 之间的各部分面积的代数和 .( 在 x 轴 上方的面积取正号,在 x 轴下方的面积取负号)

思考:试用定积分表示下面各平面图形的面积值: 图2.如图 图1.曲边梯形 y
y

y ? f ( x)

y ? f2 ( x)
y ? f1 ( x )

A1 ? ? f ( x )dx
a

o

a
b

b

x

o

a
b a

b

x

图 3. 如图 y
a
0

b

图4.如图 y y ? f2 ( x)

A2 ? ? [ f 2 ( x ) ? f1 ( x )]dx

x
0

a
b x
b

y ? f ( x)

A3 ? ?? f ( x )dx
a

b

A4 ? ? f2 ( x)dx ? ? f1( x)dx ? ? [ f2 ( x) ? f1( x)]dx
a a a

b

y ? f1 ( x )

b

例 1 计算由两条抛物线 y ? x 和 y ? x 所围成的
2 2

? ?y ? x 解 ? ? x ? 0 及 x ? 1 2 y ? x ? ? 两曲线的交点 O(0,0) B(1,1)

图形的面积.

y ?x
C

y2

B

D

y ? x2
A

o

x

S ? S曲梯形OABC - S曲梯形OABD
1 ?2 3 x ? 2 S ? ( x - x )dx ? ? x ? ? ? . 0 3 ?0 3 ?3

??

1
1

0

xdx ? ? x dx
2 0
2

1

?

3

1

例2

计算由曲线 y ? 2 x ,直线 y ? x ? 4以及 x 轴所
y? 2x

围成的图形的面积.

解:

两曲线的交点
? (0, 0), (8, 4).

S2

? ? y ? 2x ? ? ?y ? x ? 4
4

S1

y ? x?4

直线与x轴交点为(4,0)
S ? S1 ? S2 ? ?
0

2 xdx ? [ ?
8

8

4

2 xdx ? ? ( x ? 4)dx]
4

8

? (?

4

0

2 xdx ? ?
3 2 8 0

4

2 xdx) ? ? ( x ? 4)dx ? ?
4

8

8

0

2 xdx ? ? ( x ? 4)dx
4

8

2 2 1 2 40 8 ? x | ?( x ? 4 x) |4 ? 3 2 3

练习 1(课本变式题) : 计算由曲线 y ? 2 x 和直线 y ? x ? 4所围成的图形的面积. 4
2

解: 两曲线的交点
2

? y ? 2x ? ? ( 2,?2), (8,4). ?y ? x?4
S ? 2S1 ? S2 ? 2?
2 0

2

y ? 2x

S1 S1

S2 y ? x ? 4
8

2

0
8

2 xdx ? ? ( 2 x ? x ? 4)dx
2

8

y2 ? 2 x

? ? 2 2 xdx ? ? ( 2 x ? x ? 4)dx
2

4 2 2 2 1 2 16 64 26 8 ? x | ?( x ? x ? 4 x) |2 ? ? ? ? 18 3 3 2 3 3 3

3 2 2 0

3 2

练习 2: 计算由曲线 y ? x ? 6 x 和 y ? x 所围成的图形的面积.
3 2

解: 两曲线的交点 3 ? y ? x ? 6x ? (0,0), ( ?2,4), ( 3,9). ? 2 ?y ? x 0

y ? x2

A1 ? ?

A2 ? ? ( x ? x ? 6 x)dx
2 3 0

?2 3

( x ? 6 x ? x )dx
3 2

A1
A2
y ? x3 ? 6x
3

于是所求面积
0 3

A ? A1 ? A2
2 3

253 A ? ?? 2 ( x ? 6 x ? x )dx? ?0 ( x ? x ? 6 x )dx ? . 12
2

说明: 注意各积分区间上被积函数的形式.

例3 求由抛物线y2=8x(y>0)与直线x+y-6=0及 y=0所围成的图形的面积.
y

S??

2

0

40 8 xdx ? ? (6 ? x)dx ? 2 3
6

6

O

2

6

x

求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤:
(1)画草图;(2)求曲线的交点定出积分上、下 线;(3)确定被积函数,但要保证求出的面积是 非负的;(4)写出定积分并计算.

例4 已知抛物线y=x2-2x及直线x=0,x=a,y=0围 成的平面图形的面积为4/3,求a的值. 思路:根据a的取值的不同分类讨论.
4 ,解得a=-1 ?a ( x ? 2 x)dx ? 3 a 4 2 (2 x ? x )dx ? ,解得a=2 当0<a≤2时,

当a≤0时,

0

2

3 2 a 4 2 2 当a>2时, ? (2 x ? x )dx ? ? , ( x ? 2 x)dx ? ,无解 0 2 3 b 故a=-1或a=2
0

?

注意 S ? ?a | f ( x) |dx(a ? b)
[-1,2]

若”面积为4/3”,改为”面积不超过4/3”呢?

巩固练习:
1.由定积分的性质和几何意义,说明下列

各式的值.

(1) ?? a a ? x dx
2 2

a

?a
2

2

( 2) ?0 ( 1 ? ( x ? 1) ? x ) dx
2

1

?

1 ? 4 2

2.一桥拱的形状为抛物线,已知该抛物线拱的高 为常数h,宽为常数b,求抛物线拱的面积. y 4h
y?? b
2

x2 ? h

2 S ? bh 3

0 x 3.已知直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围 图形为面积相等的两部分,求k的值.

4 1? 2

3

4.求下列曲线所围成的图形的面积:
(1)y=x2,y=2x+3;

(2)y=ex,y=e,x=0.

32 (1) S ? ? ((2 x ? 3) ? x )dx ? ?1 3
3 2

(2)S ? ? (e ? e )dx ? 1
x 0

1

课堂小结: 求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: 1.作图象; 2.求交点的横坐标,定出积分上、下限; 3.确定被积函数,用定积分表示所求的面积,特 别注意分清被积函数的上、下位置; 4.用牛顿-莱布尼茨公式求定积分. 课外练习

课 外 练 习

作业布置:课本P90页习题4-3中1、2、 3、4

五、教学反思:


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