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八年级奥林匹克竞赛讲义 第06讲:一元二次方程的解法


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第六讲:一元二次方程的解法

【知识梳理】 形如 ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的方程叫一元二次方程,配方法、公式法、因式分解法是解 一元二次方程的基本方法,而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。 求根公式 x ?

? b ? b 2 ? 4ac 内涵丰富:它包含了初中阶段已学过的全部代数运算;它 2a

回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题;它展示了数 学的简洁美。 【例题精讲】 【例 1】选用恰当的方法解方程(基础题) :

(1)x2 –2x=0

(2) x2 –9=0

(3)(1-3x)2=1;

(4) (t-2) (t+1)=0

(5)x2+8x=2

(6) x2 ? 7 x ? 6 ? 0

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(7) x 2 ? 4 x ? 21 ? 0

(8) x 2 ? 2 x ? 15 ? 0

(9) 4 x2 ? 12 x ? 9 ? 0

?a 2 ? 4a ? 21 ? 0 (10)

x2 ? 11x ? 18 ? 0 (11)

2x2 ? x ? 3 ? 0 (12)

(13) ( x x-6) =2

2 (14) (2x+1) =3 (2x+1)

2b2 ? 7b ? 15 ? 0 (15)

(16)3a 2 ? 4a ? 4 ? 0

(17)3b2 ? 14b ? 5

(18)2 3x2 ? x ? 3 ? 0

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(19) x 4 ? x 2 ? 20 ? 0

(20) (3x ? 5)2 ? 5(3x ? 5) ? 6 ? 0 ;

【例 2】用适当的方法解下列关于 x 的方程(提高题) : (1) ?3x ? 2??4 x ? 3? ? 5 ; (2)

1 2 x ? 2 x ? 3327 ? 0 ; 3

(3) ?5x ? 3? ? 12 ? 4?5x ? 3?;
2

(4) ?3x ? 1??x ? 1? ? ?4 x ? 1??x ? 1? ;

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(5) 2 ? 3 x 2 ? 2 3 ? 1 x ? 6 ? 0 。

?

?

?

?

【巩固】用适当的方法解下列关于 x 的方程: (1) ?x ? 2? ? 9?x ? 1? ? 0 ;
2 2

(2) x ? 6ax ? b ? 9a ;
2 2 2

(3) 2x 2 ? 2 2 ? 3 x ? 6 ? 0 。

?

?

(4) ?2 x ? 1??x ? 3? ? ?4 x ? 1??3 ? x ? 。

-4-

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【拓展】解方程: ?6x ? 7? ?3x ? 4??x ? 1? ? 6 ;
2

【例 3】解方程: x ? 3 x ? 4 ? 0 。
2

【巩固】解方程: (1) x ? x ? 1 ? 1 ? 0 ;
2

(2) x x ? x ? 2 ? 0 。

-5-

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【例 4】解关于 x 的方程: ?m ? 1?x 2 ? ?2m ? 1?x ? m ? 3 ? 0 。

【巩固】解关于 x 的方程: x 2 ? 4 px ? 4 p 2 ? 5x ? 10 p ? 6 ? 0 。

2 【例 5】已知方程 x ? kx ? 7 ? 0 与 x ? 6x ? ?k ? 1? ? 0 有公共根。
2

(1)求 k 的值; (2)求二方程的所有公共根和所有相异根。

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【巩固】是否存在某个实数 m ,使得方程 x ? m x ? 2 ? 0 和 x ? 2 x ? m ? 0 有且只有一个
2 2

公共的实根?如果存在,求出这个实数 m 及两方程的公共实根;如果不存在,请说明理由。

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