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含参数的一元二次不等式的解法


2016年3月27日星期 日

解题回顾

解不等式: ? x ? 5x ? 6
2

解:原不等式可变形为:x ? 5x ? 6 ? 0
2

方程x ? 5x ? 6 ? 0的两个根为:
2

x1=2,x2=3
∴ 不等式的解集为{x│ x <2或x>3}.

解题回顾
二次函数、一元二次方程、一元二次不 等式是一个有机的整体。通过函数把方程 与不等式联系起来,我们可以通过对方程 的研究利用函数来解一元二次不等式。 请问:三者之间有何关系 方程的解即对应函数图象与x轴交点的横 坐标;不等式的解集即对应函数图象在x轴下方 或上方图象所对应x的范围,且解集的端点值为 对应方程的根。

解题回顾
我们可以把任何一个一元二次不等 式转化为下列四种形式中的一种:

(1)ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

(2)ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

(3)ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

(4)ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

解题回顾
解一元二次不等式的基本步骤:“三步曲”
(1)转化为不等式的“标准”形式;

(2)计算△,解相应一元二次方程的根;
(3)根据二次函数的图象以及不等号的方向,写出不 等式的解集.

分类汇总
判别式?=b2-4ac

一元二次不等式的解法(a>0)
?>0
y

??0
y
x

?<0
y
b 2a

二次函数 y=ax2+bx+c 的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 ax2+bx+c>0的解集 ax2+bx+c<0的解集 ax2+bx+c ≥ 0的解集 ax2+bx+c ≤ 0的解集

x1

x2 x

x1 ? x2 ? ?

x
没有实根

有两个相异的实根 有两个相等实根 x1,x2. (设x1<x2 ) x1=x2 {x|x>x2或x<x1} {x|x1<x<x2}

b {x|x≠ ? } 2a
?
R

R ?
R ?

?x x ? x 或x ? x ?
2 1

?x x

1

? x ? x2 ?

b {x|x= ? } 2a

含参数的不等式的解法

对于含有参数的不等式,由于参数的取值范围不 同,其结果就不同,因此必须对参数进行讨论,即要 产生一个划分参数的标准。 一元一次不等式ax+b>0(<0)
参数划分标准: 一次项系数a>0,a=0,a<0 一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0) 参数划分标准: (1)二次项系数a>0,a=0,a<0 (2)判别式△>0,△=0,△<0 (3)一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的大小, x1>x2 ,x1=x2,x1<x2

例题讲解
2 例1 解关于 x 的不等式 ax ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0?

分析: 因为 a ? 0 且 ? ? 0 ,所以我们只要讨论二次项系 数的正负. 解: ? a( x2 ? 5x ? 6) ? a?x ? 2??x ? 3? ? 0
∴(1)当 a ? 0 时,原不等式变形为: ?x ? 2??x ? 3? ? 0 ∴当 a ? 0 时,原不等式解集为: ?x | x ? 2或x ? 3? ∴(2)当 a ? 0 时,原不等式变形为: ∴当 a ? 0 时,原不等式解集为:

?x ? 2??x ? 3? ? 0
?x | 2 ? x ? 3?

综上所述: a ? 0时,原不等式解集为: ?x | x ? 2或x ? 3?
a ? 0时,原不等式解集为: ?x | 2 ? x ? 3?

例题讲解

例2.解关于x的不等式:x ? 5ax ? 6a ? 0 (a ? 0)
2 2
2 2 此不等式 ? ? ? 5 a ? 24 a ? a ?0 ? ? 分析 : 2

又不等式即为 (x-2a)(x-3a)>0

故只需比较两根2a与3a的大小.

?x ? 2a?( x ? 3a) ? 0 解: 原不等式可化为:
相应方程 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 的两根为 x1 ? 2a, x2 ? 3a ∴(1)当 2a ? 3a 即 a ? 0 时,原不等式解集为 ?x | x ? 2a或x ? 3a? (2)当 2a ? 3a 即 a ? 0 时,原不等式解集为 ?x | x ? 3a或x ? 2a?

综上所述: a ? 0时,原不等式解集为: ?x | x ? 2a或x ? 3a?
a ? 0时,原不等式解集为: ?x | x ? 3a或x ? 2a?

例题讲解
例3:解关于
2

x 的不等式: 2x

2

? kx ? k ? 0

分析:由于 x 的系数大于0,对应方程的根只需考虑△的符号. 解:? ? ? k 2 ? 8k
(1)当 (2)当

原不等式解集为 ? k 2 ? 8k ? 0 即 ?8 ? k ? 0 时,
k 2 ? 8k ? 0 时得 k ? 0 或 k ? ?8

2 ∴(a)当 k ? 0 时,原不等式即为 2 x ? 0

解集为: ? x x ? 0?
解集为: ? x x ? 2?

2 2 x ? 8x ? 8 ? 0 ∴(b)当 k ? ?8时,原不等式即为
2 k ? 8k ? 0 即 k ? 0 或 k ? ?8 时, (3)当

原不等式解集为

? ?k ? k 2 ? 8k ? ? ?k ? k 2 ? 8k ? ?x? ?x ? 4 4 ? ? ? ?

综上所述, (1)当 k ? ?8 时,不等式解集为
? ?k ? k 2 ? 8k ? ? ?k ? k 2 ? 8k ? x ? x ? ? ? 4 4 ? ? ? ? (2)当 k ? ?8 时,不等式解集为 ? x x ? 2?

(3)当 ?8 ? k ? 0 时,不等式解集为

?

(4)当 k ? 0 时,不等式解集为 ? x x ? 0? (5)当 k ? 0 时,不等式解集为
? ?k ? k 2 ? 8k ? ? ?k ? k 2 ? 8k ? ?x? ?x ? 4 4 ? ? ? ?

例题讲解
例4:解关于

x 的不等式: ax

2

? (a ? 1) x ? 1 ? 0.

{x | x ? 1}. 解: (一)当 a ? 0 时, 原不等式即为 ? x ? 1 ? 0 解集为: (二)当 a ? 0 时, 原不等式变形为: (ax ? 1)(x ? 1) ? 0 1 其解的情况应由对应的两根 与1的大小关系决定,故有: a 1 (1)当 a ? 0 时,原不等式的解集为:{x | x ? 或x ? 1} a (2)当 a ? 0 时,有:
(a)当 (b ) 当 (c ) 当
1 ? 1 即 a ? 1时,原不等式的解集为: a 1 ? 1即 a ? 1 时,原不等式的解集为:? a
1 ?1 a

{x |

1 ? x ? 1} a



1 { x |1 ? x ? } 0 ? a ?1 时,原不等式的解集为: a

综上所述, (1)当 a ? 0 时,原不等式的解集为 (2)当 a ? 0 时,原不等式的解集为
? 1 ? x x ? 或 x ? 1 ? ? a ? ?

? x x ? 1?
? 1? ?x 1 ? x ? ? a? ?

(3)当 0 ? a ? 1 时,原不等式的解集为 (4)当 a ? 1 时,原不等式的解集为 ? (5)当 a ? 1 时,原不等式的解集为

? 1 ? ? x ? 1? ?x ? a ?

例题讲解

例 5: 解不等式
2

x ? ax ? 4 ? 0
2

解:∵ ? ? a ? 16 ∴ 当a ? ? ?4,4?即? ? 0时


原不等式解集为

R

? a? 当a ? ?4即? ? 0时, 原不等式解集为? x x ? R且x ? ? ? 2? ?
当a ? 4或a ? ?4即? ? 0时, 此时两根分别为 ;
,

? a ? a ? 16 x1 ? 2 显然 x1 ? x 2
2



,

? a ? a 2 ? 16 x2 ? 2

? ? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? ? ∴原不等式的解集为: ? x x ? 或x〈 ? 2 2 ? ? ? ?

练习
1 1、若0 ? a ? 1, 则不等式(x ? a) ( x ? ) ? 0的解是(A ) a

1 A.a<x< a 1 B. <x<a a

1 C.x> 或x<a a 1 D.x< 或x>a a

2、当a<0时,不等式 42x2 ? ax ? a2 ? 0 的解集为(A )
?a a? A. ? 7 , ? 6 ? ? ?
a 2a ? C. ? ? ,? ? ?7 7 ?

B.

? a a? ?? , ? ? 6 7?

D.

?

练习
已知:a ? R, 二次函数f ( x) ? ax 2 ? 2 x ? 2a,设不等式f ( x) ? 0的解集为A, 又知集合B ? {x 1 ? x ? 3},若A ? B ? ?, 求a的取值范围。

解:f ( x) ? 0,即ax ? 2x ? 2a ? 0,
2
2 1 ? 2 a ?1 2 方程ax ? 2 x ? 2a ? 0的两个根为:x= , a

1 ? 2a 2 ? 1 1 ? 2a 2 ? 1 ? a ? 0时,A= ?x | x ? 或x ? ?, a a

又B ? {x 1 ? x ? 3},A ? B ? ?,
1 ? 2a 2 ? 1 ? ?3 a

6 解得:a ? ( , ??) 7

1 ? 2a 2 ? 1 1 ? 2a 2 ? 1 ? a ? 0时,A= ? x | ?x? a a

?,

又B ? {x 1 ? x ? 3},A ? B ? ?,

1 ? 2a ? 1 ? ?1 a
2

解得:a ? (??, ?2)

?6 ? 综上所述:a ? ? ??, ?2 ? ? ? , ?? ? ?7 ?

练习

解关于x的不等式:

() 1 x2 ? (1 ? a) x ? a ? 0
a ? 1时,不等式的解集为 {x | a ? x ? 1}
a ? 1时,不等式的解集为?

a ? 1时,不等式的解集为 {x |1 ? x ? a}

(2)x2 ? (a ? 2) x ? 2a ? 0
a ? ?2时,不等式的解集为 {x | 2 ? x ? ?a}


a ? ?2时,不等式的解集为?

a ? ?2时,不等式的解集为 {x | ?a ? x ? 2}

练习

解关于x的不等式:
2

1 (3)x ? (a ? ) x ? 1 ? 0 a 1 ?1 ? a ? 0或a ? 1时,不等式的解集为{x | ? x ? a} a a ? ?1时,不等式的解集为? 1 a ? ?1或0 ? a ? 1时,不等式的解集为{x | a ? x ? } a

(4)mx2 ? 2(m ? 1) x ? 4 ? 0 m ? 0时,不等式的解集为 {x | x ? 2}


2 0 ? m ? 1时,不等式的解集为{x | 2 ? x ? } m m ? 1时,不等式的解集为? 2 m ? 1时,不等式的解集为{x | ? x ? 2} m 2 m ? 0时,不等式的解集为{x | x ? 2或x ? } m

练习

解关于x的不等式:

(5)ax ? ax ? 1 ? 0.
2

?4 ? a ? 0时,不等式的解集为R
1 a ? ?4时,不等式的解集为{x | x ? ? } 2
?a ? a 2 ? 4a ?a ? a 2 ? 4a a ? 0时,不等式的解集为{x | ?x? } 2a 2a
?a ? a 2 ? 4a ?a ? a 2 ? 4a a ? ?4时,不等式的解集为{x | x ? 或? x? } 2a 2a


练习

解关于x的不等式:

(6)k 2 ( x ? 2) ? k (3x ?1) ? 2( x ? 2) ? 0
解:原不等式化为:(k 2 ? 3k ? 2) x ? 2k 2 ? k ? 4 ? 0
2k 2 ? k ? 4 当k ? 3k ? 2 ? 0,即k ? 2或k ? 1时,解集为: } ?x | x ? ? 2 k ? 3k ? 2
2

2 2 k ?k ?4 2 当k ? 3k ? 2 ? 0,即1 ? k ? 2时,解集为: } ?x | x ? ? 2 k ? 3k ? 2

当k ? 3k ? 2 ? 0,即k ? 1时,x ??; k ? 2时,x ? R;
2

课堂小结
一、按二次项系数是否含参数分类:
2 x 当二次项系数含参数时,按 项的系数 a

的符号分类,即分 a ? 0, a ? 0, a ? 0 三种情况.
二、按判别式 ? 的符号分类,即分 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 三种情况 三、按对应方程 ax ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x 2 的大小分类,即分 x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x 2 三种情况.
2

衷心感谢您的指导!

再 见


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