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专题五指数函数与对数函数


专题五
一、知识梳理: 1.有理指数幂的运算性质 (1) a ? a ? a
m n m? n

指数函数与对数函数
m

(2)

n 1 am n ? a m ? n (3) ? a m ? ? a mn (3) ? ab ? ? a n b n (4) a 0 ? 1(a ? 0) (

5) a ? n ? n (6) a n ? n a m n a a

2.对数 (1)定义: 如果 a(a ? 0, a ? 1) 的 b 次幂等于 N, 就是 a ? N ,那么数 b 就叫做以 a 为底 N 的对数, 记作 log a N ? b ,
b

其中 a 叫做底数,N 叫做真数, log a N ? b 式子叫做对数式. (2) 对 数 的 性 质 (1) 负 数 和 零 没 有 对 数 . (2) 1 的 对 数 是 零 . 即 loga 1 ? 0 (3) 底 数 的 对 数 等 于 1 . 即

(a ? 0且a ? 1) log aa? 1
(3)对数的运算法则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N (2) log a

M ? log a M ? log a N N (3) loga M n ? n loga M (a ? 0且a ? 1, M ? 0, N ? 0)

(4)对数恒等式 a

log a N

? N (a ? 0且a ? 1, N ? 0)

(5)换底公式 logb N ?

log a N (a, b ? 0, a, b ? 1, N ? 0) 由此可推出: log a b 1 logb a
(2) log a m b ?
n

(1) log a b ?

n log a b m

3.指、对函数图象及其性质: ⑴指数函数图象性质: ⒈ y ? a 与y ? ( ) 的图象关于 y 轴对称;
x x

1 a

⒉图象恒过(0,1)点; ⒊a>1 时,指数函数在其定义域上为增函数,且底越大图象向上越靠近 y 轴; 0<a<1 时,指数函数在其定义域上为减函数,且底越小图象向上越靠近 y 轴; ⒋a>1 时,若 x>0,则 y>1;若 x<0,则 0<y<1。 0<a<1 时,若 x>0,则 0<y<1;若 x<0,则 y>1。 ⑵对数函数图象性质: ⒈ y ? loga x与y ? log 1 x 的图象关于 x 轴对称;
a

⒉图象恒过(1,0)点; ⒊a>1 时,对数函数在其定义域上为增函数,且底越大图象向右越靠近 x 轴; 0<a<1 时,对数函数在其定义域上为减函数,且底越小图象向右越靠近 x 轴; ⒋a>1 时,若 x>1,则 y>0;若 0<x<1,则 y<0。 0<a<1 时,若 x>1,则 y<0;若 0<x<1,则 y>0。 二、考点分析: (考点一)指数幂和对数的与化简与求值

1、 化简

? a ?1 b ?1 a b ? ÷ 1 ? b a ? a 2 ?3 b ?

2 3

? ? ? ?

?

2 3

3 6 2、计算(1)2 3× 1.5× 12

(2) 6

1 3 3 3 - 3 - 0.125 4 8

专题五---指数函数与对数函数

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1 32 4 3、 lg - lg 2 49 3

8+lg

245;

2 log 2 10 27 4、log3 ·log5[ 4 2 -(3 3)3-7log72]. 3

4

1

(考点二)指数函数与对数函数的图像 1?x 1.在同一坐标系中,函数 y=2x 与 y=? ?2? 的图象之间的关系是( )

A.关于 y 轴对称 B.关于 x 轴对称量 C.关于原点对称 D.关于直线 y=x 对称 - 2.已知 f(x)=3x b(2≤x≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则 f(x)的值域为( ) A.[9,81] B.[3,9] C.[1,9] D.[1,+∞) 1?x 3.函数 y=? ?2? +1 的图象关于直线 y=x 对称的图象大致是(

)

(考点三)指数函数与对数函数的性质 1.函数 y=log3(x2-2x)的单调减区间是________.

2.若函数

y ? log1 (3x ? a) 的定义域是 ( 2 ,?? ) ,则 a= 2 3

.

3.当 x 越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是( A.y=100x B.y=log100x

) D.y=100x

C.y=x100

4.方程 2x=2-x 的解的个数为____________. 5.求方程 logax=x-2(0<a<1)的实数解的个数. (考点四)指数函数与对数函数的综合应用 1.设集合 M ? {x | 2 x?1 ? 1, x ? R} , A. ( ,1)

N ? {x | log1 x ? 1, x ? R} ,则 M ? N ? (
2

).

1 2

B. (0,1)

C.

1 ( ,?? ) D. (??,1) 2

2.设 a=log2π ,b=log1π ,c=π
2

-2

,则(

) C.a>c>b D.c>b>a

A.a>b>c

B.b>a>c

专题五---指数函数与对数函数

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3.求下列函数的定义域和值域. (1) y ? ( )

1 2

2 x? x2

(2)y=

1 - 32x 1- . 9

ln(x+3) 4.函数 f(x)= 的定义域是( ) 1-2x A.(-3,0) B.(-3,0] C.(-∞,-3)∪(0,+∞) 5.若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的反函数,且 f(2)=1,则 f(x)=( 1 - A.log2x B. x C.log1x D.2x 2 2 2 三、巩固练习: (一)选择题: 1、化简 [3 (-5)2 ] 4 的结果为( A、5 2、函数 f ( x) ? 2
x
3

D.(-∞,-3)∪(-3,0) )

) C、- 5 ) D、-5 D、 x x ? 1

B、 5

? 1,使 f ( x ) ? 0 成立的 x 的值的集合是( A、 ?x x ? 0? B、 ?x x ? 1? C、 ?x x ? 0?

?

?

3、设 y1

1 ? 4 0.9 , y 2 ? 8 0.44 , y 3 ? ( ) ?1.5 ,则( 2
A、y3>y1>y2 B、y2>y1>y3 )

) C、y1>y2>y3 D、y1>y3>y2

25 5 32 ? 2 lg ? lg 等于( 4、 lg 16 9 81

A、lg2 B、lg3 C、lg4 5、若 3a=2,则 log38-2log36 用 a 的代数式可表示为( ) A、a-2
2

D、lg5 D、3a-a
2

B、3a-(1+a)

2

C、5a-2 ) C、充要条件

6、“等式 log3x =2 成立”是“等式 log3x=1 成立”的( A、充分不必要条件
x

B、必要不充分条件 )

D、既不充分也不必要条件

7、若 f(10 )=x,则 f(3)的值是( A、log310 B、lg3

C、103

D、310 )

8、若 lg a ? lg b ? 0(其中a ? 1, b ? 1), 则函数f ( x) ? a x与g ( x) ? b x的图象 ( A、关于直线 y=x 对称 B、关于 x 轴对称 C、关于 y 轴对称

D、关于原点对称 )

9 、 下 列 函 数 图 象 中 , 函 数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) , 与 函 数 y ? (1 ? a ) x 的 图 象 只 能 是 (
y 1 O x 1 O x y y 1 O x y 1 O x

A

B

C

D

10、下列说法中,正确的是(



①任取 x∈R 都有 3x>2x;②当 a>1 时,任取 x∈R 都有 ax>a-x;③y=( 3 )-x 是增函数; ④y=2|x|的最小值为 1;⑤在同一坐标系中,y=2x 与 y ? log 2 x 的图象关于直线 y=x 对称。 A、①②④ B、④⑤ C、②③④
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D、①⑤

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(二)填空题: 11、已知 2 log 6 x ? 1 ? log 6 3 ,则 x 的值是 12、计算: ( ) ?1 ? 4 ? (?2) ?3 ? ( )0 ? 9 。

1 2

1 4

?

1 2





13、函数 y=lg(ax+1)的定义域为(- ? ,1),则 a=



14、当 x∈[-2,2 ) 时,y=3-x-1 的值域是 _



(三)解答题: x 15、已知函数 f(x)=a +b 的图象过点(1,3)和(0,2)点,试确定 f(x)的解析式.

16、设 A={x∈R|2≤ x ≤ ? },定义在集合 A 上的函数 y=logax (a>0,a≠1)的最大值比最小值大 1,求 a 的值

2 17、已知 f ( x) ? x ? (2 ? lg a) x ? lg b , f (?1) ? ?2 且 f ( x) ? 2 x 恒成立,求 a , b 的值.

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专题五
一、选择题: BCDAA 二、填空题:11. 三、解答题: 15. f(x)=2x+1 BBCCB 12

指数函数与对数函数参考答案
8? . 14. ? ? , ? 8 ? ? 9 ?

2

19 . 6

13. -1

16.解: a>1 时,y=logax 是增函数,logaπ-loga2=1,即 loga ? =1,得 a= ? .

2 2 2 2 0<a<1 时,y=logax 是减函数,loga2-logaπ=1,即 loga =1,得 a= .

? 2 综上知 a 的值为 或 . 2 ?
17.解: 由 f(-1)=-2 得: 即 lgb=lga-1 ①

?

?

2 +4≤0,(lga-2) ≤0 ∴lga=2,∴a=100,b=10

b 1 2 ? lg2a-4lga 由 f(x)≥2x 恒成立, 即 x +(lga)x+lgb≥0, 把①代入得, a 10

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