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宜春市2014-2015学年第一学期期末统考高二数学(理科)试卷


宜春市 2014-2015 学年第一学期期末统考高二数学(理科)试卷 一、选择题

x2 y2 ? ? 1 的离心率是( 1.双曲线 4 12
A. 2 B.



2 2

C.2

D.

1 2


2.命题“对

于任意实数 x,都有 x2+x+1≥0”的否定为( A.存在实数 x,使得 x +x+1<0 B.存在实数 x,使得 x +x+1 ? 0
2 2

C.对于任意实数 x,都有 x +x+1<0 D. 对于任意实数 x,都有 x +x+1 ? 0
2

2

3.若向量 a = ?m ? 2,0,?5?, b =(m-2,1,A.必要不充分条件 C.充分必要条件

3 ),则“m=1”是“ a ? b ”的( 5



B.充分不必要条件 D. 既不充分又不必要条件 )

4.若 a,b,c, ? R, 且 a>b>0,则下列不等式一定成立的是( A. a+c ? b+c B.ac>bc C.a+

1 1 >b+ b a

D.a+

1 1 >b+ a a


5.已知数列的通项公式是 a n = A. a n >a n?1 B. a n <a n?1

n ,那么 a n 与 a n?1 的大小关系是( 3n ? 1
D.与 n 的取值相关

C. a n =a n?1

6.在棱长为 6 的正方体 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中,点 C 到平面 A 1 BD 的距离为( A.2 3 B.2 6 C.3 2 D. 3 3



7.数列的通项公式为 a n =3n,b n =

1 则数列 ? bn ?的前 n 项和为( a1 ?a 2 ?... ? an
C.



A.

1 3(n ? 1)

B.

2 3(n ? 1)

n 3(n ? 1)

D.

2n 3(n ? 1)

8.李华同学骑电动车以 28km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶,在点 A 处望见电视塔 S 在电 动车的北偏东 45 方向上,15min 后到达点 B 处望见电视塔 S 在电动车的北偏东 75 方向上, 则电动车在点 B 时与电视塔 S 的距离是( A. )
? ?

7 6 km 3

B. 7 2 km

C.

7 2 7 6 km D. km 2 2

9.若关于 x 的不等式 是( )

x 的解集是集合 ?x ? 3 ? x ? 3, x ? R?的子集, 则实数 a 的取值范围 a ?1? x

A. -3 ? a ? 3

B. -1 ? a ? 3

C. -4 ? a<-1 或-1<a ? 3

D. -4 ? a ? 2 )

10.在 ?ABC 中,若 sinA:sinB:sinC=5:7:8,则 ?ABC 的最大角与最小角的和为( A. 90
?

B.135

?

C. 150

?

D.120

?

11. 已知 m>0,n>0, 若 m, a 1 ,a 2 ,a 3 ,2n 成等差数列, m, b 1 ,b 2 ,b 3 ,2n 成等比数列, 则 的最小值是( A. 2 +2
2

?a1 ? a3 ?2
2 b2

) B. 2 2 +4 C. 4 D.8

12.抛物线 y =4x 的焦点为 F,点 A,B 在抛物线上,且 AF ? BF,弦 AB 中点 M 在准线 l 上 的射影为 M’,则

MM ' AB
2

的最大值为(



A.

2 2

B.

C.

2 2 3

D.2 2

二、填空题 13.已知等差数列 ?an ? 中,a 6 +a 9 =17,a 2 =3,则 a 13 = 。

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 14.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z=3x+2y 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0 ?
15.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA ? 平面 ABCD, 底面 ABCD 是菱形,PA=AB=2, ? BAD=60 ,
?

。 P

则 PB 与 AC 所成角的余弦值为 16.给出下列命题:

。 A B

D C

①命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为: “若 x =1,则 x=1” ; ② ?ABC 中,“sinA<sinB”是 “ ?A ? ?B ”的充要条件; ③如果正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是 ?9,??? ; ④若 ?an ? 是等比数列,则 ?an ? an?1 ?仍为等比数列 其中所有真命题的序号是 三、解答题 17.已知命题 p:方程 x -ax+4=0 没有实数解;命题 q:方程
2

2

2



x2 y2 ? ? 1 表示双曲线;若 a ? 5 a ?1

“ ? p 且 q”是真命题,求实数 a 的取值范围。

18.在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 且满足 ⑴求角 A 的大小; ⑵若 a=4,求 ?ABC 面积的最大值

2c ? b cos B ? a cos A

19.⑴已知 x>0,y>0,且 3x+y=1,求

1 3 ? 的最小值; x y

⑵当 x ? R 时,不等式 x ? 2 ? x ?1 ? m2 ? m ? 5 恒成立,求实数 m 的取值范围。

20.如图,直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中,AB=BC=2AA 1 , ? ABC=90 ,D 是 BC 的中点
?

⑴求证:A 1 B//平面 ADC 1 ; ⑵求平面 C 1 AD 与平面 BAD 所成角的余弦值.

A1 B1 A D

C1

C

B 21.已知非零数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a n 是 S n 与 4 的等差中项,数列 ?bn ? 中,b 1 =1, 点 P(b n ,bn+1)在直线 x-y+2=0 上 ⑴求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项 a n 和 b n ; ⑵设 c n = a n b n ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn,若不等式 nT n ? a ? 2 +12n 对任意的 n ? N 恒
n ?

成立,求实数 a 的取值范围 22.已知定圆 M: ?x ? 1? ? y 2 ? 16 动圆 N 过点 F ?1,0? 且与圆 M 相切,记圆心 N 的轨迹为曲线
2

E ⑴求曲线 E 的方程 ⑵过点 F 作斜率为 k 的直线 l 与曲线 E 交于 A,B 两点,在 x 轴上是否存在点 P ?m,0 ? ,使得以 PA,PB 为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求实数 m 的取值范围,如果不存在,说明理 由

宜春市 2014-2015 学年第一学期期末统考 高二年级数学(理科)参考答案 一、选择题: CABC BADB DDCA

二、填空题: 三、解答题:

13. 14 ;

14. 24 ;

15.

6 ; 4

16.②③.

17.解: p : ?4 ? a ? 4 q :1 ? a ? 5 则 ?p : a ? ?4或a ? 4

???3 分 ???6 分 ???8 分 ∴?

∵“ ?p 且 q ”是真命题 ∴ a 的取值范围为 4 ? a ? 5 18.解: (1)因为

?a ? ?4或a ? 4 ? 1? a ? 5
???10 分

2c ? b cos B ? , a cos A 所以 (2c ? b) ? cos A ? a ? cos B 由正弦定理,得 (2sin C ? sin B) ? cos A ? sin A ? cos B . 整理得 2sin C ? cos A ? sin B ? cos A ? sin A ? cos B . 所以 2sin C ? cos A ? sin( A ? B) ? sin C .????????4 分 在△ ABC 中, sin C ? 0 . 1 ? 所以 cos A ? , ?A ? .?????????????6 分 2 3 2 b ? c2 ? a2 1 ? ,a ? 4. (2)由余弦定理 cos A ? 2bc 2 2 2 所以 b ? c ? 16 ? bc ? 2bc ? 16 所以 bc ? 16 ,当且仅当 b ? c 时取“=” ???????10 分 1 所以三角形的面积 S ? bc sin A ? 4 3 . 2 所以三角形面积的最大值为 4 3 .??????????12 分

19.解: (1)已知 x ? 0, y ? 0 ,且 3x ? y ? 1 , ∴

1 3 ?1 3? y 9x ? ? ? ? ? ? ? 3x ? y ? ? 6 ? ? ? 6 ? 6 ? 12 ,???4 分 x y ?x y? x y
1 1 y 9x ? 即 x ? , y ? 时等号成立, 6 2 x y 1 1 1 3 , y ? 时, ? 的最小值为 12 ???6 分 6 2 x y

当且仅当

∴当 x ?

(2)当 x ? R 时,不等式 x ? 2 ? x ?1 ? m2 ? m ? 5 恒成立

?

? x ? 2 ? x ? 1 ?min ? m2 ? m ? 5 ???7 分

解法一:∵ x ? 2 ? x ? 1 ? ? x ? 2 ? ? ? x ? 1? ? 1 ???9 分

∴ x ? 2 ? x ?1

?

?min ? 1

??10 分 ??11 分

∴ 1 ? m2 ? m ? 5 ,即 ? m ? 2?? m ? 3? ? 0 , ?2 ? m ? 3 ∴ m 的取值范围 ? ?2,3? ???12 分

? 3 ? 2 x?, x ? 1 ? 解法二:∵ x ? 2 ? x ? 1 ? ? ??1?????,1 ? x ? 2 ???9 分 ? 2 x ? 3?, x ? 2 ?
∴ x ? 2 ? x ?1

?

?min ? 1

??10 分 ??11 分

∴ 1 ? m2 ? m ? 5 ,即 ? m ? 2?? m ? 3? ? 0 , ?2 ? m ? 3 ∴ m 的取值范围 ? ?2,3? ???12 分

20.解: (1)连接 AC 1 ,交 AC1 于点 O ,连接 OD .??1 分 由 ABC ? A 1 的中点. 1B 1C1 是直三棱柱,得四边形 ACC1 A 1 为矩形, O 为 AC 又 D 为 BC 的中点, 所以 OD 为 A1BC 的中位线. 所以 A 1B / / OD .??4 分 因为 OD 平面 ADC1 ,

A
1

z B O
1

C
1

y A

C x D B

A1B ? 平面 ADC1 ,
所以 A1 B ∥平面 ADC1 .??5 分 (2) 由 ABC ? A 1B 1C1 是直三棱柱,且 ?ABC ? 90 ,得 BA, BC , BB 1 两两垂直. 以 BA, BC, BB1 所在直线分别为 x, y , z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

设 AB ? 2 ,则 B ? 0,0,0? , C ? 2,0,0? , A?0,2,0 ? , C1 ?2,0,1? , D ?1,0,0 ? , ??6 分 所以 AD ? ?1, ?2,0 ? , AC1 ? ? 2, ?2,1? . ????????7 分

设平面 C1 AD 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ? , 则有 ?

? n ? AD ? 0 ? ? ?n ? AC1 ? 0

,所以 ?

x ? 2y ? 0 ,取 y ? 1 ,得 n ? ? 2,1, ?2 ? . ??9 分 ?2 x ? 2 y ? z ? 0 ?

易知平面 CAD 的一个法向量为 m ? ? 0,0,1? . ??10 分 所以 cos n, m ?

2 ? ? .??11 分 3 n?m
2 .??12 分 3

n?m

所以平面 C1 AD 与平面 BAD 所成角的余弦值为 ?

(注:若结果为

2 ,则扣 1 分;若用几何法解,则相应地给步骤分。 ) 3

21.解: (1)∵ an 是 Sn 与 4 的等差中项 从而 Sn?1 ? 2an?1 ? 4 ? n ? 2? ∵ an ? 0 , ∴

? Sn ? 2an ? 4 ? an ? 2an ? 2an?1

an ? 2 ? n ? 2, n ? N ? ? , an?1

即 数列 ?an ? 是等比数列, 又由 a1 ? S1 ? 2an ? 4 ,解得 a1 ? 4 ∴ an ? 2n?1 ??????3 分

∵点 P ? bn , bn?1 ? 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上, ∴ bn ? bn?1 ? 2 ? 0 , ∴ bn?1 ? bn ? 2 ,

即数列 ?bn ? 是等差数列,又 b1 ? 1 , ∴ bn ? 2n ? 1 (2)由(1)知 cn ? an ? bn ? ? 2n ? 1? ? 2
n?1

??????5 分

?Tn ? c1 ? c2 ?

? cn ? 1? 22 ? 3? 23 ? 5 ? 24 ?

? ? 2n ?1? ? 2n?1

?2Tn ? 1? 23 ? 3 ? 24 ? 5 ? 25 ?
??Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 24 ?

? ? 2n ?1? ? 2n?2

? 2n ?1 ? ? ? 2n ? 1? ? 2 n ? 2
??????9 分 即n? ?? 2 n ? 3 ? ? 2
n?2 n ? 12 ? ? ? a ? 2 ? 12n

Tn ? ? 2n ? 3? ? 2n?2 ?12
从而 nTn ? a ? 2n ? 12n
2

亦即 a ? 8n ? 12n 恒成立
2

??????10 分
2

3? 9 ? 令 f ? n ? ? 8n ? 12n ? 8 ? n ? ? ? 4? 2 ?

n ? N ? ,? f ? n?nim ? f ?1? ? ?4
即 a 的取值范围是 ? ??, ?4?

? a ? ?4

??????12 分

22.解:(1)因为点 F (1, 0) 在圆 M : ( x ? 1) ? y ? 16 内,所以圆 N 内切于圆 M ,
2 2

因为 NM ? NF ? 4 ? FM , 所以点 N 的轨迹曲线 E 为椭圆,且 2a ? 4, c ? 1 ,所以 b ? 3 ,

x2 y 2 ? ? 1 .??5 分 4 3 (2)由题知 l : y ? k ? x ?1?? k ? 0?
所以曲线 E 的方程为

? y ? k ? x ? 1? ? 由 ? x2 y 2 消去 y ,得 ?3 ? 4k 2 ? x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 ?1 ? ? 3 ? 4 设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , AB 的中点 C ? x0 , y0 ? ,
8k 2 , 3 ? 4k 2 x ?y ?3k 4k 2 y ? k ? x0 ? 1? ? x0 ? 1 1 ? ?????7 分 2 , 0 3 ? 4k 2 2 3 ? 4k 假设存在点 P ? m,0? ,使得以 PA, PB 为邻边的平行四边形是菱形,
则 x1 ? x2 ? 则 PA ? PB , PC ? AB

∴ k PC

1 y0 ? ? ,即 ? k x0 ? m

?3k ?3k 1 3 ? 4k 2 ? ??10 分 ? ? 2 4k 4 k 2 ? m ? 3 ? 4k 2 ? k ?m 3 ? 4k 2

∴m ?

k2 1 ? 2 3 3 ? 4k ?4 k2

∴0 ? m ?

1 4 1 . 4
???????12 分

故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是 0 ? m ?


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