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1.1.3集合的基本运算


1.1.3 集合的基本运算
考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A,B 之间的关系吗? (1) A={1,3,5}, B={2,4,6} ,C={1,2,3,4,5,6} (2) A={x|x是有理数},B={x|x是无理数}, C={x|x是实数}.

1.并集
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所 组成的集合,称为集合A与B

的并集,记作A∪B,(读作 “A并B”).即 A∪B={x|x∈A,或x∈B}

例4 设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A∪B.
解: A∪B={4,5,6,8} ∪ {3,5,7,8}
={3,4,5,6,7,8}

例5 设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3} 求A∪B.
解: A∪B={x|-1<x<2} ∪ {x|1<x<3}

={x|-1<x<3}

2.交集
考察下列各个集合,你能说出集合A,B与集合C 之间的关系吗?

(1)A={2,4,6,8,10}, B={3,5,8,12} ,C={8};
(2) A={x|x是新华中学2004年9月在校的女同学},

B={x|x是新华中学2004年9月入学的高一级同学},
C={x|x是新华中学2004年9月入学的高一级女同 学}.

一般地,由属于集合A且属于集合B的所有 元素组成的集合,称为A与B的交集,记作 A∩B,(读作“A交B”),即 A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

例6 新华中学开运动会,设 A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}

B={x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学},
求A∩B. 解:A∩B={x|x是新华中学高一年级既参加百米赛 跑又参加跳高比赛的同学}.

例7 设平面内直线 l1上的点的集合为 L1 , 直线l2 上点 的集合为L2 , 试用集合的运算表示 l1 , l2的位置关系 .
解 : (1)直线l1 , l2 相交于一点P可表示为 L1 ? L2 ? {点P}; (2)直线l1 , l2 平行可表示为 L1 ? L2 ? ?; (3)直线l1 , l2 重合可表示为 L1 ? L2 ? L1 ? L2 .

3.并集与交集的性质
(1) A ? A ? A (2)A ? ? ? ? (3)A ? B ? B ? A (4)A ? B ? A, A ? B ? B (5)A ? B 则 A ? B ? A

(1) A ? A ? A (2) A ? ? ? A (3) A ? B ? B ? A (4) A ? A ? B, B ? A ? B, A ? B ? A ? B (5) A ? B则A ? B ? B

4.补集
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中 所涉的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常 记作U. 对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元 素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简 称为集合A的补集.

记作CU A ? {x | x ?U , 且x ? A}

补集可用Venn图表示为:

U CUA A

例8 设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3}

B={3,4,5,6},求CUA,CUB.
解:根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8}, 所以 CUA={4,5,6,7,8} CUB={1,2,7,8} .

例9 设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐 角三角形},B={x|x是钝角三角形} 求A∩B,CU(A∪B).

解 : 根据三角形的分类可知 A ? B ? ?, CU ? A ? B ? ? {x | x直角三角形}. A ? B ? {x | x是锐角三角形或钝角三 角形},

练习:1.判断正误

(1)若U={四边形},A={梯形}, 则CUA={平行四边形} (2)若U是全集,且A?B,则CUA?CUB (3)若U={1,2,3},A=U,则CUA=?

2. 设集合A={|2a-1|,2},B={2,3,a2+2a-3} 且CBA={5},求实数a的值。 3. 已知全集U={1,2,3,4,5}, 非空集A={x?U|x2-5x+q=0}, 求CUA及q的值。

5.反馈演练
1.已知A ? {x | x ? px ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? qx ? r ? 0}
2 2

且A ? B ? {?2,1,5}, A ? B ? {?2}, 求p, q, r的值.
(解得 : p ? ?1, q ? ?3, r ? ?10)

2.设A ? {?4,2a ? 1, a 2 }, B ? {a ? 5,1 ? a,9}, 已知A ? B ? {9}, 求a的值, 并求出A ? B.

?解得a ? ?3且A ? B ? {?8,?4,4,?7,9}?

解: ? A ? B ? {9},? 9 ? A 所以a 2 ? 9或2a ? 1 ? 9, 解得a ? ?3或a ? 5 当a ? 3时,A ? {9,5,?4}, B ? {?2,?2,9}, B中元素违 背了互异性,舍去 . 当a ? ?3时,A ? {9,?7,?4}, B ? {?8,4,9}, A ? B ? {9} 满足题意,故A ? B ? {?7,?4,?8,4,9}. 当a ? 5时,A ? {25,9,?4}, B ? {0,?4,9}, 此时A ? B ? {?4,9}, 与A ? B ? {9}矛盾,故舍去 . 综上所述,a ? 3且A ? B ? {?7,?4,?8,4,9}.

3.已知A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? ax ? a ? 1 ? 0}
2 2

若A ? B ? A, 求实数a的值.

4.设集合A ? {x | ?2 ? x ? ?1} ?{x | x ? 1}, B ? {x | a ? x ? b} 若A ? B ? {x | x ? ?2}, A ? B ? {x | 1 ? x ? 3}, 求a, b的值.
(解得a ? ?1, b ? 3)

解: ? A ? {1,2}, A ? B ? A, ?B ? A ? B ? ?或B ? {1}或B ? {2}或B ? {1,2}. 当B ? ?时,? ? 0, a不存在. ?? ? 0 当B ? {1}时, ?a ? 2 ? ?1 ? a ? a ? 1 ? 0 ?? ? 0 当B ? {2}时, ? a不存在 ? ?4 ? 2a ? a ? 1 ? 0 ?1 ? 2 ? a 当B ? {1 , 2}时, ?a ? 3 ? ?1? 2 ? a ? 1 综上所述,a ? 2或a ? 3.

本课小结
1.交集与并集的概念 2.全集与补集的概念 3.交集与并集的性质


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