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关于双曲线的一个有趣结论


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数学通讯( 2 0 0 8年 第 1 2期)  

?专 论 荟 萃 ?  

关 于 双 曲 线 的 一 个 有 趣 结论 
苏立志  
( 黑 龙 江 省 大 庆 实 验 中 学 ,】 6 3 3 1 6 )  

笔 者研 读文 [ 1 ] 后 深受 启发 , 对 双 曲线的  性 质也进 行 了研究 , 发 现 了一个 有趣 的结 论 ,  
同时也得 到 了离心 率 为 2的双 曲线 的一 条独  特 性质 , 现将 结果共 享 如下 .  


口2  



 



 



等 ,  
’  

解得 x o 一  ( 6 2 -a C ) X+a 。  
c ( c — z)  

2  

. 。 2  

定理

已知双 曲线 方程  一  一 1 ( c 。 一 


g i - ,  ̄ P的 坐 标 代 入 双 曲线 方 程  一 
1 , 并 化简 , 得 
( 2 a c —b 。 ) z。+ a 2 Y 。一 2 a  ( a+ c )   + 

a 。 +b 。 , 口 >0 , c >0 ) , 点 A( 口 , 0 ) , F( c , O ) . 自  
2  

双 曲线 的右支上 一 动点 P 引直线 z=  的垂 
L 

线, 垂 足 为 点 Q' 设 直 线 AP 与 F Q 交 于 点  M, 点 M 的轨 迹 是 曲 线 J 1 。 设 双 曲 线 的 离 心  率为 e , 则 

a 。 ( 口 。 +f 。 ) - -0 - 

① 

讨论 方 程 ① 中 z 。与 Y 。的 系数 , 以确 定 

曲线 I 1 的类 型.   ( 1 ) 当2 n c —b 。 > 0且 2 a c —b 。 ≠a 。 , 即e  
∈( 1 , 2 ) U( 2 , l +√ 2 ) 时, ① 为 一 椭 圆方 程 ,   故I 1 是一 椭 圆弧 ( 去 掉顶 点和 端点 ) ;   ( 2 ) 当2 a c —b 。 一a 。 , 即P 一2时 , ① 化 为  (  一3 a ) 。 + 。 一4 a 。 ( 口 <z <2 口 ) , F是 一 圆 的  两段 弧 ( 去掉端点 ) ;   ( 3 ) 当2 口 c 一  =0 , 即P 一1 +  时 , 方 程 

( 1 ) 当e E( 1 , 2 ) U( 2 , 1 +√ 2 ) 时, I 1 是 一 
椭圆( 部分) ;  

( 2 . ) 当e =2时 , J 1 是圆( 部分 ) ;  

( 3 ) 当e =1 +  时 , I 1 是抛 物线 ( 部 分) ;  
( 4 ) 当P >l +  时 , J 1 是双 曲线 ( 部 分) 。   证  如 图 1 , 设 点  P( z o , Y o )( z o> n) ,点 
』  

M( x,  ) ,则 a <x<c且  Y≠ 0 , 点 Q 的 坐 标 为 

( 譬 ,   0 ) .  
因 为  ∥ 葡 , 设 


‘ \   o   ,   一   / 。   n   I  


① 化为 Y   -2 ( 2 +√ 2 ) 口 ( z一口 ) ( 口 <z <( 1 + 

√   ) 口 ) , 1 - " 是 一抛 物线 弧 ( 去掉顶 点 和端点 ) ;   ( 4 ) 当2 口 c 一6 。 <O , 即P >1 +√ 2 时, ① 为  双 曲线方 程 ( 过程略) , 故 J 1 是 一双 曲线 一  支上 的 一段 弧( 去 掉顶 点和端 点 ) .  
经 过探究 发 现 , 将 定 理 中 的 双 曲线 无 论 

图 1  

莉 =| ; 【 ‘ 蔚 ( | ; 【 >0 ) , 而  

( 等 一 z , Y — o   - Y ) , 葡 c ; 『 一 ( x - c , y ) , 所 以   ( 等 - x , y o - y ) - 2 ( a : - c , y ) ,  
解 得 一  .  

是换 为 椭 圆还 是 抛 物 线 ( 其 他条 件不 变 ) , 所  得 r都 只 有 一 个类 型 , 即 椭 圆型 曲 线 ( 证 明 
留给 读者 ) , 而并 没有呈 现 出象双 曲线 那样 多  彩多 姿 的变化 !   最后给出离心率为 2的双曲线的一个性质.   性质  已知 双 曲线 3 z 。 一Y   一3 a 。 ( 口 ≠  O ) , 点 A( 口   O ) , F( 2 a , O ) .自双 曲线 上 一 动 点 

由 ( 譬 一 z )   = ( y o - y ) ( x - c ) , 解 得  
^21 ,  

Y 。 : = = c — ( — c — -  x) 一 ’  

P引直线 z 一等的垂线 , 垂足为点 Q . 设直线 
( 下转 第 2 9页)  

又 PQ∥z轴 , 所以  

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?

专 论 荟萃 ?  

数学通讯( 2 0 0 8年 第 l 2期 )  

2 9  



个 二 项 式展 开 问题 的推 广 
李  明  
( 中 国 医科 大 学数 学 教 研 室 , 1 1 0 0 0 1 )  

人 教版 高 中《 数学》 第 二册 ( 下 A) 第 1 1 5  
页 有这样 一个 二项 式展 开 问题 :  

是 某个 奇 数 的 完 全 平 方 数 , 不妨设 8 口+ 1 一  ( 2 七 十1 ) z , k EN . 于是 , n 一  
)   + ̄ 若有 解 , z , 一— ( 4 a 3


, k EN .  

已知 ( 1 十  ) 一 的展 开式 中第 9项 、 第1 O   项、 第1 1 项 的二项 式 系数成 等 差数 列 , 求 .  
解 由题 意得 n ∈N 且 n ≥1 0 .  
— —






 



2 , 则 

由  ≥ ≥ 2 , 必须 忌 z 一2 ≥ 丛 
≥3 ;  
a- 若有解 , z 2 一— ( 4


≥2  忌  

由已知 得 2 C : 一  +  。 , 整 理 得  一  3 7 n +3 2 2 =0 , 解得 i t / l 一2 3 , i t / 2 —1 4 .  

将 原问题 中“ 第 9项 、 第 1 0项 、 第 l l 项  的 二项式 系 数成 等差 数 列 ” 这个 特殊 的条 件 


/ 8a + 1 - 3) -  v















( 七一 

般化 , 我们便 得 到如 下 的推广 问题 :   已知 ( 1 十  )  的 展 开 式 中第 n一 1项 、  

1 )   -2 , 则 由  ≥ n ≥2 , 必须( 七 一1 )  一2 ≥ 
≥2  忌 ≥4 .  

第 n项 、 第n +1 项 的二 项式 系数 成 等差 数列 
( n ∈N 且 n ≥2 ) , 求 i t / .  

综合 上 述分 析 , 我 们 可 以得 出推 广 问题 
的答 案 :  



由题意 得 n EN且 ≥n ≥2 .  

( 1 ) 当8 n +1 不 是完全 平 方数 时 , 无解 ;   ( 2 ) 当n 一3时 ( 七 一3 ) , 只有 一解 l 一7 ;  

由 已知 得 2 C : I 1 一C :   +C : = , 整理得 
i t /   一( 4 a一 3 )  +4 a   一8 n +2 一O ,  
a- 解得 n l , 2 :— ( 4



( 3 ) 当  一丛 


( 忌 ≥4 ) 时 有两解 , z ,  


3) v/ 8 a +  _ -  ̄





. 

是   — 2和 2 一( k -1 )  —2 .  

当8 n +1不是 完全 平方 数 时 ,  , 和 :都  是无 理数 , 该 推广 问题 无解 .   当8 n +1是 完 全 平 方 数 时 , 显 然 它 一 定 
( 收 稿 日期 : 2 o o 8 ~O l ~O 7 )  

( 上接 第 3 O页 )  

AP与 F Q 交 于点 M , 过 M 引 AP 的垂 线 Z ,  



端 点 为 B( 5 a , O ) , 再 由点 M 在直线 Z 上 且 
参 考文 献 :  
讯, 2 0 0 7 ( 2 0 ) .  

则直线 z 过定 点 ( 5 a , O ) .   证  易 知离 心 率 为 2 , 且点 A, F 与直 线 

Z 上 AP知 , 直线 Z 过定 点 ( S a , O ) .  
’  
[ 1 ]俞 新 龙 . 离 心 率 为 2的 双 曲 线 的 性 质. 数 学 通 

X =詈分别是相对应的顶点、 焦点和准线. 由  
厶 

定 理的结论 ( 2 ) 知, 点 M 在定圆 ( z一 3 a )   + 
Y   =4 a  上 , 以 A( n , O ) 为 一端 点 的直 径 的 另 
( 收 稿 日期 : 2 0 0 7 ~l O ~2 9 )  


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