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2014届(浙江)高考数学(理)二轮专题训练:第1部分专题六第2讲排列、组合与二项式定理(选择、填空题型)


第二讲 排列、组合与二项式定理?选择、填空题型?

考 点 两个计数原理 排列、组合问题

考 情 1.对两个计数原理及排列、组合的考查主要有两 种形式:一是直接利用计数原理、排列、组合知识进 行计数, 如 2013 年福建 T5,2013 年北京 T12; 二是与概 率问题结合起来综合考查.

二项式定理
<

br />2. 对二项式定理的考查主要是求展开式中的某一 项,某一项的二项式系数,各项系数和等,考查赋值 技巧,难度不大,如 2013 年江西 T5,2013 年新课标全 国卷ⅡT5,2013 年安徽 T11.

1.(2013· 福建高考)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实数解的 有序数对(a,b)的个数为( A.14 C.12 ) B.13 D.10

解析:选 B 因为 a,b∈{-1,0,1,2},可分为两类:①当 a=0 时,b 可能为-1 或 1 或 0 或 2,即 b 有 4 种不同的选法;②当 a≠0 时,依题意得 Δ=4-4ab≥0,所以 ab≤1.当 a =-1 时,b 有 4 种不同的选法;当 a=1 时,b 可能为-1 或 0 或 1,即 b 有 3 种不同的选 法;当 a=2 时,b 可能为-1 或 0,即 b 有 2 种不同的选法.根据分类加法计数原理,(a, b)的个数为 4+4+3+2=13. 2 ?5 2 2.(2013· 江西高考)? ?x -x3? 展开式中的常数项为( A.80 C.40 B.-80 D.-40 )

2 ?r - ? - r 解析:选 C Tr+1=Cr (x2)5 r· (-2)r· x10 5r,令 10-5r=0,得 r=2,故常数 5· ?-x3? =C5·
2 项为 C2 5×(-2) =40.

3.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)已知(1+ɑx)(1+x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则ɑ=( A.-4 B.-3

)

C.-2

D.-1

1 解析:选 D 展开式中含 x2 的系数为 C2 5+aC5=5,解得 a=-1.

4.(2013· 安徽高考)若?

?x+ a ?8 4 3 ? 的展开式中 x 的系数为 7,则实数 a=________. x? ?

解析:二项式?

4 ?x+ a ?8 8- r 4 r r 3 展开式的通项为 T ,令 8- r=4,可得 r=3,故 ? +1=C8a x r 3 3 x? ?

1 3 3 C8 a =7,易得 a= . 2 1 答案: 2 5.(2013· 北京高考)将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张, 如果分给同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是________. 解析:按照要求要把序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券分成 4 组,然后再分配给 4 人, 连号的情况是 1 和 2,2 和 3,3 和 4,4 和 5,故其方法数是 4A4 4=96. 答案:96

1.两个重要公式 (1)排列数公式 Am n= (2)组合数公式 =n(n-1)(n-2)?(n-m+1)(n,m∈N*,且 m≤n).

Cm n=



(n,m∈N*,且 m≤n).

2.三个重要性质和定理 (1)组合数性质
n ①Cm n =Cn
-m

(n,m∈N*,且 m≤n);
m-1

②Cm (n,m∈N*,且 m≤n); n+1=Cn +Cn ③C0 n=1. (2)二项式定理
n 1 n 1 1 n 2 2 n k k n n r r (a+b)n=C0 b +C2 b +?+Ck · b +?+Cn 其中通项 Tr+1=Cr b. na +Cna na na nb , na
- - - -

m

(3)二项式系数的性质
n 1 n 1 r n r ①C0 n=Cn,Cn=Cn ,?,Cn=Cn ;
- -

1 2 n n ②C0 n+Cn+Cn+?+Cn=2 ; 3 5 0 2 4 n 1 ③C1 . n+Cn+Cn+?=Cn+Cn+Cn+?=2


热点一

两个计数原理的应用

[例 1] (1)某人设计了一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图 所示正方形 ABCD(边长为 3 个单位)的顶点 A 处,然后通过掷骰子来确定棋 子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位,如果掷出的点数为 i(i=1,2, ?, 6),则棋子就按逆时针方向行走 i 个单位,一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好 又回到点 A 处的所有不同走法共有( A.22 种 C.25 种 ) B.24 种 D.36 种

(2)方程 ay=b2x2+c 中的 a,b,c∈{-3,-2,0,1,2,3},且 a,b,c 互不相同,在所有 这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( A.60 条 C.71 条 )

B.62 条 D.80 条

[自主解答] (1)设抛掷三次骰子的点数分别为 a,b,c,根据分析,若 a=1,则 b+c =11,只能是(5,6),(6,5),2 种情况;若 a=2,则 b+c=10,只能是(4,6),(5,5),(6,4),3 种情况;若 a=3,则 b+c=9,只能是(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),4 种情况;若 a=4,则 b +c=8, 只能是(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), 5 种情况; 若 a=5, 则 b+c=7, 只能是(1,6), (2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),6 种情况;若 a=6,则 b+c=6,只能是(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1),5 种情况.故总计 2+3+4+5+6+5=25 种可能. (2)当 a=1 时,若 c=0,则 b2 有 4,9 两个取值,共 2 条抛物线, 若 c≠0,则 c 有 4 种取值,b2 有两种,共有 2×4=8 条抛物线; 当 a=2 时,若 c=0,b2 取 1,4,9 三种取值,共有 3 条抛物线, 若 c≠0,c 取 1 时,b2 有 2 个取值,共有 2 条抛物线, c 取-2 时,b2 有 2 个取值,共有 2 条抛物线, c 取 3 时,b2 有 3 个取值,共有 3 条抛物线, c 取-3 时,b2 有 3 个取值,共有 3 条抛物线. 所以共有 3+2+2+3+3=13 条抛物线. 同理,a=-2,-3,3 时,共有抛物线 3×13=39 条. 由分类加法计数原理知,共有抛物线 39+13+8+2=62 条. [答案] (1)C (2)B

——————————规律· 总结———————————————— 应用两个计数原理解题的方法

(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时,一般先分类再分步,每一步当中又可能用 到分类计数原理. (2)对于复杂的两个原理综合使用的问题,可恰当列出示意图或表格,使问题形象化、 直观化.

1.如图所示,在 A,B 间有四个焊接点 1,2,3,4,若焊接点脱落导致断 路,则电路不通.今发现 A,B 之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况 有( ) A.9 种 C.13 种 B.11 种 D.15 种

解析:选 C 按照焊接点脱落的个数进行分类.若脱落 1 个,有(1),(4),共 2 种;若 脱落 2 个,有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),共 6 种;若脱落 3 个,有(1,2,3),(1,2,4), (2,3,4),(1,3,4),共 4 种;若脱落 4 个,有(1,2,3,4),共 1 种.综上,共有 2+6+4+1=13 种焊接点脱落的情况. 2.某次活动中,有 30 个人排成 6 行 5 列,现要从中选出 3 人进行礼仪表演,要求这 3 人任意 2 人不同行也不同列,则不同的选法种数为________(用数字作答). 解析: 其中最先选出的一个有 30 种方法, 此时这个人所在的行和列共 10 个位置不能再 选人,还剩一个 5 行 4 列的队形,选第二个人有 20 种方法,此时该人所在的行和列不能再 选人,还剩一个 4 行 3 列的队形,此时第三个人的选法有 12 种,根据分步乘法计数原理, 30×20×12 总的选法种数是 =1 200. 6 答案:1 200

热点二

排列与组合问题

[例 2] (1)现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任 取 3 张, 要求这 3 张卡片不能是同一种颜色, 且红色卡片至多 1 张, 不同取法的种数为( A.232 C.472 B.252 D.484 )

(2)(2013· 重庆高考)从 3 名骨科、 4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救 灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是________(用数字 作答). [自主解答] (1)法一: 从 16 张不同的卡片中任取 3 张, 共有 C3 16= 16×15×14 =560 种, 3×2×1

1 3 其中有两张红色的有 C2 4×C12种,其中三张卡片颜色相同的有 C4×4 种,所以 3 张卡片不能 2 1 3 是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张的不同取法的种数为 C3 16-C4×C12-C4×4=472. 1 法二: 若没有红色卡片, 则需从黄、 蓝、 绿三色卡片中选 3 张, 若都不同色, 则有 C1 4×C4 2 1 2 1 ×C1 4=64 种,若 2 张颜色相同,则有 C3C2C4C4=144 种;若红色卡片有 1 张,则剩余 2 张 2 1 1 1 1 2 若不同色,有 C1 4×C3×C4×C4=192 种,若同色,则有 C4C3C4=72 种,所以共有 64+144

+192+72=472(种). (2)直接法分类,3 名骨科,内科、脑外科各 1 名;3 名脑外科,骨科、内科各 1 名;3 名内科,骨科、脑外科各 1 名;内科、脑外科各 2 名,骨科 1 名;骨科、内科各 2 名,脑外
3 1 1 科 1 名;骨科、脑外科各 2 名,内科 1 名.所以选派种数为 C3 C1 C1 C3· C5+C3 C1 C1 3· 4· 5+C4· 5· 3· 4+ 2 2 1 2 2 1 C4 · C5· C3+C2 C2 C1 C4· C5=590. 3· 5· 4+C3·

[答案] (1)C 互动探究

(2)590

若本例(1)中增加条件“且黄色卡片至多 1 张”,则有多少种不同的取法?
1 1 1 解:可分类完成:若取三张卡片,且三张卡片颜色均不同,则有 C3 4C4C4C4=256 种;若 1 1 2 取三张卡片只有两种颜色,则可为蓝绿一种中选两张,红黄一种选一张,共有 2C2 4C4+C2C4 1 1 C2 C4=144 种.

因此,所有取法种数为 256+144=400.

——————————规律· 总结———————————————— 1.解决排列组合问题应遵循的原则 先特殊后一般,先选后排,先分类后分步. 2.解决排列组合问题的 11 个策略 (1)相邻问题捆绑法;(2)不相邻问题插空法;(3)多排问题单排法;(4)定序问题倍缩法; (5)多元问题分类法;(6)有序分配问题分步法;(7)交叉问题集合法;(8)至少或至多问题间接 法;(9)选排问题先选后排法;(10)局部与整体问题排除法;(11)复杂问题转化法. 3.解决排列组合问题的四个角度 解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手. (1)“分析”就是找出题目的条件、结论,哪些是“元素”,哪些是“位置”; (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合,对某些元素的位置有无限制等; (3)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互斥的几类,然后逐类解决; (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤,而每一步都是简单的排列组合问题, 然后逐步解决.

3.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有 5 架歼15 飞机准备

着舰.如果甲、乙两机必须相邻先后着舰,而丙、丁不能相邻先后着舰,那么不同的着舰方 法有( ) B.18 种 D.48 种

A.12 种 C.24 种

解析:选 C 将甲、乙捆绑,与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列,有 A2 A2 2· 2种方
2 2 2 法,而后将丙、丁进行插空,有 3 个空,则有 A2 A2· A3=24 种方法. 3种排法,故共有 A2·

4.某班班会准备从含甲、乙的 7 名学生中选取 4 人发言,要求甲、乙 2 人至少有一人 参加,若甲、乙同时参加,则他们发言时顺序不能相邻,那么不同的发言顺序种数为( A.720 C.600 B.520 D.360 )

1 3 4 解析:选 C 根据题意,分 2 种情况讨论:若甲、乙其中一人参加,有 C2 · C5· A4=480 2 2 2 3 种; 若甲、 乙 2 人都参加, 共有 C2 C2 A4 其中甲、 乙相邻的情况有 C2 · C5· A2· A3 2· 5· 4=240 种发言顺序,

=120 种,故有 240-120=120 种.则不同的发言顺序种数为 480+120=600. 热点三 二项式定理

[例 3] (1)(2013· 新课标全国卷Ⅰ)设 m 为正整数,(x+y)2m 展开式的二项式系数的最大 值为 a,(x+y)2m A.5 C.7
+1

展开式的二项式系数的最大值为 b,若 13a=7b,则 m=( B.6 D.8

)

1 ? x- ?6,x<0, ?? x? ? (2)(2013· 陕西高考)设函数 f(x)=? 则当 x>0 时,f(f(x))表达式的展开式 ? ?- x,x≥0, 中常数项为( A.-20 C.-15 ) B.20 D.15

(3)若将函数 f(x)=x5 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+?+a5(1+x)5,其中 a0,a1, a2,?,a5 为实数,则 a3=________.
m [自主解答] (1)根据二项式系数的性质知:(x+y)2m 的二项式系数最大有一项,C2 m=a,

(x+y)2m

+1

m 1 m m 的二项式系数最大有两项,Cm 2m+1=C2m+1=b.又 13a=7b,所以 13C2m=7C2m+1,


13· ?2m?! 7· ?2m+1?! 即 = ,解得 m=6. m!m! ?m+1?!m! (2)依据分段函数的解析式,得 f(f(x))=f(- x)=?
3 -3=0,则 r=3,故常数项为 C3 6(-1) =-20.

1 r r -3 - x?6,∴Tr+1=Cr .令 r 6(-1) x ? x ?

(3)f(x)=x5=(1+x-1)5,

5 r 它的通项为 Tr+1=Cr · (-1)r, 5(1+x)


3 2 3 T3=C2 5(1+x) (-1) =10(1+x) ,所以 a3=10.

[答案] (1)B

(2)A (3)10

——————————规律· 总结———————————————— 应用通项公式要注意五点 (1)它表示二项展开式的任意项,只要 n 与 r 确定,该项就随之确定; (2)Tr+1 是展开式中的第 r+1 项,而不是第 r 项; (3)公式中 a,b 的指数和为 n,且 a,b 不能随便颠倒位置; (4)要将通项中的系数和字母分离开,以便于解决问题; (5)对二项式(a-b)n 展开式的通项公式要特别注意符号问题.

a1 a2 a2 013 5.若(1-2x)2 013=a0+a1x+?+a2 013x2 013(x∈R),则 + 2+?+ 2 013的值为( 2 2 2 A.2 C.-1 解析:选 C ∵(1-2x)2
013

)

B.0 D.-2 =a0+a1x+?+a2
2 013 (x∈R),∴令 013x

x=0,则 a0=1.令 x

1?2 013 1 a1 a2 a2 013 = ,则? ?1-2×2? =a0+ 2 +22+?+22 013=0, 2 a1 a2 a2 013 其中 a0=1,所以 + 2+?+ 2 013=-1. 2 2 2 a2 x- ?8 的展开式中常数项为 1 120,则展开式中各项系数之和为________. 6.若? ? x? a2 - 8-r 2 r 8-2r x- ?8 的展开式的通项为 Tr+1=Cr 解析:? (-a2)rx r=Cr ,令 8-2r=0, 8x 8(-a ) x ? x?
2 2 4 2 ? a ?8 ? 2?8 解得 r=4,所以 C4 8(-a ) =1 120,所以 a =2,故 x- x = x-x .令 x=1,得展开式中 ? ? ? ?

各项系数之和为(1-2)8=1. 答案:1


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