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1.3简单逻辑联结词学生


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§ 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1

1. 简单的逻辑联结词 (1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词. (2)简单复合命题的真值表: p 真 真 假 假 q 真 假 真 假

?p
假 假 真 真

?q

真 假 真

p或q 真 真 真 假

p且q 真 假 假 假

? (p 或
q) 假 假 假 真

? (p 且
q) 假 真 真 真

?p 或 ?q
假 真 真 真

?p 且 ?q
假 假 假 真

2. 全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等. (2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等. 3. 全称命题与特称命题 (1)含有全称量词的命题叫全称命题. (2)含有存在量词的命题叫特称命题. 4. 命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. (2)p 或 q 的否定:非 p 且非 q;p 且 q 的否定:非 p 或非 q.

1. 下列命题中,所有真命题的序号是________. ①5>2 且 7>4;②3>4 或 4>3;③ 2不是无理数. 1 2. 已知命题 p: 存在 x∈R, x2+ 2≤2, 命题 q 是命题 p 的否定, 则命题 p、 q、 p 且 q、 p 或 q 中是真命题的是________. x 3. 若命题“存在 x∈R,有 x2-mx-m<0”是假命题,则实数 m 的取值范围是________. 4. (2012· 湖北改编)命题“存在 x0∈?RQ,x3 0∈Q”的否定是
3 A.存在 x0 ? ?RQ,x0 ∈Q

(

)

B.存在 x0∈?RQ,x3 0?Q C.任意 x ? ?RQ,x3∈Q D.任意 x∈?RQ,x3D ? Q

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§ 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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5. 有四个关于三角函数的命题: x x 1 p1:存在 x∈R,sin2 +cos2 = 2 2 2 p2:存在 x,y∈R,sin(x-y)=sin x-sin y p3:对任意 x∈[0,π], π p4:sin x=cos y?x+y= 2 其中的假命题是 A.p1,p4 C.p1,p3 B.p2,p4 D.p2,p3 ( ) 1-cos 2x =sin x 2

题型一 含有逻辑联结词的命题的真假 例 1 已知命题 p1:函数 y=2x-2 x 在 R 上为增函数,p2:函数 y=2x+2 x 在 R 上为减函数,则在命题 q1:p1 或 p2, q2:p1 且 p2,q3:( ? p1)或 p2 和 q4:p1 且( ? p2)中,真命题是 ( ) A.q1,q3 B.q2,q3
- -

C.q1,q4

D.q2,q4 写出由下列各组命题构成的“p 或 q”、“p 且 q”、“ ? p”形式的复合命题,并判断真假:

(1)p:1 是素数;q:1 是方程 x2+2x-3=0 的根; (2)p:平行四边形的对角线相等;q:平行四边形的对角线互相垂直; (3)p:方程 x2+x-1=0 的两实根的符号相同;q:方程 x2+x-1=0 的两实根的绝对值相等. 题型二 含有一个量词的命题的否定 例2 写出下列命题的否定,并判断其真假: 1 (1)p:对任意 x∈R,x2-x+ ≥0; 4 (2)q:所有的正方形都是矩形;
2 (3)r:存在 x0∈R,x0 +2x0+2≤0;

(4)s:至少有一个实数 x0,使 x3 0+1=0. (1)已知命题 p:对任意 x∈R,sin x≤1,则 A. ? p:存在 x∈R,sin x≥1 B. ? p:对任意 x∈R,sin x≥1 C. ? p:存在 x∈R,sin x>1 D. ? p:对任意 x∈R,sin x>1 (2)命题 p:存在 x∈R,2x+x2≤1 的否定 ? p 为______________________________. ( )

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§ 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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题型三 逻辑联结词与命题真假的应用 例3 已知 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的负实数根;q:不等式 4x2+4(m-2)x+1>0 的解集为 R.若“p 或 q” 为真命题,“p 且 q”为假命题,求实数 m 的取值范围.

已知 a>0, 设命题 p: 函数 y=ax 在 R 上单调递增; 命题 q: 不等式 ax2-ax+1>0 对任意 x∈R 恒成立. 若 “p 且 q”为假,“p 或 q”为真,求 a 的取值范围.

借助逻辑联结词求解参数范围问题

1 ? 典例:(12 分)已知 c>0,且 c≠1,设 p:函数 y=cx 在 R 上单调递减;q:函数 f(x)=x2-2cx+1 在? ?2,+∞?上为增函 数,若“p 且 q”为假,“p 或 q”为真,求实数 c 的取值范围.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 下列命题中的假命题是 A.存在 x0∈R,lg x0=0 C.对任意 x∈R,x3>0 B.存在 x0∈R,tan x0=1 D.对任意 x∈R,2x>0 ( ) ( )

2. (2012· 湖北)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是

A.任意一个有理数,它的平方是有理数 B.任意一个无理数,它的平方不是有理数 C.存在一个有理数,它的平方是有理数 D.存在一个无理数,它的平方不是有理数 π π 3. (2012· 山东)设命题 p:函数 y=sin 2x 的最小正周期为 ;命题 q:函数 y=cos x 的图像关于直线 x= 对称.则下列 2 2

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§ 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 ( )

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判断正确的是 A.p 为真 B. ? q 为假 C.p 且 q 为假 D.p 或 q 为真

4. 已知命题 p:“对任意 x∈[1,2],x2-a≥0”,命题 q:“存在 x∈R,使 x2+2ax+2-a=0”,若命题“p 且 q”是 真命题,则实数 a 的取值范围是 A.{a|a≤-2 或 a=1} C.{a|a≤-2 或 1≤a≤2} 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 命题“对任意 x∈R,ex≤x”的否定是__________________. b 6. 若命题 p: 关于 x 的不等式 ax+b>0 的解集是{x|x>- }, 命题 q: 关于 x 的不等式(x-a)(x-b)<0 的解集是{x|a<x<b}, a 则在命题“p 且 q”、“p 或 q”、“ ? p”、“ ? q”中,是真命题的有________. 1 7. 已知命题 p:x2+2x-3>0;命题 q: >1,若“綈 q 且 p”为真,则 x 的取值范围是____________________. 3-x 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)写出下列命题的否定,并判断真假: (1)q:对任意 x∈R,x 不是 5x-12=0 的根; (2)r:有些质数是奇数; (3)s:存在 x0∈R,|x0|>0. B.{a|a≥1} D.{a|-2≤a≤1} ( )

1 ? 1 1 9. (12 分)已知 c>0,设命题 p:函数 y=cx 为减函数.命题 q:当 x∈? ?2,2?时,函数 f(x)=x+x>c恒成立.如果“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求 c 的取值范围.

B 组 专项能力提升

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§ 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 (时间:25 分钟,满分:43 分)

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一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. (2011· 安徽)命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定 是 .. A.所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B.所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 2. (2012· 辽宁改编)已知命题 p:对任意 x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))· (x2-x1)≥0,则綈 p 是( A.存在 x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.对任意 x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.存在 x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.对任意 x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 ex 1 3. 设有两个命题,p:不等式 + x>a 的解集为 R;q:函数 f(x)=-(7-3a)x 在 R 上是减函数,如果这两个命题中有 4 e 且只有一个真命题,那么实数 a 的取值范围是 A.1≤a<2 7 C.2≤a< 3 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4.已知命题 p: “对任意 x∈R, 存在 m∈R,4x-2x 1+m=0”, 若命题綈 p 是假命题, 则实数 m 的取值范围是__________.


(

)

)

(

)

7 B.2<a≤ 3 D.1<a≤2

5. 设 p:方程 x2+2mx+1=0 有两个不相等的正根,q:方程 x2+2(m-2)x-3m+10=0 无实根.则使“p 或 q”为真, “p 且 q”为假的实数 m 的取值范围是____________. 6. 下列结论: ①若命题 p:存在 x∈R,tan x=1;命题 q:对任意 x∈R,x2-x+1>0.则命题“p 且綈 q”是假命题; a ②已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 =-3; b ③命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题:“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0”. 其中正确结论的序号为________.

三、解答题
2 7. (13 分)已知命题 p:方程 2x2+ax-a2=0 在[-1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x0 满足不等式 x0 +2ax0+2a≤0,

若命题“p 或 q”是假命题,求 a 的取值范围.


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