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2016年秋高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.2 对数函数及其性质 第2课时 对数函数性质的应用习题


第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.2 对数函数及其性质 第 2 课时 对 数函数性质的应用习题 新人教 A 版必修 1

一、选择题 1.下列函数在其定义域内为偶函数的是 导学号 22840774 ( A.y=2x C.y=log2x [答案] D 2.函数 y=|lg(x+1)|的图象是 导学号 22840775 ( ) B.y=2 D.y=x
x



)

2

[答案] A [解析] 函数 y=|lg(x+1)|的图象过点(0,0),且函数值非负,故选 A. 3.设 a=log54,b=(log53) ,c=log45,则 导学号 22840776 ( A.a<c<b C.a<b<c [答案] D [解析] a=log54<1,log53<log54<1, B.b<c<a D.b<a<c
2

)

b=(log53)2<log53,c=log45>1,故 b<a<c.
1 1 4.已知 f(x)=log3x,则 f( ),f( ),f(2)的大小是 导学号 22840777 ( 4 2 1 1 A.f( )>f( )>f(2) 4 2 1 1 B.f( )<f( )<f(2) 4 2 1 1 C.f( )>f(2)>f( ) 4 2 1 1 D.f(2)>f( )>f( ) 4 2 [答案] B [解析] 由函数 y=log3x 的图象知,图象呈上升趋势,即随 x 的增大,函数值 y 在增
1

)

1 1 大,故 f( )<f( )<f(2). 4 2 5.若 a=log3π ,b=log76,c=log20.8,则 导学号 22840778 ( A.a>b>c C.c>a>b [答案] A [解析] ∵a=log3π >log33=1, 0<b<log76<log77=1,c=log20.8<log21=0. 故 a>b>c. 1 1 0.3 6.设 a=log1 2,b=log1 ,c=( ) ,则 导学号 22840779 ( 3 2 3 2 A.a<c<b C.b<c<a [答案] A 1 1 [解析] ∵log1 2<log1 1=0,log1 >log1 =1, 3 2 3 3 2 2 1 0.3 1 0 0<( ) <( ) =1,∴a<c<b,故选 A. 2 2 二、填空题 7.求下列各式中 a 的取值范围: 导学号 22840780 (1)loga3<logaπ ,则 a∈________; (2)log5π <log5a,则 a∈________. [答案] (1)(1,+∞) (2)(π ,+∞) 8.函数 f(x)=lgx 的单调减区间为________. 导学号 22840781 [答案] (-∞,0) [解析] 设 f(x)=lgt,t=x ,由复合函数性质得 f(x)=lgx 减区间即为 t=x 的减区 间(-∞,0). 三、解答题 9.已知 f(x)=loga(1-x)+loga(x+3),(a>0 且 a≠1). 导学号 22840782 (1)求函数 f(x)的定义域,值域; (2)若函数 f(x)有最小值为-2,求 a 的值.
? ?1-x>0, [解析] (1)? ?x+3>0, ?
2 2 2 2

)

B.b>a>c D.b>c>a

)

B.a<b<c D.b<a<c

∴定义域为{x|-3<x<1}.

2

f(x)=loga(-x2-2x+3),
令 t=-x -2x+3=-(x+1) +4, ∵x∈(-3,1),∴t∈(0,4]. ∴f(t)=logat,t∈(0,4]. 当 0<a<1 时,ymin=f(4)=loga4, 值域为[loga4,+∞). 当 a>1 时,值域为(-∞,loga4]. (2)ymin=-2,由(1)得
? ?0<a<1, ? ?loga4=-2, ?
2 2

1 得 a= . 2
2

10.已知函数 f(x)=log2(2+x ). 导学号 22840783 (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)求函数 f(x)的值域. [解析] (1)因为 2+x >0 对任意 x∈R 都成立, 所以函数 f(x)=log2(2+x )的定义域是 R. 因为 f(-x)=log2[2+(-x) ]=log2(2+x )=f(x), 所以函数 f(x)是偶函数. (2)由 x∈R 得 2+x ≥2, ∴log2(2+x )≥log22=1, 即函数 y=log2(2+x )的值域为[1,+∞).
2 2 2 2 2 2 2

一、选择题 1 .已知函数 f(x) = loga(x + 2x - 3) ,若 f(2) > 0 ,则此函数的单调递增区间是 导学号 22840784 ( A.(-∞,-3) C.(-∞,-1) [答案] D [解析] ∵f(2)=loga5>0=loga1,∴a>1. 由 x +2x-3>0,得函数 f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞). 设 u=x +2x-3,则此函数在(1,+∞)上为增函数. 又∵y=logau(a>1)在(1,+∞)上也为增函数, ∴函数 f(x)的单调递增区间是(1,+∞),故选 D.
2 2 2

) B.(1,+∞)∪(-∞-3) D.(1,+∞)

3

2.函数 f(x)=lg( A.奇函数

1

x +1+x

2

)的奇偶性是 导学号 22840785 ( B.偶函数 D.非奇非偶函数

)

C.既是奇又是偶函数 [答案] A [解析]

f(x) 定 义 域 为 R , f( - x) + f(x) = lg(

1

x +1-x

2

) + lg(

1

x +1+x

2

)=

lg

1 2 2=lg1=0,∴f(x)为奇函数,故选 A. ?x +1?-x 3.设 a=log3π ,b=log2 3,c=log3 2,则 导学号 22840786 ( A.a>b>c C.b>a>c [答案] A 1 1 1 1 [解析] a=log3π >1,b=log2 3= log23∈( ,1),c=log3 2= log32∈(0, ), 2 2 2 2 B.a>c>b D.b>c>a )

所以 a>b>c,故选 A. 4.若函数 f(x)=log1 (x +ax+6)在(3,+∞)上单调递减,则实数 a 的取值范围是 2 导学号 22840787 ( A.[-5,+∞) C.(-∞,-6] [答案] A [解析] ∵f(x)在(3,+∞)单调递减, ) B.[-6,+∞) D.(-∞,-5]
2

a ? ?- ≤3, ∴? 2 ? ?32+3a+6≥0,
二、填空题

∴a≥-5.

1 x 5.(2015·吉林高一检测)已知函数 f(x)满足当 x≥4 时 f(x)=( ) ;当 x<4 时 f(x)= 2

f(x+1),则 f(2+log23)=________. 导学号 22840788
[答案] 1 24

1 log224 1 1 [解析] f(2+log23)=f(2+log23+1)=f(log224)=( ) = log224= . 2 2 24 6 . 已 知 函 数 y = logax 在 区 间 [2 , + ∞) 上 恒 有 y > 1 , 则 a 的 取 值 范 围 为
4

________. 导学号 22840789 [答案] 1<a<2 [解析] 若 0<a<1,则在[2,+∞)上不会恒有 logax>1,∴a>1,∴y=logax 为增 函数. 当 x∈[2,+∞)时,logax≥loga2. ∵y>1 恒成立,∴loga2>1,∴a<2,∴1<a<2. 三、解答题 7.设 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=log1 x. 导学号 22840790 2 (1)求当 x<0 时,f(x)的解析式; (2)解不等式 f(x)≤2. [解析] (1)当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=log1 (-x), 2 又 f(x)为奇函数,所以 f(x)=-f(-x)=-log1 (-x).故当 x<0 时,f(x)=-log1 2 2 (-x). (2)由题意及(1)知,原不等式等价于

x>0 ? ? ?log1 x≤2 ? ? 2

x<0 ? ? ,或?-log1 ?-x?≤2 ? 2 ?



1 解得 x≥ 或-4≤x<0. 4 8. 已知函数 f(x)=loga(3+2x), g(x)=loga(3-2x)(a>0, 且 a≠1). 导学号 22840791 (1)求函数 f(x)-g(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)-g(x)的奇偶性,并予以证明; (3)求使 f(x)-g(x)>0 的 x 的取值范围.
?3+2x>0, ? [解析] (1)使函数 f(x)-g(x)有意义,必须有? ?3-2x>0, ?

3 3 解得- <x< . 2 2

3 3 所以函数 f(x)-g(x)的定义域是{x}- <x< }. 2 2 (2)由(1)知函数 f(x)-g(x)的定义域关于原点对称.

f( - x) - g( - x) = loga(3 - 2x) - loga(3 + 2x) =- [loga(3 + 2x) - loga(3 - 2x)] =-
[f(x)-g(x)], ∴函数 f(x)-g(x)是奇函数.

5

(3)f(x)-g(x)>0,即 loga(3+2x)>loga(3-2x). 3+2x>3-2x, ? ? 当 a>1 时,有?3-2x>0, ? ?3+2x>0, 3 解得 x 的取值范围是(0, ). 2 3+2x<3-2x, ? ? 当 0<a<1 时,有?3-2x>0, ? ?3+2x>0, 3 解得 x 的取值范围是(- ,0). 2 3 综上所述,当 a>1 时,x 的取值范围是(0, ); 2 3 当 0<a<1 时,x 的取值范围是(- ,0). 2

6


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