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高中数学 .. 等差数列的前n项和教案 新人教B版必修-课件


2.2.2

等差数列的前 n 项和
整体设计

教学分析 本节等差数列求和共分 2 课时,第 1 课时是在学习了等差数列的概念和性质的基础上, 使学生掌握等差数列求和公式, 并能利用它解决数列求和的有关问题. 等差数列求和公式的 推导,是由计算工厂堆放的钢管数这一实例引入的,采用了倒序相加法,思路的获得得益于 等差数列任意的第

k 项与倒数第 k 项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现, 通 过对等差数列求和公式的推导,使学生能掌握“倒序相加”这一重要数学方法. 第 2 课时的主要内容是让学生进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式, 进 一步了解等差数列的一些性质, 并会用它们解决一些相关问题. 通过本节课的教学使学生对 等差数列的前 n 项和公式的认识更为深刻, 并进一步感受数列与函数、 数列与不等式等方面 的联系, 促进学生对本节内容认知结构的形成. 通过探究一些特殊数列求和问题的思路和方 法,体会数学思想方法的运用. 在本节教学中,应让学生融入问题情境中,经历知识的形成和发展,通过观察、活动、 探索、交流、反思,来认识和理解等差数列的求和内容.在学法上,引导学生去联想、探索, 同时鼓励学生大胆猜想,学会探究.在教法上,遵循学生的认知规律,充分调动学生的积极 性,让学生经历知识的形成和发展过程,激发他们的学习兴趣,发挥他们的主观能动性及其 在教学过程中的主体地位.通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察、分析问题的能 力和积极思维、追求新颖的创新意识. 三维目标 1.通过经历等差数列求和公式的发现、探究过程,掌握等差数列前 n 项和公式的推导 及应用,会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究 Sn 的最值. 2.学会常用的数学方法和体现出的数学思想,促进学生的思维水平的发展.通过例题 及其变式例题的训练,进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式. 3.通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学来源于生活,又服务于 生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并用数学知识解决问题. 重点难点 教学重点: 掌握等差数列的前 n 项和公式; 会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单 的问题,能用多种方法解决数列求和问题.

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教学难点:对等差数列求和公式的深刻理解及其灵活应用. 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时 导入新课 思路 1.(情境导入)我们在日常生活中常常遇到这样的事情: (可利用多媒体课件或幻灯 片)有一堆钢管放置如图 1,请你帮助管理人员算一算一共有钢管多少根?求图 2 共有多少 朵花?当然一根根地数钢管或一朵朵地数小花能算出来, 但有没有更好的方法呢?若让你求 出第 100 层的钢管数或让你求出第 100 个圆圈上的小花数, 那么你怎样求呢?这实际上就是 等差数列的求和问题,由此展开新课.

图1

图2

思路 2.(事例导入)关于“加薪的学问”有一报道如下:在美国广为流传的一道数学题 目是:老板给你两个加工资的方案,一是每年年末加 1 000 元;二是每半年结束时加 300 元.请选一种,一般不擅长数学的,很容易选择前者.因为一年加 1 000 元总比两个半年共 加 600 元要多.其实,由于加工资是累计的,时间稍长,往往第二种方案更有利.例如,在 第二年的年末,依第一种方案可以加得 1 000+2 000=3 000(元);而第二种方案在第一年 加得(300+600)元,第二年加得 900+1200=2 100(元),总数也是 3 000 元.但到第三年, 第一种方案可得 1 000+2 000+3 000=6 000(元),第二种方案则为 300+600+900+1 200

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+1 500+1 800=6 300(元),比第一种方案多了 300 元.第四年、第五年会更多.因此, 你若在该公司干三年以上,则应选择第二种方案. 以上材料的正确解答恰是我们要研究的数列求和问题,由此导入新课. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)教师出示幻灯投影 1.

印度泰姬陵(Taj Mahal)是世界七大建筑奇迹之一,所在地是阿格拉市.泰姬陵是印度 古代建筑史上的经典之作,这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格,是印度 伊斯兰教文化的象征. 陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案,以相 同大小的圆宝石镶饰而成,共有 100 层(如下图),奢华之程度,可见一斑.你知道这个图案 中一共有多少颗宝石吗?(该问题赋予了课堂人文历史的气息,缩短了数学与现实之间的距 离,引领学生步入探讨高斯算法的阶段)

(2)教师出示幻灯投影 2.

高斯是伟大的数学家、 天文学家. 高斯十岁时, 有一次老师出了一道题目, 老师说: “现
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在给大家出道题目:1+2+?100=?” 过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10;?算得不亦乐乎时,高斯站 起来回答说: “1+2+3+?+100=5 050.” 你知道高斯是如何算出答案的吗? (3)根据问题(1)(2)你能探究出等差数列的求和公式吗? (4)等差数列的前 n 项和公式有什么结构特征? (5)怎样运用这两个公式解决数列求和问题? 活动:教师引导学生探究以上两个著名的历史问题,一方面展示了历史文化奇迹,如问 题(1),另一方面切身感受一下历史名人的成长足迹,激发学生的探究兴趣.高斯是 18 世纪 德国著名的数学家,被称为历史上最伟大的三位数学家之一,他与阿基米德、牛顿齐名,是 数学史上一颗光芒四射的巨星.10 岁的小高斯能迅速写出 1+2+3+?+99+100=(1+100) +(2+99)+(3+98)+?+(50+51)=101×50=5 050,将加法问题转化为乘法运算,迅速 准确地得到了结果,的确思维非凡.可见作为数学王子的高斯从小就善于观察,敢于思考, 因此能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西. 今天我们重温这段历史, 是想 让学生从中感悟学习的真谛,站在巨人的肩膀上去学习,实际上,高斯用的是首尾配对相加 的方法.也就是:1+100=2+99=3+98=?=50+51=101,有 50 个 101,所以 1+2+3 +?+100=50×101=5 050.高斯算法的高明之处在于他发现这 100 个数可以分为 50 组, 第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一 组,?,每组数的和均相等,都等于 101,50 个 101 就等于 5 050 了. 高斯的这种算法,就是等差数列求和的方法,也就是我们将要探究的等差数列的前 n 项和问题. 现在, 我们再来探究前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案, 在图中我们取下第 1 层到第 21 层,得到下图,则下图中第 1 层到第 21 层一共有多少颗宝石呢?这是求“1+2 +3+?+21”奇数个项的和的问题,高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求和就好首尾 配成对了.

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高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和,适用于偶数个项,我们 是否有简单的方法来解决这个问题呢? 我们发现用几何的方法,将这个全等三角形倒置,与原图补成平行四边形.平行四边形 ?1+21?×21 中的每行宝石的个数均为 22 个,共 21 行.则三角形中的宝石个数就是 . 2 这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和,很有创意,用数学式子表示就是: 1+2+3+?+21, 21+20+19+?+1, 这就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”. 探究了以上两个实际问题的求和, 学生对数学求和问题有了一定的认识, 比较以上两种 探究过程学生自然会思考能否把“倒序相加法”推广到任意一个等差数列呢?这种类比的 联想就是思维智慧的闪现.为了降低难度,教师可先与学生一起探究 1+2+3+?+n 的问 题,得到如下算式: 1 n (n+1) + + + 2 n-1 (n+1) + + + 3 n-2 (n+1) + + + ? ? ? + + + n-1 2 (n+1) + + + n 1 (n+1)

?n+1?×n 可知 1+2+3+?+n= . 2 再进一步探究, 等差数列{an}的前 n 项和的问题, 让学生明白 Sn 就表示{an}的前 n 项和, 即 Sn=a1+a2+a3+?+an,根据倒序相加法可得如下算式: Sn Sn 2Sn a1). 根据上节课等差数列的性质有 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?=an+a1. 所以,2Sn=n(a1+an).由此可得等差数列{an}的前 n 项和公式: n?a1+an? Sn= 2 这就是说,等差数列的前 n 项和等于首末两项的和与项数乘积的一半. 将等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 代入上式,可得等差数列{an}前 n 项和的另一 公式:
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= = =

a1 an (a1+an)

+ + +

a2 an-1

+ +

a3 an-2

+ +

? ? ?

+ + +

an, a1, (an+

(a2+an-1) +

(a3+an-2) +

n?n-1? Sn=na1+ d 2 以上两种推导过程都很精彩, 一是用的“倒序相加法”, 二是用的基本量来转化为用我 们前面求得的结论, 并且我们得到了等差数列前 n 项求和的两种不同的公式. 这两种求和公 式都很重要,都称为等差数列的前 n 项和公式. 从以上探究我们可以看出这两个公式是可以转化的, 从结构特征看, 前一个公式反映了 等差数列任意的第 k 项与倒数第 k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质; 后一个公式反 映了等差数列的前 n 项和与它的首项、公差之间的关系,而且是关于 n 的“二次函数”,可 以与二次函数进行比较. 两个公式从不同角度反映了数列的性质. 两个公式的共同点是需要 知道 a1 和 n,不同点是前者还需知 an,后者还需要知道 d. 从方程角度看两公式共涉及 5 个元素:a1,d,n,an,Sn,教师要点拨学生注意这 5 个 元素,其中 a1,d 称为基本元素.因为等差数列的首项 a1,公差 d 已知,则此数列完全确定, 因此等差数列中不少问题都可转化为求基本元素 a1 和 d 的问题,这往往要根据已知条件列 出关于 a1,d 的方程组,再解这个方程组求出 a1,d. 讨论结果:(1)~(3)略. (4)前一个公式的结构特征是可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2 相类比,上底就 是等差数列的首项 a1,下底是第 n 项 an,高是项数 n;后一个公式是二次函数的形式. (5)运用这两个公式解题时要让学生明确解方程或方程组的思路. 应用示例 例 1 计算: (1)1+2+3+?+n; (2)1+3+5+?+(2n-1); (3)2+4+6+?+2n; (4)1-2+3-4+5-6+?+(2n-1)-2n. 活动:对于刚学完公式的学生来讲,直接解答课本上的例 1 跨度太大.因此先补充了这 样一个直接运用公式的题目.目的是让学生迅速熟悉公式,用基本量观点认识公式,教学时 可让学生自己去解答完成,只是对(4)需做必要的点拨:本小题数列共有几项?是否为等差 数列?能否直接运用 Sn 公式求解?若不能,应如何解答?引导学生观察,本小题中的数列 共有 2n 项,不是等差数列,但把正项和负项分开,可看成两个等差数列,所以原式=[1+3 +5+?+(2n-1)]-(2+4+6+?+2n)=n -n(n+1)=-n.有的学生可能观察得很快,
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本小题虽然不是等差数列,但有一个规律,两项结合都为-1,故可得另一解法:原式=(- 1)+(-1)+(-1)+?+(-1)=-n. n?n+1? 解:(1)1+2+3+?+n= ; 2 (2)1+3+5+?+(2n-1)= n?1+2n-1? 2 =n ; 2

n?2n+2? (3)2+4+6+?+2n= =n(n+1); 2 (4)原式=-n. 点评:本例前 3 小题直接利用等差数列求和公式,对于(4)小题给我们以启示:在解题 时我们应仔细观察,寻找规律,往往会寻找到好的方法.注意在运用求和公式时,要看清等 差数列的项数,否则会引起错解.

变式训练 已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10 项的和 S10 等于( A.138 答案:C 解析:由 a2+a4=4,a3+a5=10,可解得 d=3,a1=-4,∴a10=a1+9d=23, a1+a10 ∴S10= ×10=95. 2 B.135 C.95 D.23 )

例 2(教材本节例 2) 活动: 通过本例介绍由求和公式求通项公式的方法, 分析求和公式与二次函数的联系. 并 结合边注引导学生探究数列中项的性质问题.教学中应引起高度重视,可让学生自己探究, 教师给予适当点拨. 点评:求使 Sn 最小的序号 n 值的方法很多,可鼓励学生课后进一步探究. 例 3 已知一个等差数列的前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1 220,由此可以确定求 其前 n 项和的公式吗? 活动: 教师与学生一起探究, 本例的已知条件是在等差数列{an}中, S10=310, S20=1 220. 由前面我们所学知道,将已知条件代入等差数列前 n 项和的公式后,可得两个关于 a1 与 d 的关系式,它们都是关于 a1 与 d 的二元一次方程,解这个二元一次方程组可求得 a1 与 d,a1 与 d 确定了,那么就可求出这个等差数列的前 n 项和公式.

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解:方法一:由题意可知 S10=310,S20=1 220,
?10a1+45d=310, ? n?n-1? 将它们代入公式 Sn=na1+ d,得到? 2 ?20a1+190d=1 220. ?

解这个关于 a1 与 d 的方程组,得到 a1=4,d=6, n?n-1? 2 所以 Sn=4n+ ×6=3n +n. 2 a1+a10 方法二:由 S10= ×10=310,得 a1+a10=62,① 2 a1+a20 S20= ×20=1 220. 2 所以 a1+a20=122.② ②-①,得 10d=60,所以 d=6. n?n-1? 2 代入①,得 a1=4,所以有 Sn=a1n+ d=3n +n. 2 点评: 本例的给出方式是设问“由这些条件能确定这个等差数列的前 n 项和吗”, 而不 是“求这个数列的前 n 项和”.这就更深了一层,让学生领悟到 a1 与 d 一旦确定,那么这 个等差数列就确定了,同时通过本例也让学生领悟等差数列中 a1 与 d 是所给 5 个量中的基 本量.5 个量中已知 3 个量则可求其他量,只需通过构造方程或方程组,运用方程思想即可 解决问题.教学时教师要充分利用本题的训练价值,使学生熟练地掌握这一基本题型.解完 后教师要再引领学生反思总结.

变式训练 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S4=14,S10-S7=30,求 S9. 解:由 S4=14,S10-S7=30,
?4a1+6d=14, ? ∴? ??10a1+45d?-?7a1+21d?=30, ? ? ?2a1+3d=7, 即? ?a1+8d=10. ?

解得 a1=2,d=1,

∴S9=9a1+36d=54.

1 2 例 4 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n + n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差 2
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数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 活动:这是一道合作探究题.教学时给出一定的时间让学生对本题进行思考探究. 本题给出了一个数列的前 n 项和的式子, 来判断它是否是等差数列. 解题的出发点是从 所给的和的公式去求出通项.那么通项与前 n 项和的公式有何种关系呢?由 Sn 的定义可知, 当 n=1 时,S1=a1;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,
? ?S1,n=1, 即 an=? ?Sn-Sn-1,n≥2. ?

这种由已知数列的 Sn 来确定数列通项的方法对任意数列都是

1 可行的.本题即用这种方法求出的通项 an=2n- ,我们从中知道它是等差数列,这时当 n 2 =1 也是满足的,但是不是所有已知 Sn 求 an 的问题都能使 n=1 时,an=Sn-Sn-1 满足呢?请 同学们来探究一下. 解:根据 Sn=a1+a2+?+an-1+an 与 Sn-1=a1+a2+?+an-1(n>1),可知当 n>1 时, 1 1 1 2 2 an=Sn-Sn-1=n + n-[(n-1) + (n-1)]=2n- ,① 2 2 2 1 3 2 当 n=1 时,a1=S1=1 + ×1= . 2 2 也满足①式, 1 所以数列{an}的通项公式为 an=2n- . 2 3 由此可知,数列{an}是一个首项为 ,公差为 2 的等差数列. 2 点评:如果一个数列的前 n 项和公式是常数项为 0,且是关于 n 的二次型函数,则这个 数列一定是等差数列,从而使我们能从数列的前 n 项和公式的结构特征上来认识等差数 列.实质上等差数列的两个求和公式中皆无常数项. 通过本例, 教师应提醒学生注意: 这实际上给出了已知数列前 n 项和求其通项公式的一
?a1,n=1, ? 个方法,即已知数列{an}的前 n 项和 Sn,则 an=? ?Sn-Sn-1,n≥2. ?

这种已知数列 Sn 来确定

an 的方法对于任何数列都是可行的,但要强调 a1 不一定满足由 Sn-Sn-1=an 求出的通项表达 式.因此最后要验证首项 a1 是否满足已求出的 an.这点要引起学生足够的注意.

变式训练 3 2 205 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=- n + n,求数列{an}的通项公式. 2 2

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3 205 2 解:由条件,知当 n=1 时,a1=S1=- ×1 + ×1=101. 2 2 3 2 205 3 205 2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(- n + n)-[- (n-1) + (n-1)]=-3n+104. 2 2 2 2 把 n=1 代入上式也适合. ∴数列通项公式为 an=-3n+104(n∈N ).
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知能训练 1.等差数列{an}中,(1)已知 a1=5,an=95,n=10,求 Sn; (2)已知 a1=100,d=-2,n=50,求 Sn. 2.已知{an}是一个等差数列,且 a2=1,a5=-5. (1)求{an}的通项 an; (2)求{an}前 n 项和 Sn 的最大值. 答案: 1.解:由等差数列求和公式,直接求得:(1)Sn=500;(2)Sn=2 550.
?a1+d=1, ? 2.解:(1)设{an}的公差为 d,由已知条件,? ? ?a1+4d=-5,

解出 a1=3,d=-2,

所以 an=a1+(n-1)d=-2n+5. n?n-1? 2 2 (2)Sn=na1+ d=-n +4n=4-(n-2) , 2 所以 n=2 时,Sn 取到最大值 4. 课堂小结 1. 本节的小结由学生来完成, 首先回顾总结本节都学习了哪些内容?(两个重要的等差 数列求和公式)通过等差数列的前 n 项和公式的推导,你都从中学到了哪些数学思想方法? (数列倒序相加法)对你今后的学习有什么启发指导? 2.你是怎样从方程的角度来理解等差数列求和公式的?又是怎样从等差数列的性质来 理解等差数列的求和公式的?上节学习的等差数列的通项与本节学习的等差数列的求和公 式有什么联系?本节的重要题型是什么? 作业 课本习题 2—2 A 组 8、9. 设计感想 本教案设计力求突出实际背景的教学, 以大量的日常生活实例及古今中外的数列故事来
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铺垫学生学习等差数列的本质内涵. 除了本教案设计的几个实例, 教学时还可根据实际情况 再补加一些实例背景. 本教案设计突出了发散思维的训练.通过一题多解,多题一解的训练,比较优劣,换个 角度观察问题,这是数学发散思维的基本素质.说到底,学数学,其实是要使人聪明,使人 的思维更加缜密. 本节的思考与探究没有涉及,设计的意图是留给学有余力的学生课后选做.鉴于习题 2—2B 组中 3,4,5,6 都有一定的难度,因此也设计为选做. (设计者:周长峰)

第 2 课时 导入新课 思路 1.上一节课我们一起探究推导了等差数列的求和公式,得到了求和公式的两种形 式. 我们知道以前在公式的学习过程中, 不仅要会对公式正用、 逆用及变形用, 还要从运动、 变化的观点来认识公式,从函数及数列结合的角度透彻理解公式.这里公式 Sn = na1 + n?n-1? d 表明 Sn 是关于 n 的二次函数,且常数项为 0,那么你能看出点列(n,Sn)均在同 2 一条抛物线上吗?这样的抛物线有什么特点?由此展开新课. 思路 2.上一节课我们从几个日常生活中的实例探究了等差数列的很重要的公式,我们 也知道等差数列有着十分丰富的有趣性质, 那么根据等差数列的特点, 你能探究出等差数列 的哪些重要结论呢?比如单调性、奇偶性、最大值等.教师引导学生由此导入新课. 推进新课 新知探究 提出问题 错误! 活动:教师与学生一起回忆上节课我们用倒序相加法探究的等差数列的两个求和公式: n?a1+an? n?n-1? Sn= ,Sn=na1+ d.在公式涉及的 5 个量 a1,d,n,an,Sn 中,知三可求 2 2 其二.其中 a1,d 是最基本的两个量.我们称为基本元素,在等差数列的不少问题中,我们 往往都转化为这两个量来求. 当然如果熟悉并掌握一些常用结论及性质, 往往能找到简洁明 快、轻盈优美的灵活解题技巧,提高我们的解题速度.下面我们探究等差数列求和的一些性 质问题.
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从等差数列的两个求和公式中我们可以看出, 公式里不含常数项. 教师引导学生进一步 n?n-1? d 2 d 探究,如果 a1,d 是确定的,那么 Sn=na1+ d= n +(a1- )n.可以看出当 d≠0 2 2 2 时,Sn 是关于 n 的二次式. 从图象角度看(n, Sn)在二次函数 y=Ax +Bx(A≠0)的图象上. 所以当 d≠0 时, 数列 S1, S2,S3,?,Sn 的图象是抛物线 y=Ax +Bx 图象上的一群孤立点,这样我们就可以借助于二 次函数的有关性质(如单调性、最值等)来处理等差数列前 n 项和 Sn 的有关问题.若 d=0, 则 Sn=na1.因此我们可以得出这样的结论:数列{an}为等差数列的充要条件是:数列{an}的 前 n 项和可以写成 Sn=an +bn 的形式(其中 a、b 为常数)且公差为 2a.
?am≥0 ? 结合二次函数图象与性质我们还可得到:当 a1>0,d<0 时,由? ?am+1≤0 ? ? ?am≤0 大值;当 a1<0,d>0 时,由? ?am+1≥0 ?
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? Sm 为最

?Sm 为最小值.

通过具体例子验证、猜想并推广到一般,我们还可得到:设等差数列{an}的前 n 项和为 A,紧接着 n 项的和为 B,再紧接着 n 项的和为 C,?,则 A,B,C,?也成等差数列. 通过以上这些探究, 我们在处理等差数列有关和的问题时可有更多的选择余地, 而且有 些解法更加简单、快捷,提高了我们解题的质量和效果.如下例: 已知等差数列{an}中,a2+a5=19,S5=40,求 a10,则可这样解:∵S5=5a3=40,∴a3 =8,a2+a5=a3-d+a3+2d=2a3+d=16+d=19,得 d=3. ∴a10=a3+7d=29. 此解法比常规解法优越得多, 这类解题技巧在等差数列中比比皆是, 让学生在解题探究 中细心领悟. 讨论结果:(1)(4)(5)略. (2)等差数列求和公式中共有 5 个量,其中 a1,d 是基本量. (3)等差数列求和公式可看作 n 的二次函数式,上节课的例题中初步涉及了这一思想, 本节将作进一步的探究. 应用示例 2 4 例 1 已知等差数列 5,4 ,3 ,?的前 n 项和为 Sn,求使得 Sn 最大的序号 n 的值. 7 7 活动: 本例目的是让学生在上节初步理解的基础上, 对等差数列求和公式的二次函数特

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d 2 征做进一步的螺旋提升.我们知道,等差数列{an}的前 n 项和公式可以写成 Sn= n +(a1- 2 d d 2 d * )n,所以 Sn 可以看成函数 y= x +(a1- )x(x∈N )当 x=n 时的函数值.另一方面,容易 2 2 2 知道 Sn 关于 n 的图象是一条抛物线上的一些点,因此我们可以利用二次函数来求 n 的值. 2 3 5 解:由题意知,等差数列 5,4 ,3 ,?的公差为- , 7 7 7 n 5 所以 Sn= [2×5+(n-1)(- )] 2 7 = 75n-5n 14
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5 15 2 1 125 =- (n- ) + . 14 2 56 15 于是,当 n 取与 最接近的整数 7 或 8 时,Sn 取得最大值. 2 5 点评:我们能否换一个角度再来思考这个问题呢?由已知,它的首项为 5,公差为- . 7 因为它的首项为正数,公差小于零,因而这个数列是个单调递减数列,当该数列的项出现负 数时,则它的前 n 项的和一定会开始减小,在这样的情况下先求出它的通项,求得结果是 5 40 5 40 an=a1+(n-1)d=- n+ .令 an=- n+ ≤0,得到了 n≥8,这样就可以知道 a8=0,而 7 7 7 7 a9<0.从而便可以发现 S7=S8, 从第 9 项和 Sn 开始减小, 由于 a8=0 对数列的和不产生影响, 所以就可以说这个等差数列的前 7 项或 8 项的和最大. 这就是上节课留给学生课后探究的问 题. 教师与学生一起归纳一下这种解法的规律: ①当等差数列{an}的首项大于零,公差小于零时,它的前 n 项的和 Sn 有最大值,可通过
?an≥0, ? ? ? ?an+1≤0

求得 n 的值.

②当等差数列{an}的首项不大于零,公差大于零时,它的前 n 项的和 Sn 有最小值,可以
?an≤0, ? 通过? ?an+1≥0 ?

求得 n 的值.

有了这种方法再结合前面的函数性质的方法, 我们求等差数列的前 n 项的和的最值问题 就可从通项与求和两个角度入手解决: (1)利用 an 取值的正负情况来研究数列的和的变化情况; d 2 d (2)利用 Sn:由 Sn= n +(a1- )n 利用二次函数求得 Sn 取最值时 n 的值. 2 2

13

变式训练 已知 an=1 024+lg2
1-n

(lg2=0.301 0),n∈N .问前多少项之和最大?前多少项之和

*

的绝对值最小?(让一位学生上黑板去板演)
? ?an=1 024+?1-n?lg2≥0 解:(1)? ?an+1=1 024-nlg2<0 ?

?

1 024 1 024 <n≤ +1?3 401<n<3 403.所以 n=3 402. lg2 lg2

n?n-1? (2)Sn=1 024n+ (-lg2),当 Sn=0 或 Sn 趋近于 0 时其绝对值最小, 2 n?n-1? 2 048 令 Sn=0,即 1 024+ (-lg2)=0,得 n= +1≈6 804.99. 2 lg2 因为 n∈N ,所以有 n=6 805.
*

例 2 等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,求该数列前多少项的和最小? 活动:写出前 n 项和的函数解析式,再求此式的最值是最直观的思路.教学时,教师充 分让学生合作讨论此题,从不同角度来探究此题的解法,教师只是给予必要的点拨. 解法一:设等差数列{an}的公差为 d, 1 1 则由题意,得 9a1+ ×9×(9-1)·d=12a1+ ×12×(12-1)·d,即 3a1=-30d, 2 2 1 ∴d=- a1. 10 又∵a1<0,∴d>0. 1 1 2 21 d 21 2 21 ∴Sn=na1+ n(n-1)d= dn - dn= (n- ) - d. 2 2 2 2 2 8 ∵d>0,∴Sn 有最小值. 又∵n∈N ,∴当 n=10 或 n=11 时,Sn 取最小值. 1 ? ?1-10?n-1?≥0, 即? 1 ? ?1-10n≤0,
* 2

? ?an=a1+?n-1?d≤0, 解法二:由? ?an+1=a1+nd≥0, ?

解得 10≤n≤11. ∴取 n=10 或 n=11 时,Sn 取最小值.

14

解法三:∵S9=S12,即 a1+a2+?+a9=a1+a2+?+a12, ∴a10+a11+a12=0,即 3a11=0. 又∵a1<0,∴前 10 项或前 11 项的和最小. 点评: 解完本题后教师引领学生对以上三种解法进行反思总结. 本题的三种解法从三个 不同的视角说明了等差数列前 n 项和的最值问题,方法迥异,殊途同归,由此看出等价转化 思想在简化运算中的作用,其中第一种解法运算量偏大,不容易进行到底,即便做对了,所 花时间也较多,要让学生深刻领悟这一点. 事实上,本题还能探究出另一种解法——图象法.∵S9=S12,∴Sn 的图象所在的抛物线 9+12 的对称轴为 x= =10.5, 2 又∵a1<0,∴数列{an}的前 10 项或前 11 项和最小. 例 3(教材本节例 3) 活动: 本例是教材等差数列部分的最后一个例题, 目的是让学生通过学到的等差数列知 识,解决实际问题.教学时,教师引导学生分析题中的数量关系,观察教育储蓄的规律.通 过分析知李先生的每个 100 元的利息依次可组成等差数列,然后得出算式求解. 点评:解决本例的关键是建立等差数列的数学模型. 例 4 已知等差数列{an}中,公差 d>0,其前 n 项和为 Sn,且满足:a2·a3=45,a1+a4 =14. (1)求数列{an}的通项公式; (2)由通项公式 bn= Sn 构造一个新的数列{bn},若{bn}也是等差数列,求非零常数 c. n+c

活动:让学生自己探究本题(1),对(2)教师可引导学生充分利用等差数列的特征,可由 学生合作探究,教师仅给予必要的点拨. 解:(1)∵{an}为等差数列, ∴a1+a4=a2+a3=14. 又 a2·a3=45, ∴a2,a3 是方程 x -14x+45=0 的两实根. 又公差 d>0,∴a2<a3.∴a2=5,a3=9.
? ?a1+d=5 ∴? ? ?a1+2d=9 ? ?a1=1, ?? ? ?d=4.
2

∴an=4n-3.
15

n?n-1? 2 (2)由(1)知 Sn=n·1+ ×4=2n -n, 2 ∴bn= ∴b1= Sn 2n -n = . n+c n+c 1 6 15 ,b2= ,b3= . 1+c 2+c 3+c
2

又{bn}也是等差数列,即 b1+b3=2b2. 6 1 15 ∴2· = + . 2+c 1+c 3+c 1 2n -n 解之,得 c=- (c=0 舍去).∴bn= =2n. 2 1 n- 2 1 易知{bn}是等差数列,c=- . 2 例 52000 年 11 月 14 日,教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》 , 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标: 从 2001 年起用 10 年的时间, 在全市中小学 建成不同标准的校园网.据测算,2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元.为 了保证工程的顺利实施, 计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元. 那么从 2001 年起的 未来 10 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少? 活动:这是一道实际应用题,从题中给出的信息我们发现了等差数列的模型,这个等差 数列的首项是 500,记为 a1,公差为 50,记为 d,而从 2001 年到 2010 年应为十年,所以这 个等差数列的项数为 10.再用公式就可以算出来了. 解:根据题意,从 2001~2010 年,该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增 加 50 万元. 所以,可以建立一个等差数列{an},表示从 2001 年起各年投入的资金,其中 a1=500,d=50. 那么,到 2010 年(n=10)投入的资金总额为 10×?10-1? S10=10×500+ ×50=7 250(万元). 2 答:从 2001~2010 年,该市在“校校通”工程中的总投入是 7 250 万元. 点评:反思本例的解题过程,关键是将实际问题转化为等差数列模型,用刚学到的等差 数列求和公式解之.
2

变式训练 一个屋顶的某一斜面成等腰梯形,最上面一层铺瓦片 21 块,往下每一层多铺 1 块,
16

斜面上铺了 19 层,共铺瓦片多少块? 解:由题意,所铺瓦片数成等差数列.设所成等差数列为{an},则 a1=21,d=1,n= 19. 由等差数列前 n 项和公式知: 19×18 共铺瓦片 S19=19×21+ ×1=570(块). 2 答:共铺瓦片 570 块. 知能训练 1.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4≥10,S5≤15,则 a4 的最大值为________. 2.在等差数列{an}中满足 3a4=7a7,且 a1>0,Sn 是数列{an}前 n 项的和,若 Sn 取得最 大值,则 n=__________. 答案: 4×3 1.4 解析:设等差数列{an}的公差为 d,依题意有 4a1+ ×d≥10,即 2a1+3d≥5, 2 5×4 5a1+ ×d≤15,即 a1+2d≤3. 2 所以 a4=a1+3d=-(2a1+3d)+3(a1+2d)≤-5+3×3=4. 因此 a4 的最大值为 4. 2.9 解析:∵3a4=7a7, 4 ∴d=- a1. 33 又∵a1>0,d<0, n?n-1? 2a1 35 2 1 225 ∴Sn=na1+ d=- (n- ) + a1. 2 33 4 264 故当 n=9 时,Sn 最大. 课堂小结 1.本课的小结由学生来完成.首先回顾总结本节探究了哪些重要结论?通过本节几个 例题及变式训练的探讨, 你对等差数列前 n 项和公式的应用又拓展了多少?你从中体会到了 哪些数学思想方法?对你今后的进一步学习有什么启发指导?你将本节所学知识纳入已有 的知识系统中了吗? 2.你是怎样从方程思想的角度来理解等差数列求和公式的?又是怎样从等差数列的性 质来理解等差数列的求和公式的?你是怎样从二次函数的角度来更加深刻地认识等差数列 求和公式的?它是怎样与函数、不等式、方程等内容交汇的?重要的是你今天有什么独创
17

呢?比如,若已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n -3n+1,则通项 an 等于多少呢?你得出的
?0, ? 答案是 an=? ? ?4n-5,

2

n=1, n≥2,

还是 an=4n-5(n∈N )呢?请课下思考.

*

作业 课本习题 2—2 A 组 12;习题 2—2 B 组 1,2,3. 设计感想 本教案设计的核心是突出学生的思维训练,这是一条主线,像例 2 引导学生探究了 3 种解法, 从中比较了由于视角的不同而表现出的差异, 让学生领悟数学中等价转化的作用. 因 为从解法上看有的解法繁杂,甚至有了思路也不一定解出来,而有的解法确实太漂亮了,简 洁而流畅. 本教案设计突出了方程的思想, 所谓方程思想就是指把数学问题所反映的数量关系用解 析式的形式表示出来, 再把解析式归结为方程, 通过解方程的手段或对方程进行研究使问题 得以解决.设未知数,列方程,解方程是用方程的思想解数列问题的重要环节. 本教案设计强调了数列与其他知识的交汇. 我们知道数列是函数概念的继续和延伸. 数 列的通项公式及前 n 项和公式都可以看作项数 n 的函数, 是函数思想在数列中的应用. 而对 数列求和公式的视角又大而广之,即把数列的前 n 项和 Sn 视为数列{Sn}的通项,这体现了思 维的广阔性,也使学生的思维一下子博大而高远了,这或许就是数学的魅力之所在. 备课资料 一、等差数列的性质探究 等差数列的内容内涵丰富, 通项公式与前 n 项和公式是其核心内容, 我们对其进行合理 整合、变形,可以得到诸多的性质,它们的应用使解题变得轻松愉悦,与常规方法相比较, 过程要简捷得多. p+λ q * 【性质 1】 已知等差数列{an},m、p、q∈N ,若存在实数 λ 使 m= (λ ≠-1), 1+λ ap+λ aq 则 am= . 1+λ 证明:由等差数列{an}的通项公式 an=dn+a1-d 的几何意义:点(p,ap)、(m,am)、(q, am-ap aq-am p+λ q p-m aq)共线,由斜率公式得 = ,因为 m= ,所以 =λ . m-p q-m 1+λ m-q ap+λ aq 所以 λ (am-aq)=ap-am.所以(1+λ )am=ap+λ aq,即 am= . 1+λ 评析:特别地,当 λ =1 时,2am=ap+aq,我们不妨将性质 1 称为等差数列的定比分点

18

公式. 【性质 2】 等差数列{an},ni,mi∈N ,i=1,2,3,?,k,若 ?ni= ?mi,则 ?ani= ?a
* i=1 i=1 i=1 i=1 k k k k

mi. 证明:设等差数列{an}的公差为 d.根据 ani=ami+(ni-mi)d,i=1,2,3,?,k, 则 ?ani= ?ami+( ?ni- ?mi)d= ?ami.所以 ?ani= ?ami.
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i =1 i=1 k k k k k k k k k

推论:等差数列{an},ni,m∈N ,i=1,2,3,?,k,若 km= ?ni,则 kam= ?ani.
* i=1 i=1

评析:本性质实质上是等差中项性质的推广. 【性质 3】 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,公差为 d,n,m∈N , Sm Sn 1 则 - = (m-n)d. m n 2 Sm Sn nSm-mSn 证明:因为 - = m n mn m?m-1? n?n-1? n[ma1+ d]-m[na1+ d] 2 2 = mn mn?m-1? mn?n-1? mna1+ d-mna1- d 2 2 = mn = m n-mn-mn +mn d 2mn
2 2 2 2 *

m n-mn = d 2mn = mn?m-n? d 2mn

1 = (m-n)d, 2 Sm Sn 1 所以 - = (m-n)d. m n 2 Sn d 评析:实质上数列{ }是公差为 的等差数列. n 2 【性质 4】 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,公差为 d,n,m∈N ,则 Sm+n=Sm+Sn+mnd. 证明:因为 Sm+n=Sn+(an+1+an+2+?+an+m) =Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+?+(am+nd) =Sn+(a1+a2+?+am)+mnd
19
*

=Sm+Sn+mnd, 所以 Sm+n=Sm+Sn+mnd. 【性质 5】 等差数列{an}前 n 项和为 Sn,若 m=p+q(m、p、q∈N 且 p≠q), Sm Sp-Sq 则有 = . m p-q 证明:设等差数列{an}的公差为 d. 1 1 1 因为 Sp-Sq=pa1+ p(p-1)d-qa1- q(q-1)d=(p-q)[a1+ (p+q-1)d], 2 2 2 Sp-Sq 1 所以 =a1+ (p+q-1)d. p-q 2 Sm 1 又因为 =a1+ (m-1)d,且 m=p+q, m 2 Sm Sp-Sq 所以有 = . m p-q 推论:等差数列{an}前 n 项和为 Sn,若 m+t=p+q(m、t、p、q∈N 且 m≠t,p≠q),则 Sm-St Sp-Sq = . m-t p-q 【性质 6】 等差数列{an}前 n 项和为 Sn. (1)当 n=2k(k∈N )时,S2k=k(ak+ak+1); (2)当 n=2k-1(k∈N )时,S2k-1=kak. 二、备用习题 1. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 18, 若 S3=1, an+an-1+an-2=3, 则 n 的值为( A.9
2 2 * * * *

)

B.21

C.27

D.36

2.过圆 x +y =5 内一点 P(

5 3 , )有 n 条弦,这 n 条弦的长度成等差数列{an},如 2 2

1 1 果过 P 点的圆的最短的弦长为 a1,最长的弦长为 an,且公差 d∈( , ),那么 n 的取值集合 6 3 为? ( ) B . {4,5,6} C . {3,4,5}

A . {5,6,7} D.{3,4,5,6}

3.如果 a1,a2,?,a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d≠0,则( A.a1a8>a4a5 C.a1+a8>a4+a5 B.a1a8<a4a5 D.a1a8=a4a5

)

4. 等差数列{an}中, 公差 d≠0, a1≠d, 若这个数列的前 40 项的和是 20m, 则 m 等于( A.a10+a30 B.a20 C.a40+d D.a15+a26

)

20

S3 1 S6 5.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 等于( S6 3 S12 A. 3 10 1 B. 3 1 C. 8
2

) 1 9

D.

6.已知正实数 a、b、c 成等差数列,函数 f(x)=ax +bx+c 的图象与 x 轴有两个交点, 则 x1·x2 的取值范围是__________. 7.已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为 __________. 8. 设数列{an}是公差不为零的等差数列, Sn 是数列{an}的前 n 项和, 且 S3=9S2, S4=4S2, 求数列{an}的通项公式. 参考答案: 1.答案:C
? ?an+an-1+an-2=3, n?a1+an? 解析:Sn= =18,由 S3=1 和? 2 ?a1+a2+a3=1, ?
2

得 3(a1+an)=4.

4 36 36 ∴a1+an= .∴n= = =27. 3 a1+an 4 3 2.答案:A 解析:过点 P 的最长弦是直径,最短弦是过点 P 垂直于这条直径的弦为 2 3. ∵an=a1+(n-1)d, ∴2 5=2 3+(n-1)d. 2 5-2 3 1 1 n-1= ,∴d∈( , ). d 6 3 ∴3(2 5-2 3)<n-1<6(2 5-2 3). ∴n=5,6,7. 3.答案:B 解析:a1a8-a4a5=a1(a1+7d)-(a1+3d)(a1+4d)=-12d <0. 4.答案:D 40?a1+a40? 解析:∵S40= =20m, 2 ∴a1+a40=m. 而 a1+a40=a15+a26,且 d≠0,a1≠d,可排除 A、B、C. 5.答案:A
2

21

S3 1 解析:设 S3=m,∵ = , S6 3 ∴S6=3m.∴S6-S3=2m. 由等差数列依次每 k 项之和仍为等差数列,得 S3=m,S6-S3=2m,S9-S6=3m,S12-S9 =4m, ∴S6=3m,S12=10m. ∴ S6 3 = . S12 10

6.答案:(0,7-4 3)∪(7+4 3,+∞) c 2 解析:∵x1x2= >0,又 2b=a+c,b -4ac>0, a a+c 2 a c 2 2 则( ) -4ac>0,a +c -14ac>0, + -14>0, 2 c a c 1 令 t= ,则 t+ -14>0. a t t -14t+1>0.解得 t∈(0,7-4 3)∪(7+4 3,+∞). 7.答案:3 解析:∵S 奇=a1+a3+a5+a7+a9=15, S 偶=a2+a4+a6+a8+a10=30, ∴S 偶-S 奇=5d=15. ∴d=3. 8.解:设等差数列{an}的公差为 d, n?n-1? 2 由 Sn=na1+ d 及已知条件得(3a1+3d) =9(2a1+d),① 2 4a1+6d=4(2a1+d).② 4 2 由②得 d=2a1,代入①,有 a1= a1, 9 4 解得 a1=0 或 a1= . 9 4 8 当 a1=0 时,d=0(舍去),因此 a1= ,d= . 9 9 4 8 4 故数列{an}的通项公式为 an= +(n-1)× = (2n-1). 9 9 9
2

22


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