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1.2.1排列(1)


1.2.1

排列(1)

分类加法计数原理: 完成一件事,有n类不同方案,在第1类方案 中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同 的方法 ……在第n类方案中有mn种不同的方法.那 么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种 不同的方法. 分步乘法计数原理: 完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有 m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……, 做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共 有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法.

创设情境
引例. 随着人们生活水平的提高,某城市家庭 汽车拥有量迅速增长,汽车牌照号码需要扩容。 交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法,每 一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和 3个不重复的阿拉伯数字,并且3个字母必须合 成一组出现,3个数字也必须合成一组出现,那 么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?

26×25×24×10×9×8=11232000 11232000+11232000=22464000

探究:
问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加 下午的活动,有多少种不同的选法?

分析:题目转化顺序排列问题,
上午
甲 乙

下午 乙 丙 甲 丙
甲 乙

相应的排法 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙
丙甲



丙乙

把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问 题1就可以叙述为:
从3个不同的元素a,b,c中任取2个,然后按照一定 的顺序排成一列,一共有多少种不同的排列方法? ab, ac, ba, bc, ca, cb

问题2:从1,2,3,4这4个数中,每次取出3个排成 一个三位数,共可得到多少个不同的三位数?
2 1 3 4
3

1

2 3 41 41

4
3

1 2

3 2

4 2 2

1
3 1

4 2
3 1

3

3 42 42 3

41 4 1

2

有此可写出所有的三位数:
123,124,132,134,142,143; 213,214,231,234,241,243,
312,314,321,324,341,342; 412,413,421,423,431,432。

叙述为: 从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个,然后按 照一定的顺序排成一列,共有多少种不同的排列方法? abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.

问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出 2名参加某天的一项活动,其 中1名参加上午的活动,1名参 加下午的活动,有哪些不同的 排法? 实质是:从3个不同的元素 中,任取2个,按一定的顺序 排成一列,有哪些不同的排 法?

问题2 从1,2,3,4这4个数 中,每次取出3个排成一 个三位数,共可得到多少 个不同的三位数?
实质是:从4个不同的元素 中, 任取3个,按照一定的顺 序排成一列,写出所有不同 的排法.

定义:一般地说,从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元 素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同的元素 中取出m个元素的一个排列.

1、排列:

基本概念

从n个不同元素中取出m (m ? n)个元素, 按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个排列。

说明:
1、元素不能重复。

2、“按一定顺序”就是与位置有关,这是判断一 个问题是否是排列问题的关键。 (有序性) 3、两个排列相同,当且仅当这两个排列中的元素 完全相同,而且元素的排列顺序也完全相同。 4、m<n时的排列叫选排列,m=n时的排列叫全排列。 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏, 最好采用“树形图”。

(互异性)

练习1 下列问题是排列问题吗?

(1)从1,2,3,4四个数字中,任选两个做加法, 其不同结果有多少种? 不是排列 (2)从1,2,3,4四个数字中,任选两个做除法, 其不同结果有多少种? 是排列 (3)从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标, 可得多少个不同的点的坐标? 是排列 (4)平面上有5个点,任意三点不共线,这五点最 多可确定多少条射线?可确定多少条直线? 不是排列 是排列 (5)10个学生排队照相,则不同的站法有多少种? 是排列 (从中归纳这几类问题的区别)

练习2.在A、B、C、D四位候选人中,选举正、副班长各 一人,共有几种不同的选法?写出所有可能的选举结果. AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC 练习3.写出从5个元素a,b,c,d,e中任取2个元素的 所有排列. 解决办法是先画“树形图”,再由此写出所有的排列, 共20个. 若把这题改为:写出从5个元素a,b,c,d,e中 任取3个元素的所有排列,结果如何呢? 方法仍然照用,但数字将更大,写起来更“啰嗦”. 研究一个排列问题,往往只需知道所有排列的个数而 无需一一写出所有的排列,那么能否不通过一一写出 所有的排列而直接“得”出所有排列的个数呢?接下 来我们将来共同探讨这个问题:排列数及其公式.

2、排列数:
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 的所有排列的个数,叫做从n个不同的元素中 m 取出m个元素的排列数。用符号 An 表示。 “排列”和“排列数”有什么区别和联 系?
按照一定的顺序排成一列,不是数;

“一个排列”是指:从n 个不同元素中,任取 m 个元素 “排列数”是指从n 个不同元素中,任取 m 个元素的 m 所有排列的个数,是一个数;所以符号 An 只表示
排列数,而不表示具体的排列。

问题1中是求从3个不同元素中取出2个元素的 2 2 排列数,记为 A3 ,已经算得 A3 ? 3? 2 ? 6 问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的 3 排列数,记为 A4 ,已经算出 A3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 24
4

探究:从n个不同元素中取出2个元素的排列 2 3 m 数 An 是多少? An 呢? An 呢? 2 m An ? n(n ?1) An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ?1) 3 An ? n(n ?1)(n ? 2)
第1位 第2位 第3位 第m位

……
n种 (n-1)种 (n-2)种 (n-m+1)种

(1)排列数公式(1):

A ? n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1)(m, n ? N *, m ? n)
n 当m=n时,An ? n(n ? 1)( n ? 2) ?3 ? 2 ?1

m n

正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用

n!表示。

n! (2)排列数公式(2): A ? (n ? m)!
m n

n n个不同元素的全排列公式: An ? n!

说明:

为了使当m=n时上面的公式也成立,规定: 0!? 1
1、排列数公式的第一个常用来计算,第二个常用来证明。

2、对于 m ? n 这个条件要留意,往往是解方程时的隐含条 件。

有关排列数的计算与证明

n n!

2
2

3
6

4
24

5
120

6
720
4 (3 ) 6

7

8

5040 40320

例1. 计算 (1 )

A

3 6 (2) 16 6

A

A

解: (1)A (2)

3 16
6 6

? 16 ? 15 ? 14 ? 3360

A ? 6! ? 720
6

(3) A 4

? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 360

m 例2.证明: n?1

A

? A ? mA
m n

m-1 n

证明:右边

n! n! ? ? m? (n ? m )! (n ? m ?1)!

n! A ? ( n - m )!
m n

( n ? 1)n ! n !? (n ? m ? 1) ? n !? m ? ? ( n ? m ? 1)! (n ? m ? 1)! ( n ? 1)! m ? ? An?1 ? 左 [( n ? 1) ? m]!

1、如果A ? 18 ? 17 ? ? ? 9 ? 8,
m n

巩固练习:

则n ? ___, m ? ___ 由n=18,n-m+1=8,得m=11
2、若n ? N , 则(55 ? n)(56 ? n)?(68 ? n)(69 ? n) 用排列数符号表示为__________
15 69? n

A

3、如果A

3 2n

? 10 A , 则n ? _____
3 n
5 n

即2n(2n ?1)(2n ? 2) ? 10n(n ?1)(n ? 2) ? n ? 8(舍n ? 1).
A ?A 4、如果 ? 89, 则n ? _____ 5 An
7 n

化简得n 2 ? 11n ? 29 ? 89, 解得n ? 15(舍n ? ?4).

小结:

【排列】从n个不同元素中选出m(m≤n)个元素,并按一定
的顺序排成一列.

【关键点】1、互异性(被选、所选元素互不相同)
2、有序性(所选元素有先后位置等顺序之分)

【排列数】所有排列总数

A ? n(n ? 1)(n ? 2)...(n ? m ? 1) n! m An = (n- m)!
m n

例1、计算: 6 3 (1)A (2)A6 16 720 3360
例2、解方程: 例3、求证:

A

3 2x

(3) A 1680 2 x=13 ? 100 Ax
m n m ?1 n

4 8

A

m n ?1

? A ? mA

m 例4.若 An ? 17 ?16 ?15 ??? 5 ? 4 ,则 m ? 14 , n ? 17 .

例5、求 A

n ?3 2n

?A

n ?1 4 的值.

练 习

答:( ) 15 ! 化简:( ) ? 4 1 5 !,(2)(5 ? 4)! (2)20! (3)7! (3) ? 5 42 !,(4)(n ? m)( n ? m ? 1)! (4)( n ? m)!
1 1 1 (5) ? ? n! (n ? 1)! (n ? 1)!
3

例1 计算:

n 2 ? 2n (5) (n ? 1)!

(1) A ; (2) A ; A
16
8 12 7 12

16?15?14 ? 3360
12?11?10? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ?5 12?11?10? 9 ? 8 ? 7 ? 6

(3)

A.
6

6

6!=6×5×4×3×2×1=720

练习4
2 n 4 8

应用公式解以下各题:
2 8

(1) A ? 56,求n。 (2) A ? 2 A ? ?
7 5 An ? An (3)已知 ? 89,求n。 5 An 5 6 2 A7 ? A6 (4) ?? 6!?5! 3 2 2 (5)3 Ax ? 2 Ax ?1 ? 6 Ax ,求x。

练习5
m n m n

求证下列各式:
m ?1 n ?1 m?k n?k k n

(1) A ? n ? A

( 2) A ? A ? A

(k ? m ? n)

(n ? 1)! n! (n ? k ? 1) ? n! (3) ? ? k! (k ? 1)! k!
你能用学过的方法,举一实际的例子说 明(1)、(2)吗?

例如:) A ? 5 ? A ; (2) A ? A ? A (1
4 5 3 4 4 5 2 5

2 3

练习6:
求解下列各式的值或解方程。 4 3 (1) A2 n ?1 ? 140? An
4A ? 2A ( 2) ?? 5 A ? A9
4 8 8 8 5 8

A ?A (3) ?? A ?A
5 8 6 9 4 8 5 9

( 4) A

n?3 2n

?A

n ?1 6

??

例2. 求证:

n! A = (n-m)!
m n

证明:

m An =n(n-1)(n-2)?(n-m+1)

n(n-1)(n-2)?(n-m+1)(n-m)? 2 ? 1 = (n-m)? 2 ? 1
n! ?A = (n-m)!
m n

规定0!=1

A

m n

n! ? (n - m )!

含有排列数的方程与不等式的解法 例5. 解方程:

A

3 2x

? 100Ax

2

例6. 解不等式:

x x A9 ? 6A9 ?2

点评:含有排列数的方程或不等式,应根据有关公式 转化为一般方程,再求解.但应注意:其中的字母都 是满足一定限制条件的自然数.

例7:求证:1!+2·2!+3·3!+…+n·n!=(n+1)!- 1 分析:n· n!=(n+1)!-n! 证明:∵n· n!=(n+1)!-n!

- )+ - )+ - )+ 左边= (2! 1! (3! 2! (4! 3! = (n+ 1)! 1! -

? + [(n+ 1)! n! - )]

小结:
1.排列的定义;(不同元素)
m n

2.排列数公式; A =n(n-1)(n-2)...(n-m+1)
n! A = (n-m)!
m n

3.几种阶乘变形.
n!+n? n!=(n+1)!

1 1 n = n! (n+1)! (n+1)!


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