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3.1.3二倍角的正弦,余弦,正切公式


3.2.1 二倍角的正弦、余弦、正切
一、教学目标:1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式,了解它们的内在联系; 2.会利用倍角公式进行求值运算,培养运算和逻辑推理能力; 3.领会从一般化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生 学数学的兴趣。 二、教学重、难点:倍角公式的形成,及公式的变形形式的运用。 三、教学过程: (一)复习: 1.复习两角 和与差的正

弦、余弦、正切公式; 2.提出 问题:若 ? ? ? ,则得二倍角的正弦、余弦、正切公式。 (二)新课讲解: 1.二倍角公式的推导:

sin 2? ? 2sin ? cos ? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? 2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ?

说明: (1) “倍角”的意义是相对的,如:
2

? ? 是 的二倍角; 4 8
[来源:学科网]

(2)观察公式特征: “倍角”与“二次”的关系; (3)利用三角函数关 系式 sin ? ? cos ? ? 1 ,
2

可将余弦的倍角公式变形为: cos 2? ? 2cos ? ? 1 ? 1 ? 2sin ? ,
2 2

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? , cos 2? ? 2cos2 ? ?1 , cos 2? ?? 1 ? 2sin 2 ? 统称为升
幂公式。 类似地也有公式 (降幂公式) :

cos 2 ? ?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? 这两个形式今后常用; 2 2

? ? k? ? ? ? k? ,? ? ? (k ? Z ) . 2 4 2 【 练习 1】求值: (1) sin 22 30? ? cos 22 30? ? . ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? cos 2 ? (2) 2 cos . (3) sin 8 8 8 ? ? ? ? (4) 8sin . cos cos cos ?
48 48 24 12
2.例题分析: 例 1:已知 sin ? ?

(4)注意 公式成立的条件,特别是二倍角的正切公式成立的条件:



5 ? , ? ? ( , ?) ,求 sin 2? , cos 2? , tan 2? 的值。 13 2

源:学+科+网 Z+X+X+K]

【练习 2】①已知: tan x ? 2 ,则 tan 2( x ? ②已知: sin x ?

?
4

)?

; tan 2( x ? .

?
4

)?



[来源:学科网 ZXXK]

? 5 ?1 ,则 sin 2( x ? ) ? 4 2

例 2:化简(1) 1 ? sin 40 ; (2) 1 ? cos 20 ; (3) 1 ? sin 40 ; (4) 1 ? cos 20 .

例 3:求函数 y ? cos( 2 x ?

2? ? ) ? 2 cos( x ? ) 的值域。 7 7

[来源:Zxxk

当堂检测 1、① (sin

5? 5? 5? 5? ? cos )(sin ? cos ) ? 12 12 12 12 ②若 tan ? ? 3 ,求 sin 2? ? cos 2? 的值。



2、利 用三角公式化简: sin 50? (1 ? 3 tan10? ) .
源:Z|xx|k.Com]

3、求 f ( x) ? 6 cos x ? 6sin x cos x ? 4 cos( x ?
2

?

) cos( ? x) 的值域。 4 4

?

4、 (1) cos 20 cos 40 cos 60 cos80 ;
[来源:学*科*网]

(2) sin10 sin 30 sin 50 sin 70 .

课后作业

1.化简(cos47° 30 ′-sin47° 30′)(sin 23° cos 8° -sin 67° sin 8° )=( 1 A.4 1 B.-4 C.1 ). 13 D.18 D.-1

).

2 2.若 cos 2α= 3 ,则 sin4α+cos4α=( A.1 7 B.9 11 C.18

1 5 θ 3.(2012· 珠海高一检测)如果|cos θ|=5,2π<θ<3π,则 sin 2=( 10 A.- 5 10 B. 5 15 C.- 5

).

15 D. 5

1 4.已知 tan θ=2,则 sin 2θ+sin2θ=________. 5.已知函数 f(x)=(sin x-cos x)sin x,x∈R,则 f(x)的最小正周期为________. 2 2 cos θ ?π ? 6.已知 cos θ=- 3 ,θ∈?2,π?,求sin 2θ- sin θ 的值. ? ?


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