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2012年数学一轮复习精品试题第33讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题


第三十三讲

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第三十三讲

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
日期________ 得分________

班级________ 姓名________ 考号______ __

一、 选择题: (本大题共 6 小题, 每

小题 6 分, 36 分, 共 将正确答案的代号填在题后的括号内. ) 1.已知点(-3,-1)和(4,-6)在直线 3x-2y-a=0 的两侧,则 a 的取值范围为( A.(-24,7) B.(-7,24) C.(-∞,-7)∪(24,+∞) D.(-∞,-24)∪(7,+∞) 解析:根据题意知(-9+2-a)(12+12-a)<0, 即(a+7)(a-24)<0,∴-7<a<24. 答案:B )

?x-y≥0, ?2x+y≤2, 2.若不等式组? y≥0, ?x+y≤a, ?
4 A.a≥ 3 4 C.1≤a≤ 3

表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是(

)

B.0<a≤1 4 D.0<a≤1 或 a≥ 3

解析:先把前三个不等式表示的平面区域画出来,如图.

2 2 4 4 此时可行域为△AOB 及其内部,交点 B 为?3,3?,故当 x+y=a 过点 B 时 a= ,所以 a≥ 时 ? ? 3 3 可行域仍为△AOB,当 x+y=a 恰为 A 点时,a=1+0=1,故当 0<a≤1 时可行域也为三角形.故 4 0<a≤1 或 a≥ . 3
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二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

答案:D

?x-y+2≥0, ? 3.已知实数 x、y 满足:?x+y-4≥0, ?2x-y-5≤0, ?
A.18 B.19 C.20

则 z=|x+2y-4|的最大值(

)

D.21

?x-y+2≥0, ? |x+2y-4| x+y-4≥0, 解析:z=|x+2y-4|= 5· 2 2 ,可以看做是? 1 +2 ?2x-y-5≤0, ?

对应的平面区域内的点到

|7+2×9-4| 直线 x+2y-4=0 的距离的 5倍,结合图形可知|x+2y-4|的最大值是 z= 5· =21,故 5 选 D.

答案:D 4.给出平面区域(包括边界)如图所示,若使目标函数 z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无 穷多个,则 a 的值为( )

1 A. 4 C. 4

3 B. 5 5 D. 3
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二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

解析:由题意分析知,目标函数 z=ax+y(a>0)所在直线与直线 AC 重合时,满足题意,则由- 22 -2 5 3 a=kAC= ,得 a= .故选 B. 5 1-5 答案:B

?x-4y+3≤0 ? 5.如果实数 x,y 满足?3x+5y-25≤0, ?x≥1 ?
那么实数 k 的值为( A.2 1 C. 5 ) B.-2 D.不存在

目标函数 z=kx+y 的最大值为 12,最小值为 3,

?x-4y+3≤0 ? 解析:如图为?3x+5y-25≤0 ?x≥1 ?

22 所对应的平面区域,由直线方程联立方程组易得点 A?1, 5 ?, ? ?

3 B(1,1),C(5,2),由于 3x+5y-25=0 在 y 轴上的截距为 5,故目标函数 z=kx+y 的斜率-k<- , 5 3 即 k> . 5 将 k=2 代入,过点 B 的截距 z=2×1+1=3. 过点 C 的截距 z=2×5+2=12.符合题意.故 k=2.故应选 A.

答案:A 6.在如图所示的 坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),若目标函数 z=x+ay 取得最小 y 值的最优解有无数个,则 的最大值是( x-a )

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二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

2 A. 3 1 C. 6

2 B. 5 1 D. 4

1 1 解析:目标函数 z=x+ay 可化为 y=- x+ z, a a 1 1 由题意 a<0 且当直线 y=- x+ z 与 lAC 重合时符合题意. a a 1 此时 kAC=1=- ,∴a=-1. a y y 2 2 的几何意义是区域内动点与(-1,0)点连线的斜率.显然 = = 最大.故选 B. x-a x-a 4-(-1) 5 答案:B 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.)

?0≤x≤2, ? 7.若 x,y 满足?0≤y≤2, ?x-y≥1, ?

则(x-1)2+(y-1)2 的取值范围是________.

解析:可行域如图:(x-1)2+(y-1)2 表示点(1,1)到可行域内点的距离的平方,根据图象可得(x 1 -1)2+(y-1)2 的取值范围是?2,2?. ? ?

1 答案:?2,2? ? ?

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二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

? ??x-2y+5≥0,? ? ? 8.设 m 为实数,若?(x,y)??3-x≥0, ? ?mx+y≥0, ? ? ? ??
是________. 解析:由题意知,可行域应在圆内,如图.

?{(x,y)|x2+y2≤25},则 m 的取值范围

如果-m>0,则可行域取到-∞,不能在圆内; 故-m≤0,即 m≥0. 4 4 4 当 mx+y=0 绕坐标原点旋转时, 直线过 B 点时为边界位置. 此时-m=- , ∴m= .∴0≤m≤ . 3 3 3 4 答案:0≤m≤ 3 9. 某实验室需购某处化工原料 106 千克, 现在市场上该原料有两种包装, 一种是每袋 35 千克, 价格为 140 元; 另一种是每袋 24 千克, 价格是 120 元. 在满足需要的条件下, 最少需花费________. 解析:设需要 35 千克的 x 袋,24 千克的 y 袋,

?35x+24y≥106, ? 则总的花费为 z 元,则?x>0时,且x∈Z, ?y>0时,且y∈Z. ?
求 z=140x+120y 的最小值. 由图解法求出 zmin=500,此时 x=1,y=3. 另外,本题也可以列举出 z 的所有可能取值,再求其中的最小值.由于 x=0,1,2,3,4 时相应的 y 值和花费如下: 当 x=0,y=5 时,z=600;当 x=1,y=3 时,z=500;当 x=2,y=2 时,z=520;当 x=3, y=1 时,z=540;当 x=4,y=0 时,z=560.易见最少花费是 500 元. 答案:500 元
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二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

?x≥0, ? 10.当不等式组?y≥0, ?kx-y+2-k≥0(k<0) ?
________.

所表示的平面区域的面积最小时,实数 k 的值等于

解析:不等式组所表示的区域由三条直线围成,其中有一条直线 kx-y+2-k=0(k<0)是不确 定的, 但这条直线可化为 y-2=k(x-1), 所以它经过一个定点(1,2), 因此问题转化为求经过定点(1,2) 的直线与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积的最小值问题.如图所示,设围成区域的面积 4 1 1 1 1 ? 2 为 S , 则 S = · |OB| = · - k|· 1-k? , 因 为 k<0 , 所 以 - k>0 , 有 S = ?4-k-k? = |OA|· |2 ? ? ? 2 2 2 2?

?4+(-k)+?-4??≥1(4+2 4)=4,当且仅当-k=-4,即 k=-2 时,平面区域最小.故填-2. ? ? k ?? 2 k
答案:-2 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 11.某人有楼房一幢,室内面积共计 180 m2,拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面 积 18 m2,可住游客 5 名,每名游客每天住宿费 40 元;小房间每间面积 15 m2,可住游客 3 名,每 名游客每天住宿费为 50 元;装修大房间每间需要 1000 元,装修小房间每间需要 600 元.如果他只 能筹款 8000 元用于装修, 且游客能住满客房, 他隔出大房间和小房间各多少间, 能获得最大效益? 解:设隔出大房间 x 间,小房间 y 间时收益 为 z 元,则 x,y 满足

?18x+15y≤180, ? ?1000x+600y≤8000,且z=200x+150y. ?x≥0,y≥0,y∈Z. ? ?6x+5y≤60, ? ∴?5x+3y≤40, ?x≥0,y≥0,x,y∈Z. ?
可行域为如图所示 的阴影(含边界)

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二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

作直线 l:200x+150y=0,即直线 l:4x+3y=0 把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,交点为 B,且与原点的距离最大,此时 z=200x+150y
? ?6x+5y=60, 20 60 解方程组? 得到 B? 7 , 7 ?. ? ? ? ?5x+3y=40,

由于点 B 的坐标不是整数,而最优解(x,y)中的 x,y 必须都是整数,所以,可行域内的点 20 60 B? 7 , 7 ?不是最优解,通过检验,要求经过可行域内的整点,且使 z=200x+150y 取得最大值, ? ? 经过的整点是(0,12)和(3,8).此时 z 取最大值 1800 元. 于是,隔出小房间 12 间,或大房间 3 间,小房间 8 间,可以获得最大收益. 评析:本题是一道用线性规划求解的实际应用问题,难点在于求 目标函数的最优整数解.这里 所用到的方法即是“局部微调法”,需要先判断出在 B 点取得最大值,再在 B 点附近区域做微调, 找到满足题意的整数解.
?1≤x+y≤4, ? 12.设实数 x、y 满足不等式组? ? ?y+2≥|2x-3|.

(1)求作点(x,y)所在的平面区域; (2)设 a>-1,在(1)所求的区域内,求函数 f(x,y)=y-ax 的最大值和最小值. 分析:先把已知不等式组转化为等价的线性约束条件,然后作出可行域, 并找出最优解. 解:(1)已知的不等式组等价于

?1≤x+y≤4, ? ?y+2≥2x-3, ?2x-3≥0, ?

?1≤x+y≤4, ? 或?y+2≥-(2x-3), ?2x-3<0. ?
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二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

解得点(x,y)所在平面区域为如图所示的阴影部分(含边界).其中 AB:y=2x-5;BC:x+y= 4;CD:y=-2x+1;DA:x+y=1. (2)f(x,y)表示直线 l:y-ax=b 在 y 轴上的截距,且直线 l 与(1)中所求区域有公共点. ∵a>-1,∴当直线 l 过顶点 C 时,f(x,y)最大. ∵C 点的坐标为(-3,7),∴f(x,y)的最大值为 7+3a. 如果-1<a≤2,那么直线 l 过顶点 A(2,-1)时,f(x,y)最小,最小值为-1-2a. 如果 a>2 ,那么直线 l 过顶点 B(3,1)时,f(x,y)最小,最小值为 1-3a. 评析:本题是一道综合题,利用化归和讨论的思想将问题分解为一些简单问题,从而使问题迎 刃而解.

?7x-5y-23≤0, ? 13.已知 x,y 满足条件:?x+7y-11≤0, ?4x+y+10≥0. ?
y+7 (1) 的取值范围; x+4
???? ??? ? ? (2) O M ?O P 的最大值;

M(2,1),P(x,y).求:

(3)| O P |cos∠MOP 的最小值.

??? ?

?7x-5y-23≤0, ? 解:如图所示,画出不等式组?x+7y-11≤0, ?4x+y+10≥0 ?

所表示的平面区域:

其 中 A(4,1),B (-1,-6),C(-3,2). y+7 (1) 可以理解为区域内的点与点 D(-4,-7)连线的斜率.由图可知,连线与直线 BD 重合 x+4 1 时,倾斜角最小且为锐角;连 线与直线 CD 重合时,倾斜角最大且为锐角.kDB= ,kCD=9,所以 3

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二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

y+7 1 的取值范围为?3,9?. ? ? x+4
???? ??? ? ? (2)由于 O M ?O P =(2,1)· (x,y)=2x+y,令 z=2x+y,则 y=-2x+z,z 表示 直线 y=-2x+z

在 y 轴上的截距,由可行域可知,当直线 y=-2x+z 经过 A 点时,z 取到最大值,这时 z 的最大值 为 zmax=2×4+1=9.
??? ? (3) O P
???? ??? ? ? O M O P cos ? M O P cos∠MOP= ???? ? OM



???? ??? ? ? O M ?O P 5

2x+y = , 5

令 z=2x+y,则 y=-2x+z,z 表示直线 y=-2x+z 在 y 轴上的截距,由(3)可知,当直线 y= -2x+z 经过 B 点时,z 取到最小值,这时 z 的最小值为 zmax=2×(-1)-6=-8,
??? ? -8 8 5 所以 O P cos∠MOP 的最小值等于 =- . 5 5

评析:本题是一道求解线性约束条件下非线性目标函数的最优解问题的题目,这类问题有比较 典型的解析几何背景和平面向量的意义,一般地,在解答时常常借助几何图形的直观性求解,体现 了数形结合思想的应用.

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