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一元二次函数


一元二次函数

二次函数高考地位分析
二次函数问题是一类重要的问题,它以函数、不等 式、方程知识为载体,融推理、证明、探索于一体, 综合性强,是教与学的难点。而《数学课程标准》指 出:“结合二次函数的图像,判断一元二次函数方程 根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程 根的联系”,同时又强调:“通过函数图像了解一元 二次不等式与相应函数、方程

的联系”。显然,新标 准把二次函数摆在了更重要的位置,并突出了三个 “二次”之间的关系,对思维能力的要求提高了,因 此有必要对这类问题作一些探讨。

要点回顾
2 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 1、二次函数解析式的三种表示形式:①一般式______________ y ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) y ? a( x ? m) 2 ? n(a ? 0) ③两根式_________________ ②顶点式_________________

2、二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的图像与性质:

a?0
图像

a?0

定义域 值域 单调性

实数集R
4ac ? b 2 [ , ? ?) 4a

实数集R
4ac ? b 2 (??, ] 4a

b b , ? ?) 增区间: (??, ? ) 2a 2a b b (??, ? ) 减区间: (? , ? ?) 减区间: 2a 2a (? 增区间:

3、“三个二次”:二次函数、二次方程、二次不等式间的主要关 系
判别式Δ=b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c (a>0) 的图像
x1=x2 有两个相异实根 有两个相等实根 二次方程ax2+bx+c=0 2 b ? b ? b ? 4ac (a≠0)的根 x ? x ? ? x1,2 ? 1 2 2a 2a b 二次不等式ax2+bx+c>0 {x | x ? x1或x ? x2 } {x | x ? ? } 2a (a>0)的解集 x1 x2

要点回顾
Δ>0

Δ=0

Δ<0

没有实根 实数集R

二次不等式ax2+bx+c<0 (a>0)的解集

{x | x1 ? x ? x2 }

φ

φ

? b ? b 2 ? 4ac ? b ? b 2 ? 4ac 4、设方程ax2+bx+c=0(a≠0)若△≥0则x1=__________ x2=__________ 2a 2a

? c b ? x1+x2=______ |a| a ,|x1-x2|=_____ a ,x1x2=_____

课前自测
1、函数y=-x2+x-2在区间[1,4]上的最小值( C ) A.-7 B.-4 C.-2 D.2 2、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间 ( ??,4]上是减函 数,那么实数a的取值范围是( B ) A.a≥3 B.a≤-3 C.a≤5 D.a≥3 3、如果函数f(x)=x2+bx+c,对任意实数t都有: f(2+t)=f(2-t),那么( A) A. f(2)<f(1)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(4) C. f(2)<f(4)<f(1) D. f(4)<f(2)<f(1) 4、已知二次函数f(x)=x2-4x-4,则f(x)在[4,5]上的 -4 ,在[0,3]上的最小值为_____ -8 , 最小值为______ 1 在[-2,-1]上的最小值为_____ 5、已知二次函数f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值 f(x)=-4x2+4x+7 是8,则该函数解析式为______________

课前自测
5、已知二次函数f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值 是8,则该函数解析式为______________

解法一:利用一般式 设 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) ? ? a ? ?4 ?4a ? 2b ? c ? ?1 ? ? 由题意得 ? a ? b ? c ? ?1 解之得 ? b ? 4 2 4 ac ? b ? ? c?7 ? ? 8 ? ? 4a ? ∴所求二次函数为 f ( x) ? ?4 x 2 ? 4 x ? 7

课前自测
5、已知二次函数f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值 是8,则该函数解析式为______________ 解法二:利用顶点式

? f (2) ? f (?1)

2 ? (?1) 1 ? 所以抛物线的对称轴为 x ? 2 2 又函数有最大值为 8

1 2 所以可设 f ( x) ? a( x ? ) ? 8 (a ? 0) 2 1 2 ? f (2) ? ?1 ? a(2 ? ) ? 8 ? ?1 解之得 a ? ?4

12 2 ∴所求二次函数为 f ( x) ? ?4( x ? ) ? 8 ? ?4 x ? 4 x ? 7 2

2

课前自测
5、已知二次函数f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值 是8,则该函数解析式为______________ 解法三:利用两根式 由已知 f ( x) ? 1 ? 0的两根为 x1 ? 2, x2 ? ?1 所以可设 f ( x) ? a( x ? 2)( x ? 1) (a ? 0)

即 f ( x) ? ax ? ax ? 2a ? 1
2

又函数有最大值为 8

4a(?2a ? 1) ? a 2 ? 8 解之得 a ? ?4 或a=0(舍去) 即 4a 2 ∴所求二次函数为 f ( x) ? ?4( x ? 2)( x ? 1) ? ?4 x ? 4 x ? 7

探究互动
(一)求二次函数解析式的问题
(二)二次函数的值域和最值问题

(一)求二次函数解析式的问题 例1:已知二次函数f(x)满足f(2-x)=f(x-1),f(x)的最大值 是9,且f(x)=0的两根的平方和为5,求f(x)的解析式 1 解:由f(2-x)=f(x-1)得f(x)的对称轴 x ? 2 又f(x)的最大值是9 12 故可设 f ( x) ? a( x ? ) ? 9 ,且a<0

1 9 x1 x 2 ? ? 设f(x)=0的两根x1、x2,则 x1 ? x2 ? 1 , 4 a ? f ( x) ? 0 两根的平方和为5 1 9 2 2 2 ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 1 ? 2( ? ) ? 5 4 a 2 解得a= - 4,所以 f ( x) ? ?4 x ? 4 x ? 8

2 1 2 即 f ( x) ? ax ? ax ? a ? 9 4

(一)求二次函数解析式的问题

规律总结: 待定系数法求解析式,关键合理选用解析 式的形式,注重转化化归思想的运用

(一)求二次函数解析式的问题 练习1:已知f(x)是二次函数,且不等式f(x)<0的解集 为(0,5),且f(x)在区间[-1,4]上的最大值为12, 求f(x)的解析式 解:∵f(x)是二次函数,且f(x)<0的解集是(0,5)

∴f(x)在区间[-1,4]上的最大值是f(-1)=6a 由已知6a=12,∴a=2 所以f(x)=2x(x-5)=2x2-10x

5 2 25 故可设f(x)=ax(x-5) (a>0),即 f ( x) ? a[( x ? ) ? ] 2 4

(二)二次函数的值域和最值问题

例2:函数f(x)=x2-4x-4在闭区间[t,t+1] t∈R上的 最小值为g(t),试写出g(t)的函数表达式
分析: f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8 当t>2时, f(x)在[t,t+1]上是增函数 ∴g(t)=f(t)=t2-4t-4

y

t



t+1 x


(二)二次函数的值域和最值问题

例2:函数f(x)=x2-4x-4在闭区间[t,t+1] t∈R上的 最小值为g(t),试写出g(t)的函数表达式
分析: f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8 当t≤2≤t+1,即1≤t≤2时 g(t)=f(2)= - 8

y

t



t+1


x

(二)二次函数的值域和最值问题

例2:函数f(x)=x2-4x-4在闭区间[t,t+1] t∈R上的 最小值为g(t),试写出g(t)的函数表达式 分析: f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8 当t+1<2,即t<1时, f(x)在[t,t+1]上是减函数 ∴g(t)=f(t+1)=t2-2t-7

y

t



t+1


x

(二)二次函数的值域和最值问题 例2:函数f(x)=x2-4x-4在闭区间[t,t+1] t∈R上的 最小值为g(t),试写出g(t)的函数表达式 解:f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8 当t>2时,f(x)在[t,t+1]上是增函数 ∴g(t)=f(t)=t2-4t-4 当t≤2≤t+1,即1≤t≤2时 g(t)=f(2)= - 8 当t+1<2,即t<1时,f(x)在[t,t+1]上是减函数

∴g(t)=f(t+1)=t2-2t-7

? t 2 ? 2t ? 7 (t ? 1) ? 从而 g (t ) ? ? ? 8 (1 ? t ? 2) 2 ? ?t ? 4t ? 4 (t ? 2)

(二)二次函数的值域和最值问题 变式思考:如何求函数f(x)=x2-4x-4在闭区间[t,t+1] t∈R上的最大值h(t)呢?

1 分析: 区间[t,t+1]的中点 t ? 2 1
当2?t? h(t)=f(t)=t2-4t-4

y

2



t





t+1


x

(二)二次函数的值域和最值问题 变式思考:如何求函数f(x)=x2-4x-4在闭区间[t,t+1] t∈R上的最大值h(t)呢?

1 分析: 区间[t,t+1]的中点 t ? 2 1 当 2?t? 时 2
h(t)=f(t+1)=t2-2t-7

y

t





t+1


3 ?2 ?t ? 4t ? 4 (t ? 2 ) 从而 h(t ) ? ? 3 2 ? t ? 2t ? 7 (t ? ) 2 ?

x

(二)二次函数的值域和最值问题 规律总结: 二次函数求最值(或值域),关键是抓住“三点一轴” 数形结合,三点指的是区间两个端点和区间中点,一轴 指的是对称轴

(二)二次函数的值域和最值问题 练习2:已知函数f(x)=x2+2ax+1,在区间[-1,2]上 的最大值为4,求a的值 解:f(x)的对称轴x= - a 1 1 当 ? a ? 即 a ? ? 时, 2 2
1 1 当 ? a ? 即 a ? ? 时, 2 2

f ( x) max ? f (?1) ? 2 ? 2a ? 4 ,可得 a ? ?1

1 f ( x) max ? f (2) ? 5 ? 4a ? 4 ,可得 a ? ? 4 1 所以 a ? ?1 或 a ? ? 4

课堂小结
1、待定系数法求解析式 ①三种形式 ②转化化归思想 2、最值(或值域)问题 ①抓住“三点一轴” ②数形结合与分类讨论思想

作业:《学案》课后练习


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