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广东省江门市普通高中2015届高三上学期调考数学试卷(理科)


广东省江门市普通高中 2015 届高三上学期调考数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知 R 为实数集,A={x|2x﹣3<3x},B={x|x≥2},则 A∪B=() A.{x|x≥2} B.{x|x>﹣3} C.{x|2≤x<3} D.R 2. (

5 分)i 是虚数单位,则 A.1 B. ﹣ i C. i =() D.﹣ i

3. (5 分)已知三个实数: A.a>b>c



、c=log3 ,它们之间的大小关系是() C.b>c>a D.b>a>c

B.a>c>b

4. (5 分)已知 是非零向量, A.充分非必要条件 C. 非充分非必要条件

,则“

”是“ B. 必要非充分条件 D.充要条件

”成立的()

5. (5 分)如图,某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半 圆,则该几何体的体积为()

A.4

B. 8

C.2π

D.4π

6. (5 分)在△ ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c,若∠A=75°,∠B=60°, c=10,则 b=() A.5 B. 5 C.10 D.10 7. (5 分)在同一直角坐标系中,直线 =1 与圆 x +y +2x﹣4y﹣4=0 的位置关系是()
2 2

A.直线经过圆心 C. 相切
3 2

B. 相交但不经过圆心 D.相离

8. (5 分)已知函数 f(x)=ax ﹣3x +1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取 值范围是() A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(﹣∞,﹣2) D.(﹣∞,﹣1)

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 25 分. (一)必做题 (9~13 题) 2 2 9. (5 分)双曲线 9x ﹣16y =144 的离心率等于. 10. (5 分)△ ABC 是等腰直角三角形,已知 A(1,1) ,B(1,3) ,AB⊥BC,点 C 在第 一象限,点(x,y)在△ ABC 内部,则点 C 的坐标为,z=2x﹣y 的最大值是. 11. (5 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 分别是 CD、CC1 的中点,则异 面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是.

12. (5 分)若 f(x)=

,则 f(x)的最小值是.

13. (5 分)已知数列{an}满足 a1=﹣ ,an=1﹣ 干项,根据前若干项的变化规律推测,a2015=.

(n>1) ,计算并观察数列{an}的前若

三.选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (5 分)计算定积分: .

15.已知定义在区间(﹣π,π)上的函数 f(x)=xsinx+cosx,则 f(x)的单调递增区间是.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx) ,x∈R.

(1)求 f(x)的最小正周期 T 和最大值 M; (2)若 ,求 cosα 的值.

17. (14 分)已知{an}是等差数列,a2=3,a3=5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对一切正整数 n,设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

18. (14 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA∥平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C﹣PB﹣D 的大小.

19. (12 分)一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比,如果此船速度是 10km/h, 那么每小时的燃料费是 80 元.已知船航行时其他费用为 500 元/时,在 100km 航程中,航 速多少时船行驶总费用最少?此时总费用多少元? 20. (14 分)在平面直角坐标系 xoy 中,点 A,B 的坐标分别是(0,﹣3) , (0,3)直线 AM,BM 相交于点 M,且它们的斜率之积是﹣ . (1)求点 M 的轨迹 L 的方程; (2)若直线 L 经过点 P(4,1) ,与轨迹 L 有且仅有一个公共点,求直线 L 的方程. 21. (14 分)已知函数 f(x)=x +ax ﹣1(a∈R 是常数) . (1)设 a=﹣3,x=x1、x=x2 是函数 y=f(x)的极值点,试证明曲线 y=f(x)关于点 对称; (2)是否存在常数 a,使得?x∈,|f(x)|≤33 恒成立?若存在,求常数 a 的值或取值范围; 若不存在,请说明理由. (注:曲线 y=f(x)关于点 M 对称是指,对于曲线 y=f(x)上任意一点 P,若点 P 关于 M 的对称点为 Q,则 Q 在曲线 y=f(x)上. )
3 2

广东省江门市普通高中 2015 届高三上学期调考数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知 R 为实数集,A={x|2x﹣3<3x},B={x|x≥2},则 A∪B=() A.{x|x≥2} B.{x|x>﹣3} C.{x|2≤x<3} D.R 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出不等式 2x﹣3<3x 的解集 A,再由并集的运算求出 A∪B. 解答: 解:由 2x﹣3<3x 得,x>﹣3,则 A={x|x>﹣3}, 又 B={x|x≥2},则 A∪B={x|x>﹣3}, 故选:B. 点评: 本题考查并集及其运算,属于基础题.

2. (5 分)i 是虚数单位,则 A.1 B. ﹣ i C. i

=() D.﹣ i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数代数形式的乘除运算法则求解. 解答: 解: = = ﹣ ﹣ .

故选:D. 点评: 本题考查复数的乘除运算,是基础题,解题时要注意运算法则的合 理运用.

3. (5 分)已知三个实数: A.a>b>c



、c=log3 ,它们之间的大小关系是() C.b>c>a D.b>a>c

B.a>c>b

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 根据指数函数和对数函数的图象和性质,以 0 和 1 作为中间量,可比较出 a,b,c 的大小. 解答: 解:∵ 0< c=log3 <log31=0, ∴a>b>c, 故选:A 点评: 本题考查的知识点是指数式与对数式的大小比较, 熟练掌握指数函数和对数函数的 图象和性质,是解答的关键. >3 =1、 =1、
0

4. (5 分)已知 是非零向量, A.充分非必要条件 C. 非充分非必要条件

,则“

”是“ B. 必要非充分条件 D.充要条件

”成立的()

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据“ ”成立,得到 ?( ﹣ )=0,结合 是非零向量, ,根据充要条件的判定方法可得结论. 解答: 解:∵ ∴ ?( ﹣ )=0, ∵ 是非零向量, ∴ , , , ,推出

故选:D. 点评: 题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系, 以及必要条件、 充分条件与充 要条件的判断,属于基础题. 5. (5 分)如图,某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半 圆,则该几何体的体积为()

A.4

B. 8

C.2π

D.4π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图,得该几何体是底面为半圆的圆锥,求出几何体的体积即可. 解答: 解:根据几何体的三视图,得该几何体是底面为半圆的圆锥, ∴该几何体的体积为 V 几何体= S 底面 h = × ×π× ×3

=2π. 故选:C. 点评: 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题, 解题时应根据三视图, 得出该几何体 是什么几何图形. 6. (5 分)在△ ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c,若∠A=75°,∠B=60°, c=10,则 b=() A.5 B. 5 C.10 D.10 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由 A 与 B 的度数求出 C 的度数,根据 sinB,sinC,以及 c 的值,利用正弦定理求 出 b 的值即可. 解答: 解:∵在△ ABC 中,∠A=75°,∠B=60°,c=10, ∴∠C=45°,

由正弦定理

=

得:b=

=

=5



故选:B. 点评: 此题考查了正弦定理, 以及特殊角的三角函数值, 熟练掌握正弦定理是解本题的关 键.

7. (5 分)在同一直角坐标系中,直线 A.直线经过圆心 C. 相切

=1 与圆 x +y +2x﹣4y﹣4=0 的位置关系是() B. 相交但不经过圆心 D.相离

2

2

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 求出圆心到直线的距离大于零且小于半径,可得直线和圆相交但不经过圆心. 2 2 2 2 解答: 解:圆 x +y +2x﹣4y﹣4=0,即 (x+1) +(y﹣2) =9,表示以(﹣1,2)为圆 心、半径等于 3 的圆.

由于圆心到直线

=1 的距离为

=2<3,

故直线和圆相交但不经过圆心, 故选:B. 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,属于基础题. 8. (5 分)已知函数 f(x)=ax ﹣3x +1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取 值范围是() A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(﹣∞,﹣2) D.(﹣∞,﹣1) 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 综合题;导数的 概念及应用. 分析: 分类讨论:当 a≥0 时,容易判断出不符合题意;当 a<0 时,由于而 f(0)=1>0, x→+∞时,f(x)→﹣∞,可知:存在 x0>0,使得 f(x0)=0,要使满足条件 f(x)存在唯 一的零点 x0,且 x0>0,则必须极小值 f( )>0,解出即可. 解答: 解:当 a=0 时,f(x)=﹣3x +1=0,解得 x=± 合题意,应舍去; 当 a>0 时,令 f′(x)=3ax ﹣6x=3ax(x﹣ )=0,解得 x=0 或 x= >0,列表如下: x (﹣∞,0) 0 (0, ) ( ,+∞)
2 2 3 2

,函数 f(x)有两个零点,不符

f′(x)+ 0 ﹣ 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ∵x→﹣∞,f(x)→﹣∞,而 f(0)=1>0, ∴存在 x<0,使得 f(x)=0,不符合条件:f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,应舍去. 当 a<0 时,f′(x)=3ax ﹣6x=3 ax(x﹣ )=0,解得 x=0 或 x= <0,列表如下: x (﹣∞, ) 0 ( ,0) 0 + 0 (0,+∞) ﹣
2

f′(x)﹣

f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 而 f(0)=1>0,x→+∞时,f(x)→﹣∞, ∴存在 x0>0,使得 f(x0)=0, ∵f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0, ∴极小值 f( )>0,化为 a >4, ∵a<0,∴a<﹣2. 综上可知:a 的取值范围是(﹣∞,﹣2) . 故选:C. 点评 : 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值 与最值、分类讨论的思想方法,考查 了推理能力和计算能力,属于难题. 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 25 分. (一)必做题 (9~13 题) 9. (5 分)双曲线 9x ﹣16y =144 的离心率等于 .
2 2 2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 双曲线方程化为标准方程,可得 a=5,b=3,c=4,从而可求双曲线的离心率. 解答: 解:双曲线 9x ﹣16y =144 可化为 所以 a=4,b=3,c=5, 所以离心率 e= = . 故答案为: . 点评: 本题考查双曲线的标准方程, 考查双曲线的几何性质, 确定双曲线的几何量是关键. 10. (5 分)△ ABC 是等腰直角三角形,已知 A(1,1) ,B(1,3) ,AB⊥BC,点 C 在第 一象限,点(x,y)在△ ABC 内部,则点 C 的坐标为(3,3) ,z=2x﹣y 的最大值是 3. 考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据等腰直角三角形的定义先求出 C 的坐标,利用线性规划的知识即可得到结论. 解答: 解:∵A(1,1) ,B(1,3) ,AB⊥BC,点 C 在第一象限, ∴|AB|=3﹣1=2, 设 C(x,y) ,则 x>0,y>0, ∵△ABC 是等腰直角三角形, ∴|BC|=|x﹣1|=2,解得 x=3 或 x=﹣1(舍) , 即 C(3,3) , 由 z=2x﹣y 得 y=2x﹣z,
2 2



平移直线 y=2x﹣z,由图象可知当直线 y=2x﹣z 经过点 C 时,直线 y=2x﹣z 的截距最小,此 时 z 最大, 此时 z=2x﹣y=2×3﹣3=3, 故答案为: (3,3) ,3

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键. 11. (5 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 分别是 CD、CC1 的中点,则异 面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是 90°.

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题. 分析: 以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量的方法求出 与 夹角求出

异面直线 A1M 与 DN 所成的角. 解答: 解:以 D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.设棱长为 2, 则 D(0,0,0) ,N(0,2,1) ,M(0,1,0) ,A1(2,0,2) , (﹣2,1,﹣2) ? =0,所以 ⊥ ,即 A1M⊥DN,异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是 90°, =(0,2,1) , =

故答案为:90°.

点评: 本题考查空间异面直线的夹角求解, 采用了向量的方法. 向量的方法能降低空间想 象难度,但要注意有关点,向量坐标的准确.否则容易由于计算失 误而出错.

12. (5 分)若 f(x)=

,则 f(x)的最小值是﹣1.

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据分段函数的表达式,分别求出对应的取值范围即可得到结论. 解答: 解:作出函数 f(x)的图象如图: 当 x≤0,f(x)=﹣x≥0, 2 2 当 x>0 时,f(x)=x ﹣2x=(x﹣1) ﹣1≥﹣1, 故当 x=1 时,函数 f(x)取得最小值为﹣1, 故答案为:﹣1

点评: 本题主要考查函数最值的求解, 根据分段函数的表达式结合函数的性质是解决本题 的关键. 13. (5 分)已知数列{an}满足 a1=﹣ ,an=1﹣ 干项,根据前若干项的变化规律推测,a2015=5. 考点: 归纳推理. 专题: 计算题;推理和证明. 分析: 确定数列{an}是以 3 为周期的周期数列,即可得出结论. (n>1) ,计算并观察数列{an}的前若

解答: 解:∵a1=﹣ ,an=1﹣ ∴a2=5,a3= ,a4=﹣ ,



∴数列{an}是以 3 为周期的周期数列, ∴a2015=a2=5, 故答案为:5. 点评: 本题考查归纳推理,确定数列{an}是以 3 为周期的周期数列是解题的关键. 三.选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (5 分)计算定积分: 2.

考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据 的导数为 得到原函数是 ,写出当自变量取两个不同的值时,对应

的函数值,让两个数字相减得到结果. 解答: 解: =4﹣2=2

故答案为:2 点评: 本题考查定积分,关键是求出原函数,属于一道基础题. 15.已知定义在区间(﹣π,π)上的函数 f(x)=xsinx+cosx,则 f(x)的单调递增区间是 , .

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 导数的综合应用;三角函数的图像与性质. 分析: 根据求导公式和题意求出 f′(x) ,结合定义域和余弦函数的性质求出 f′(x)>0 是 x 的范围,奇求出函数 f(x)的单调递增区间. 解答: 解:由题意得,f′(x)=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx, 根据余弦函数的性质得, 当 或 时, f′(x)>0, 和 . ,

所以 f(x)的单调递增区间是 故答案为: 和

点评: 本题考查余弦函数的性质,以及导数与函数的单调性关系,属于中档题. 三、解答题 :本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16. (12 分)已知函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx) ,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期 T 和最大值 M; (2)若 ,求 cosα 的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)化简可得 f(x)= 大值 ; ,即 , . ,从而可求 ,可求最小正周期 ,最

(2)依题意得

解答: 解: (1)∵f(x)=sin2x+1﹣cos2x…(2 分) , = ∴最小正周期 (2)依题意, 即 ∴ ∴ …(8 分) , …(10 分) …(12 分) …(4 分) …(5 分) ,最大值 …(6 分) …(7 分)

点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用, 三角函数的周期性及其求法, 属于基 本知识的考查. 17. (14 分)已知{an}是等差数列,a2=3,a3=5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对一切正整数 n,设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)根据等差数列的通项公式由条件即可求出首项 a1=1,公差 d=2,所以可得到 an=2n﹣1; ( 2)根据 an 先求出 bn 并将它变成 ,看到该通项

之后, 可以想到能否在求和中使得一些项前后抵消, 并且通过求前几项的和会发现是可以的, 并且是有规律的,根据这个规律即可求出{bn}的前 n 项和 Sn.

解答: 解: (1)由 ∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1; (2) ∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=

得,a1=1,d=2;

=



; 通过前几项的求和规律知: 若 n 为奇数,则 若 n 为偶数,则 . ;

点评: 考查等差数列的通项公式, 以及裂项的方法求数列前 n 项和, 以及通过前几项求和 的规律找到求数列前 n 项和的方法. 18. (14 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA∥平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C﹣PB﹣D 的大小.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: 方法一: (1)连结 AC,AC 交 BD 于 O,连结 EO,利用三角形中位线的性质,可得 PA∥EO,利用 线面平行的判定可得结论; (2)证明 DE⊥PC,BC⊥平面 PDC,DE⊥平面 PBC,可得 DE⊥PB,利用线面垂直的判 定定理,可得 PB⊥平面 EFD; (3)确定∠EFD 是二面角 C﹣PB﹣D 的平面角,利用正弦函数即可求解; 方法二:建立空间直角坐标系,D 为坐标原点,设 DC=a (1)连结 AC,AC 交 BD 于 G,连结 EG,证明 ,这表明 PA∥EG,可得结论;

(2)利用向量的数量积公式,证明 PB⊥DE,再利用线面垂直的判定定理,可得结论; (3)确定∠EFD 是二面角 C﹣PB﹣D 的平面角,利用向量的夹角公式,即可解决.

解答: 方法一: (1)证明:连结 AC,AC 交 BD 于 O,连结 EO ∵底面 ABCD 是正方形,∴点 O 是 AC 的中点 在△ PAC 中,EO 是中位线,∴PA∥EO 而 EO?平面 EDB 且 PA?平面 EDB, 所以,PA∥平面 EDB (2)证明: ∵PD⊥底面 ABCD 且 DC?底面 ABCD,∴PD⊥DC ∵PD=DC,可知△ PDC 是等腰直角三角形,而 DE 是斜边 PC 的中线, ∴DE⊥PC ① 同样由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC ∵底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC,∴BC⊥平面 PDC 而 DE?平面 PDC,∴BC⊥DE ② 由①和②推得 DE⊥平面 PBC 而 PB?平面 PBC,∴DE⊥PB 又 EF⊥PB 且 DE∩EF=E,所以 PB⊥平面 EFD (3)解:由(2)知,PB⊥DF,故∠EFD 是二面角 C﹣PB﹣D 的平面角 由(2)知,DE⊥EF,PD⊥DB 设正方形 ABCD 的边长为 a,则 ,

在 Rt△ PDB 中,

在 Rt△ EFD 中,

,∴

所以,二面角 C﹣PB﹣D 的大小为



方法二:如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点,设 DC=a (1)证明:连结 AC,AC 交 BD 于 G,连结 EG 依题意得 ∵底面 ABCD 是正方形,∴G 是此正方形的中心,故点 G 的坐标为 且



,这表明 PA∥EG

而 EG?平面 EDB 且 PA?平面 EDB,∴PA∥平面 EDB (2)证明;依题意得 B(a,a,0) ,

又 ∴PB⊥DE

,故

由已知 EF⊥PB,且 EF∩DE=E,所以 PB⊥平面 EFD (3)解:设点 F 的坐标为(x0,y0,z0) , 从而 x0=λa,y0=λa,z0=(1﹣λ)a 所以 ,则(x0,y0,z0﹣a)=λ(a,a,﹣a)

由条件 EF⊥PB 知,

,即

,解得

∴点 F 的坐标为

,且



∴ 即 PB⊥FD,故∠EFD 是二面角 C﹣PB﹣D 的平面角 ∵ ,且 ,





∴ 所以,二面角 C﹣PB﹣D 的大小为 .

点评: 本题考查线面平行、线面垂直、考查面面角,考查学生分析解决问题的能力,考查 学生的计算能力,属于中档题. 19. (12 分)一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比,如果此船速度是 10km/h, 那么每小时的燃料费是 80 元.已知船航行时其他费用为 500 元/时,在 100km 航程中,航 速多少时船行驶总费用最少?此时总费用多少元? 考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题;应用题;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: 设每小时燃料费与航速平方的比例系数为 k,由条件求得 k,设航速为 xkm/h 时, 总费用为 y 元,求得 y=80x+ ,可由基本不等式或函数的导数,即可得到最小值.
2

解答: 解:设每小时燃料费与航速平方的比例系数为 k,则 80=k×10 , 解得 ,

设航速为 xkm/h 时,总费用为 y 元, 则 (方法一)令 = . ,解得 x=25(负值舍去) ,

当 0<x<25 时,y′<0,x>25 时,y′>0, ∴x=25 是极小值点,也是最小值点, 此时 (元) .

(方法二)∵x>0,∴ 等号成立当且仅当

=4000(元) , ,解得 x=25(负值舍去) .

答:航速为 25km/h 时,总费用最少,此时总费用为 4000 元. 点评: 本题考查函数的最值的应用题,考查运用导数求最值,运用基本不等式求最值,考 查运算能力,属于中档题. 20. (14 分)在平面直角坐标系 xoy 中,点 A,B 的坐标分别是(0,﹣3) , (0,3)直线 AM,BM 相交于点 M,且它们的斜率之积是﹣ . (1)求点 M 的轨迹 L 的方程; (2)若直线 L 经过点 P(4,1) ,与轨迹 L 有且仅有一个公共点,求直线 L 的方程. 考点: 轨迹方程;直线的一般式方程. 专题: 计算题. 分析: (1)求 M 点的轨迹方程,所以设 M(x,y) ,根据直线 AM,BM 的斜率之积是 ﹣ ,即可求得关于 x,y 的等式,即点 M 的轨迹方程:x +2y =18; (2)若直线 L 不存在斜率,则容易判断它和轨迹 L 有两个交点,不合题意;存在斜率时设 斜率为 k, 然后根据直线 L 经过点 P 可写出直线 L 的方程, 将直线方程带入轨迹方程可得到 关于 x 的方程,让该方程有一个解求 k 即可得到直线 L 的方程. 解答: 解: (1)设 M(x,y) ,则: (x≠0) ; ∴点 M 的轨迹方程为:x +2y =18(x≠0) ; (2)若直线 L 不存在斜率,则方程为:x=4; x=4 带入轨迹方程可得 y=±1,即直线 L 和轨迹 L 有两个公共点,不合题意; ∴设直线 L 斜率为 k,则方程为:y=kx﹣4k+1,带入轨迹方程并整理得: (1+2k )x +4k(1﹣4k)x+16(2k ﹣k﹣1)=0; ∵直线 L 与轨迹 L 只有一个公共点,所以: 2 2 2 2 △ =16k (1﹣4k) ﹣64(1+2k ) (2k ﹣k﹣1)=0; 解得 k=﹣2; ∴直线 L 的方程为:y=﹣2x+9. 点评: 考查轨迹与轨迹方程的概念,以及求轨迹方程的方法,斜率公式,直线的点斜式方 程,一元二次方程有一个解时的判别式的取值如何. 21. (14 分)已知函数 f(x)=x +ax ﹣1(a∈R 是常数) . (1)设 a=﹣3,x=x1、x=x2 是函数 y=f(x)的极值点,试证明曲线 y=f(x)关于点 对称; (2)是否存在常数 a,使得?x∈,|f(x)|≤33 恒成立?若存在,求常数 a 的值或取值范围; 若不存在,请说明理由.
3 2 2 2 2 2 2 2 2

(注:曲线 y=f(x)关于点 M 对称是指,对于曲线 y=f(x)上任意一点 P,若点 P 关于 M 的对称点为 Q,则 Q 在曲线 y=f(x)上. ) 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)把 a=﹣3 代入函数解析式,求出函数的导函数,得到导函数的零点,求出 M 的坐标,求出曲线 y=f(x)上任意一点 由 Q 的坐标适合函数解析式说明结论成立; (2)把|f(x)|≤33 恒成立转化为 ,然后构造两个函数 关于 M 对称的点 Q,


3 2

,由导数求其最值得答案.
2

解答: (1)证明:当 a=﹣3 时,f(x)=x ﹣3x ﹣1,f′(x)=3x ﹣6x , 由 f′(x)=0,得 x1=0,x2=2, ∴ 曲线 y=f(x)上任意一点 , 则 ∴点 Q 在曲线 y=f(x)上, ∴曲线 y=f(x)关于点 M 对称; (2)解:由|f(x)|≤33,即|x +ax ﹣1|≤33, 3 2 得﹣33≤x +ax ﹣1≤33, x=0 时,不等式恒成立; x≠0 时,不等式等价于 ,
3 2

=M(1,﹣3) , 关于 M 对称的点为



作 则 解 解 列表: x , ,得 x1=4, ,得

, ,





﹣ g1(x) ↘ + g2(x) ↗

+ ↗ ﹣ ↘

0



极大值↘ ﹣ ﹣ ↘ 在的最大值为﹣6;

g1(﹣1)=﹣31,g1(4)=﹣6,

g2(﹣1)=35, 综上所述,a 的取值范围为



在的最小值为





点评: 本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率, 会利用导数研究函数的 单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值, 掌握不等式恒成立时所取的条件, 是压轴 题.


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