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2015-2016学年高中数学 2.1.1向量的概念课时作业 新人教B版必修4


2015-2016 学年高中数学 2.1.1 向量的概念课时作业 新人教 B 版必 修4

一、选择题 1.把平面上一切单位向量平移到共同始点,那么这些向量的终点构成的图形是( A.一条线段 C.两个孤立的点 [答案] D [解析] 图形是一个以始点为圆心,以 1 为半径的圆. 2.把所有相等的向量平移到同一起点后,这些向量的终点将落在( A.同一个圆上 C.

同一条直线上 [答案] B [解析] 由相等向量的定义知 B 正确. 3.如图,在菱形 ABCD 中,可以用同一条有向线段表示的向量是( ) B.同一个点上 D.以上都有可能 ) B.一段圆弧 D.一个圆 )

→ → A.DA与BC → → C.DC与BC [答案] B

→ → B.DC与AB → → D.DC与DA

[解析] 因为向量只与大小和方向有关, 与起点位置无关, 从而起点可以在任意位置. 该 题只需考虑长度相等且方向相同即可,显然只有 B 符合要求. 4.在下列判断中,正确的是( ①长度为 0 的向量都是零向量; ②零向量的方向都是相同的; ③单位向量的长度都相等; ④单位向量都是同方向; ⑤任意向量与零向量都共线. A.①②③ B.②③④
1

)

C.①②⑤ [答案] D

D.①③⑤

[解析] 由定义知①正确,②由于两个零向量是平行的,但不能确定是否同向,也不能 确定是哪个具体方向,故不正确.显然,③、⑤正确,④不正确,所以答案是 D. 5.已知 A={与 a 共线的向量},B={与 a 长度相等的向量},C={与 a 长度相等、方向 相反的向量},其中 a 为非零向量,则下列各项中错误的是( A.C?A C.C?B [答案] B [解析] 由题意可知,C?A,C?B,{a}?A∩B,故选项 B 是错误的. → → 6.四边形 ABCD 中,若AB与CD是共线向量,则四边形 ABCD 是( A.平行四边形 C.平行四边形或梯形 [答案] C → → → → → → [解析] 因为AB与CD为共线向量, 所以AB∥CD, 但|AB|与|CD|可能相等, 也可能不相等. 二、填空题 → 7. 若 D、 E、 F 分别是△ABC 的三边 AB、 BC、 AC 的中点, 则与向量EF相等的向量为________. → → [答案] BD、DA → 1→ → → [解析] 三角形的中位线平行且等于底边的一半,EF= BA=BD=DA. 2 → → 8.等腰梯形 ABCD 两腰上的向量AB与DC的关系是________. → → [答案] |AB|=|DC| → → → → [解析] 由等腰梯形可知,两腰长度相等,故两腰上的向量AB与DC满足|AB|=|DC|. 三、解答题 → 9.某人从 A 点出发,向东走到 B 点,然后,再向正北方向走了 60 m 到达 C 点.已知|AC → |=120 m,求AC的方向和 A、B 的距离. [解析] 依题意,在 Rt△ABC 中,∠BAC=30°, → 2 2 |AB|= 120 -60 =60 3(m). → → 所以AC的方向是 A 点的东偏北 30°,|AB|=60 3. B.梯形 D.不是平行四边形也不是梯形 ) B.A∩B={a} D.A∩B?{a} )

2

10.在直角坐标系中画出下列向量. (1)|a|=2,a 的方向与 x 轴正方向的夹角为 60°,与 y 轴正方向的夹角为 30°; (2)|a|=4,a 的方向与 x 轴正方向的夹角为 30°,与 y 轴正方向的夹角为 120°; (3)|a|=4 2,a 的方向与 x 轴正方向的夹角为 135°,与 y 轴正方向的夹角为 135°. [解析] (1)如图所示.

(2)如图所示.

(3)如图所示.

一、选择题 1.若 a 为任一非零向量,b 为其单位向量,下列各式: ①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1;⑤ =b. |a | 其中正确的是( A.①④⑤ C.①②③⑤ [答案] D [解析] |a|与|b|大小关系不能确定,故①错,a 与其单位向量平行②正确.a≠0,∴ |a|>0,③正确.|b|=1,故④错.由定义知⑤正确. 2.如图四边形 ABCD、CEFG、CGHD 都是全等的菱形,则下列关系不一定成立的是( ) ) B.③ D.②③⑤

a

3

→ → A.|AB|=|EF| → → C.BD=EH [答案] C

→ → B.AB与FH共线 → → D.DC与EC共线

[解析] 当 ABCD 与其他两个菱形不共面时,BD 与 EH 异面,故选 C. → → → → 3.若|AB|=|AD|,且BA=CD,则四边形 ABCD 的形状为( A.正方形 C.矩形 [答案] B → → → → [解析] ∵四边形 ABCD 中,BA=CD,∴AB∥CD,且|BA|=|CD|,∴四边形 ABCD 为平行 四边形, → → 又∵|AB|=|AD|,∴四边形 ABCD 为菱形. 4.如图所示,在菱形 ABCD 中,∠BAD=120°,则下列说法中错误的是( ) B.菱形 D.等腰梯形 )

→ → A.图中所标出的向量中与AB相等的向量只有 1 个(不含AB本身) → → B.图中所标出的向量中与AB的模相等的向量有 4 个(不含AB本身) → → C.BD的长度恰为DA长度的 3倍 → → D.CB与DA不共线 [答案] D → → [解析] 易知△ABC 和△ACD 均为正三角形.对于 A,向量AB=DC; → → → → → 对于 B,|AB|=|DC|=|DA|=|CB|=|CA|; → → 对于 C,△BAD 是顶角为 120°的等腰三角形,则|BD|= 3|DA|; → → 对于 D,CB∥DA成立,故 D 是错误的. 二、填空题 → → → 5.如图所示,如果小正方形的边长为 1,则|AB|=________,|CD|=________,|EF|
4

=________.

[答案] 3 2

26

2 2

→ 2 2 [解析] |AB|= 3 +3 =3 2, → 2 2 |CD|= 5 +1 = 26, → 2 2 |EF|= 2 +2 =2 2. 6.给出下列命题: ①若|a|=|b|,则 a=b;②若 a=b,则 a∥b;③若 a∥b,则 a=b. 其中正确命题的序号是________. [答案] ② [解析] 在讨论向量共线的问题时,要考虑方向、长度、位置,尤其不能忘记对零向量 的讨论. 对于①,两个向量的模相等,但方向却不一定相同,故①错误. 对于②,a=b,则 a 与 b 同向,∴a∥b,故②正确. 对于③,|a|与|b|不一定相等,a 与 b 的方向也不一定相同,故 a=b 不一定成立,故 ③错误. 三、解答题 7.如图所示,O 为正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形.在图 中所示的向量中:

→ → (1)分别写出AO,BO相等的向量; → (2)写出与AO共线的向量; → (3)写出与AO的模相等的向量; → → (4)向量AO与CO是否相等? → → → → [解析] (1)AO=BF,BO=AE.

5

→ → → → (2)与AO共线的向量为:BF,CO,DE. → → → → → → → → (3)|AO|=|CO|=|DO|=|BO|=|BF|=|CF|=|AE|=|DE|. (4)不相等. 8.一位模型赛车手摇控一辆赛车,沿直线向正东方向前行 1 m,逆时针方向旋转 α 度, 继续沿直线向前行进 1 m,再逆时针旋转 α 度,按此方法继续操作下去. (1)按 1?100 的比例作图说明当 α =60°时,操作几次赛车的位移为零. (2)按此法操作使赛车能回到出发点,α 应满足什么条件?请写出其中两个. [解析] (1)如图所示,操作 6 次赛车的位移为零.

(2)要使赛车能回到出发点,只需赛车的位移为零;按(1)的方式作图,则所作图形是内 360° 角为 180°-α 的正多边形,故有 n(180°-α )=(n-2)?180°,所以 n= (n 为不 α 小于 3 的整数),即 α 应为 360°的约数,如 α =30°,则 n=12,即操作 12 次可回到起 点;又 α =15°,则 n=24,即操作 24 次可回到起点. → → → → 9.如图所示,在△ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 边上的点,已知AD=DB,DF=BE, → → 试推断向量DE与AF是否为相等向量,说明你的理由.

→ → → → [解析] ∵AD=DB,∴|AD|=|DB|,从而 D 是 AB 的中点. → → → → ∵DF=BE,∴DF与BE是平行向量,从而 DF∥BE,即 DF∥BC.∴F 是 AC 的中点. 1 由三角形中位线定理知,DF= BC, 2 → → 又|DF|=|BE|,即 DF=BE, 从而 E 为 BC 的中点. 1 于是 DE∥AC,且 DE= AC. 2 → → ∴DE 綊 AF,故DE=AF. 1 ∵F 是 AC 的中点,∴AF= AC, 2
6


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