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热力学知识点、例题、演练(高中物理竞赛)


一、理想气体
1、理想气体 宏观定义:严格遵守气体实验定律的气体。 微观特征:a、分子本身的大小比起它们的间距可以忽略,分子不计重力势能;b、除 了短暂的碰撞过程外,分子间的相互作用可以忽略——意味着不计分子势能;c、分子间的 碰撞完全是弹性的。 *理想气体是一种理想模型,是实际气体在某些条件约束下的近似,如果这些条件不 满足,我们称之为实际气体,如果条件满足不是很好,

我们还可以用其它的模型去归纳,如 范德瓦尔斯气体、昂尼斯气体等。 2、气体实验三定律 在压强不太大,温度不太低的条件下,气体的状态变化遵从以下三个实验定律 a、玻意耳-马略特定律:一定质量气体温度不变时,P1V1 = P2V2 或 PV = 恒量 b、查理定律:一定质量气体体积不变时,
P1 T1 P2 P 或 T T2 V1 T1

=

= 恒量
V2 V 或 T T2

c、盖·吕萨克定律:一定质量气体压强不变时,

=

= 恒量

3、理想气体状态方程:
P1 V1 T1 P2 V2 PV 或 = 恒量 T T2

一定质量的理想气体,

=

理想气体状态方程可以由三个试验定律推出,也可以由理想气体的压强微观解释和温 度微观解释推导得出。 a、推论 1:
P1 P2 = ,此结论成功地突破了“质量一定”的条件约束,对解某些 ? 2 T2 ?1T1

特殊问题非常有效。 b、克拉珀龙方程:原方程中,将“恒量”定量表达出来就成为 PV = ? RT ,其中 ? 为 气体的摩尔数, 这个结论被成为克拉珀龙方程。 它的优点是能使本来针对过程适用的方程可 以应用到某个单一的状态。 c、推论 2:气体混合(或分开)时, 很容易由克拉珀龙方程导出。 d、道尔顿分压定律:当有 n 种混合气体混合在一个容器中时,它们产生的压强等于 每一种气体单独充在这个容器中时所产生的压强之和。即 P = P1 + P2 + P3 + ? + Pn
P1 V1 T1 P2 V2 T2 Pn Vn Tn

+

+ ? +

?

PV ,这个推论 T

二、分子动理论
1、 物质是由大量分子组成的 (注意分子体积和分子所占据空间的区别)
1

2、物质内的分子永不停息地作无规则运动 固体分子在平衡位置附近做微小振动(振幅数量级为 0.1 A ) ,少数可以脱离平衡位置 运动。液体分子的运动则可以用“长时间的定居和短时间的迁移”来概括,这是由于液体分 子间距较固体大的结果。气体分子基本“居无定所” ,不停地迁移(常温下,速率数量级为 10 m/s) 。 无论是振动还是迁移,都具备两个特点:a、偶然无序(杂乱无章) 和统计有序(分子数比率和速率对应一定的规律——如麦克斯韦速率分 布函数,如图 6-2 所示) ;b、剧烈程度和温度相关。 3、分子间存在相互作用力(注意分子斥力和气体分子碰撞作用力的区 别) ,而且引力和斥力同时存在,宏观上感受到的是其合效果。 分子力是保守力,分子间距改变时,分子力做的功可以用分子势 能的变化表示,分子势能 EP 随分子间距的变化关系如图 6-4 所示。 分子势能和动能的总和称为物体的内能。
2
0

三、气体的内能 1.气体压强的微观意义:

p?

2 1 1 nEk , 式中n是分子数密度, Ek= mv 2 ? mv 2 ,即分子的平均动能 3 2 2

2.气体温度的微观意义:

克拉珀龙方程:pV ? ? RT , 引入玻耳兹曼常数k= 代入p ?

R N N .又因为:? = , n ? 得到:p ? nkT NA NA V

2 3 nEK , 得: EK= kT 3 2 上式表明, 宏观量的温度只与气体分子的平均平动动能有关, 它与热力学温度成正比,

所以温度成为表征物质分子热运动剧烈程度的物理量。 对所有物质均适用。 对单个分子谈温 度毫无意义。 3、理想气体的内能、做功与吸放热计算 a、理想气体的内能计算 由于不计分子势能,故 E = N· ?K = N kT = N
i 2 i R i T = ? RT ,其中 N 为分子总 2 NA 2

数, ? 为气体的摩尔数。由于(对一定量的气体)内能是温度的单值函数,故内能的变化 与过程完全没有关系。 b、理想气体的做功计算

2

气体在状态变化时,其压强完全可以是变化的,所以气体压力的功从定义角度寻求比 较困难。但我们可以从等压过程的功外推到变压过程的功(☆无限分割→代数和累计?) , 并最终得出这样一个非常实用的结论: 准静态过程理想气体的功 W 总是对应 P-V 图象中的 “面 积” 。这个面积的理解分三层意思—— ①如果体积是缩小的,外界对气体做功,面积计为正;②如果体积是增大的,气体对 外界做功,面积计为负;③如果体积参量变化不是单调的(例如循环过程) ,则面积应计相 应的差值。如图所示。

c、吸放热的计算 热力学第一定律:Δ E=W+Q,注意各量的正负号的规定。 Q=Δ E+(-W) =Δ U+A 等容过程 Q ? m CV ?T . CV 称做定容摩尔比热容,CV ? i R ,i 为分子的自由度,对于单原子分子 M 2 气体,i ? 3 ;对于双原子分子气体,i ? 5 ;而对于多原子分子气体 i ? 6 . R 为摩尔气体常数,
R ? 8.31J/(mol K) .

(W:指外界对系统做的功;A: 指系统对做外界的功)

等压过程 Q = ? CPΔ T

C p 称做定压摩尔比热容, Cp ? CV ? R ,而

Cp CV

? i ? 2 ? ? 称为比热容比.对于单原子分 i

子气体, ? ? 5 ;而双原子分子气体, ? ? 7 ;多原子分子气体则有 ? ? 8 . CV 、 C p 及 ? 均只 3 5 6 与气体分子的自由度有关而与气体温度无关. 等温过程

V p Q ? m RT ln 2 ? m RT ln 1 . M V1 M p2
绝热过程

pV ? ? C ,此称泊松方程,

Cp CV

? i ?2 ?? . i

四.热力学第二定律
1 循环过程 若一系统由某一状态出发,经过任意的一系列的过程,最后又回到原来的
3

状态,这样的过程称为循环过程. 循环过程中系统对外所做的功 如图 16—1 所示为某一系统的准静态循 环过程.在一循环中系统对外所做的功,数值上等于图 16—1 所示 pV 图中闭 合曲线的“面积”. 若循环沿顺时针方向进行。这个功是正的,相应的循环称为正循环;若 循环沿逆时针方向进行,一个循环中系统对外所做的功为负,数值仍等于闭 合曲线所包围的面积,相应的循环称为负循环. 一循环中系统对外所做的功,等于一循环中系统吸收的净热量,即吸收热量
Q1 与放出热量 Q2 的差.

2 热机及其效率 设一系统做正循环,那么,系统在膨胀阶段所吸收的热量 Q1 大于在压 缩阶段放出热量 Q2 ,其差值 Q1 ? Q2 转变为一循环中系统对外所做的功 W ,能完成这种转变 的机械称为热机, 热机的物理本质就是系统做正循环. 热机的主要部分是: 一个高温热源(发 热器), 用来供给 Q1 的热量; 一个低温热源(冷却器), 用来吸取 Q2 的热量; 一种工作物质(如 水、空气或水蒸气等),以及盛工作物质的气缸、活塞等. 对于热机,最重要的问题在于由高温热源吸取的热量 Q1 中,究竟有多少可以转变为功
W ,至于向低温热源所放出的热量 Q2 的多少,并不重要.因此定义了热机的效率 ? 为:一

循 环 中 系 统 对 外 所 做 的 功 W 与 由 高 温 热 源 吸 取 的 热 量 Q1 的 比 值 , 即

??W ?
Q1

Q1 ? Q2 1 ? Q1

Q2 热机效率的大小,由循环的具体结构、性质而定. ? . Q1

3 制冷机及其效率 设一系统做负循环, 则 W1 为负,W2 为正, 且 W1 > W2 ,W ? W1 ? W2 为负,即一循环中系统对外做了 W 的负功;又系统从低温热源吸收了较少的热量 Q2 ,而 在高温热源放出了较多的热量 Q1 ,因而一循环中放出的净热量为 Q1 - Q2 = W .所以系 统在一负循环中, 外界对系统做了 W 功的结果为: 系统在低温热源吸人热量 Q2 连同 W 转 变而成的热量,一并成为 Q1 的热量放入高温热源,结果将热量 Q2 由低温热源输送到高温 热源,这就是制冷机(也叫热泵)的原理. 对制冷机,要关心的问题是:一循环中系统做了 W 功后,有多少热量 Q2 由低温热 源输送到高温热源去了,因此把

Q2 Q ? Q2 定义为制冷机的制冷系数.有时也把 ? ? W ? 1 Q1 Q1 W

4

?1?

Q2 叫做制冷机的效率,可以看出, Q1

制冷机的效率越高,制冷系数越小,经济 效能越低. 在技术上使用热机的种类很多,有蒸 汽机、内燃机和制冷机等,图 16—2 分别 表示蒸汽机和制冷机的工作过程框图. 4 卡诺循环
制冷机

图 16—3 给出了卡诺机模型. 卡诺机中的工作物质是理想气体, 被一个绝热活塞封闭在 气缸中,缸的四壁是完全绝热和光滑的,缸底则是理想导热的;绝热台 H ;一个温度为 T1 的 高温热源;一个温度为 T2 的低温热源,两个热源的热容量极大,温度几乎不变. 卡诺循环的过程可用图 16—4 状态图线表示,气体从初始状态 A( p1,V1,T1 ) 开始,沿 箭头方向经历下列过程; A ? B :将气缸移到高温热 源上,让它缓慢地做等温膨胀,体积由 V1 膨胀到 V2 , 在等温过程中,温度恒为 T1 ,共吸收 Q1 热量,过程沿 等温线 AB 进行;
B?C: 将气缸移到绝热台 H 上, 让它做绝热膨胀, 气体温度逐渐下降, 到达状态 C 时,

温度已降为 T2 ,体积膨胀到 V3 ,过程沿绝热线 BC 进行;
C ? D :将气缸移到低温热源上,将气体压缩,温度保持在 T2 ,压缩中

不断放出热量,一直压缩到状态 D ,共放出热量 Q2 , D 状态的体积为 V4 ,它 是过 C 点的等温线和过 A 点的绝热线的交点,过程沿等温线 CD 进行;
D ? A: 将气缸移到绝热台, 经过绝热压缩, 气体温度逐渐升高, 直到返回原来状态 A ,

过程沿绝热线 DA 进行.
CD 和两个绝热过程 BC 、 这样完成了一个卡诺循环过程, 它是由两个等温过程 AB 、 DA

组成.卡诺循环中的能量转化过程可用图 16—5 表示. 5 卡诺循环的效率 为使对卡诺循环的讨论具有确切的意义, 上面四个过程都必须是准 静态过程,一卡诺循环的结果是:工作物质恢复到原来状态,高温热源失去了 Q1 ? W1 的热 量,W1 表示等温膨胀过程中系统对外所做的功;低温热源获得了 Q2 ? W2 的热量, W2 是等
W ? Q1 ? Q2 ? W1 ? W2 , 温压缩过程中系统对外所做的功, 一循环中系统对外所做的总功为:

其数值等于闭合曲线 ABCDA 所包围的面积,是正值. 根据热机效率的定义,卡诺循环的效率为 ? ? W ? Q1

Q1 ? Q2 ,在 AB 过程中吸收的热量 Q1
5

V V Q1 ? m RT1 ln 2 ,在 CD 过程中放出的热量 Q2 ? m RT2 ln 3 . 又 BC 、 DA 为绝热过程, M V4 M V1 V V ? ?1 ? ?1 ? ?1 TV ? ?1 ? 常量 ,即 TV , T2V4? ?1=TV .有 ( 3 )? -1 ? ( 4 )? -1 ,所以 1 2 =T2V3 1 1 V2 V1
m RT ln V3 2 Q M V4 T V3 V4 V1 V4 ? 1 ? 2 同时也可 ? , ? .因此卡诺循环的效率为 ? ? W ? 1 ? 2 ? 1 ? Q1 Q1 V T1 V2 V1 V2 V3 m RT ln 2 1 M V1

推导出 1 ?

Q T Q2 T ? 1 ? 2 ,即 2 ? 2 .从结果可看出,卡诺循环的效率只由两个热源的温度而 Q1 T1 Q1 T1

定, T1 越高, T2 越低,效率越高. 6 热力学第二定律 热力学第二定律的克劳修斯表述:在低温热源吸取热量,把它全部放入高温热源.而不 引起其他变化是不可能的.这是从热传导的方向性来表述的,也就是说,热传导只能是从高 温热源向低温热源方向进行的. 热力学第二定律的开尔文表述: 从单一热源吸取热量, 把它完全转变为功而不引起其他 变化是不可能的.这是从机械能与内能转化过程的方向来表述的,也就是说,当将内能转变 为机械能时,若不辅以其他手段是不可能的. 上述两种表述是完全等效的,若承认其中一种表述,可以推出另一种表述.热力学第二 定律也使人们认识到,自然界中进行的涉及热现象的宏观过程都具有方向.

例 1.两端开口的横截面积为 S 的直管固定在水平方向上,在管内有两个活塞.开始左边活

6

塞通过劲度系数为 k 的未形变的弹簧与固定的壁相连.两个活塞之间的气体压强 P0 等于外 界大气压强.右活塞到右管口的距离为 H,它等于两活塞之间的距离(如图) .将右活塞缓 慢地拉向右管口,为了维持活塞在管口的平衡,问需用多大的力作用在此活塞上?摩擦不 计.温度恒定. 分析和解:左活塞:P0S?PS?kx=0 右活塞:F 十 PS?P0S=0 F 二 P0S?PS=kx 可见,x=0,F=0;k=0,F=0. 因温度恒定,根据玻意耳定律有 P0HS=P(2H?x)S 由此,得 P ? ① ②

式中 P 为后来两活塞之间气体压强.可得:

H kH P0 ? P0 2H ? x 2kH ? F



将③式代入②式,得到关于 F 的二次方程: F2?(P0S +2kH) F+P0SkH=0 其解 F1,2 ?

P0 S P2 S 2 ? kH ? 0 ? k 2H 2 2 4 P0 S P2 S 2 ? kH ? 0 ? k 2H 2 2 4

既然 k=0 时,F=0,所以最终答案应为 F ?

演练 1:如图为竖直放置的上细下粗的密闭细管,水银柱将气体分隔成 A、B 两部 分,初始温度相同。使 A、B 升高相同温度达到稳定后,体积变化量为?VA、?VB, 压强变化量为?pA、?pB,气体对液面压力的变化量为?FA、?FB,则 ( AC ) A.水银柱向上移动了一段距离 C.?pA>?pB B.?VA<?VB D.?FA=?FB

演练 2:一抽气机转速 n=400 转/分,抽气机每分钟能抽出气体 20L,设容器的容积 V0=2L, 问经多长时间才能使容器的压强由 p0=105Pa 降到 pN=100Pa? 42s

演练 3.如图所示气缸上部足够长,质量不计的轻活塞 A、B 的截面积分别为 2S

7

和 S,气缸下部长为 2l。A、B 活塞间以长为 7l/4 的无弹性轻质细绳相连,A 活塞上部有压 强为 p0 的大气。开始时封闭气室 M、N 中充有同种气体。且 M 的体积是 N 的 2 倍,N 中气 体恰好为 1 mol,且小活塞 B 位于距底部 l 处,气体温度为 T0。现同时缓慢升高两部分封闭 气体的温度至 2T0,求平衡后活塞 A 与底部的距离。 4l

例 2、如图所示,在标准大气压下,一端封闭的玻璃管长 96cm ,内有一段长 20cm 的水银柱,当温度为 27℃且管口向上竖直放置时,被封闭的气柱长为 60cm。试问: 当温度至少升高到多少度,水银柱才会从玻璃管中全部溢出?
( 76 ? 20 ) ? 60 PL P(96 ? x ) 19.2T P1L1 = ,即 = ,得 P = T 96 ? x T 300 T1

隔离水银柱下面的液面分析,可知 P ≤ 76 + x 时准静态过程能够达成(P 可以 随升温而增大,直至不等式取等号) ,而 P > 76 + x 时准静态过程无法达成(T 升 高时,P 增大而 x 减小) ,水银自动溢出。 所以,自动溢出的条件是:T > 考查函数 y =
1 2 (-x + 20x + 7296) 19.2

1 2 (-x + 20x + 7296)发现,当 x = 10cm 19 .2

时,ymax = 385.2K 而前面求出的 x = 0 时,T 只有 380K,说明后阶段无须升温, ....... . 即是自动溢出过程 (参照图 6-8 理解) 。 而 T > ymax 即是题意所求。 ........ 演练 1:.一根内径均匀、开口向上、竖直放置的长直玻璃管,管长为 Lcm,其上端被长为 hcm 的汞柱封住,汞面和管口相平。现用手指堵住管口使玻璃管竖直倒置,求放开手指后汞 全部溢出的条件。大气压相当于 Hcm 高汞柱所产生的压强。 答案:L>H+h

演练 2:一根长为 L(以厘米为单位)的粗细均匀的、可弯曲的细管,一端封闭,一 端开口,处在大气中,大气的压强与 H 厘米高的水银柱产生的压强相等,已知管
8

长 L>H.现把细管弯成 L 形,如图所示.假定细管被弯曲时,管长和管的内径都不发生变化. 可以把水银从管口徐徐注入细管而不让细管中的气体泄出.当细管弯成 L 形时,以 l 表示其 竖直段的长度,问 l 取值满足什么条件时,注入细管的水银量为最大值?给出你的论证并求 出水银量的最大值(用水银柱的长度表示). HL 解:设注入水银柱长为 x,则空气柱长变为 L’= ,空气柱上表面与管口的距离 d=L- H+x L L’= x,开始时由于 x 很小,所以 d>x,可继续倒入水银。 H+x (1)水银柱上表面与管口相平时,水银柱未进入水平管: 由(H+x) (L-x)=HL,得 x=L-H,可见当 l≥L-H 时,有最大值 xm=L-H。 (2)水银柱上表面与管口相平时,一部分水银柱进入水平管: Ll Ll HL 由(H+l) (L-x)=HL,得 x= ,又 l<x,所以 l< ,L>H+l,而 x=L- H+l H +l H+l <L-H,可知当 l≥L-H 时,x 有最大值 xm=L-H。 例 3、1mol 理想气体缓慢地经历了一个循环过程, 在 p-V 图中, 这个过程是一个椭圆, 如图所示, 已知此气体若处在与椭圆中心 0ˊ点所对应的状态时,其温度为 T0=300K.求在整 个循环过程中气体的最高温度 T1 和最低温度 T2 各是多少。 【答案】549K;125K
3p0/ 2 p0 p0/ 2 0 V0/ 2 A D V0

p

B o′ C V 3V0/ 2

演练 2、图所示是一定质量理想气体状态变化所经历的 P-T 图线, 该图线是以 C 点为圆心的圆。P 轴则 C 点的纵坐标 PC 为单位(T 轴 以 TC 为单位) 。若已知在此过程中气体所经历的最低温度为 T0 , 则在此过程中,气体密度的最大值 ρ 1 和最小值 ρ 2 之比 ρ 1/ρ 应等于多少? 【解说】本题物理知识甚简,应用“推论 1”即可。
P1 P2 = ? 2 T2 ?1T1 ?1 ?2
2

?

=

P1T2 P /T = 1 1 P2 T1 P2 / T2

此式表明,

P P 越大时,ρ 就越大。故本题归结为求 的极大值和极小值。 T T

r=1-

T0 Tc

T = Tc (1+ rcosθ ) P = PC (1+ rcosθ ) 引入 y =
P T

=

PC ? r sin ? TC ? r cos ?

,然后函数的极值?【答案】
2

? (3Tc ? T0 )(Tc ? T0 ) ? (Tc ? T0 ) ? ? ? ? (3T ? T )(T ? T ) ? (T ? T ) ? c 0 c 0 c 0 ? ?

演练 2:图是一种测量低温用的气体温度计,它的下端是测温泡 A ,上端是
9

压力计 B ,两者通过绝热毛细管相连,毛细管容积不计。操作时先把测温计在室温 T0 下充 气至大气压 P0 ,然后加以密封,再将 A 浸入待测液体中,当 A 和待测液体达到热平衡后,B 的读数为 P ,已知 A 和 B 的容积分别为 VA 和 VB ,试求待测液体的温度。 【解说】本题是“推论 2”的直接应用
P0 (VA ? VB ) PVA = T0 TA PVB T0

+

【答案】TA =

PVAT0 P0 (VA ? VB ) ? PVB

【例】证明理想气体的压强 P =

2 n ?K ,其中 n 为分子数密度,?K 为气体分子平均动能。 3 F a2

【证明】考查 yoz 平面的一个容器壁,P =



设想在Δ t 时间内,有 Nx 个分子(设质量为 m)沿 x 方向以恒定 的速率 vx 碰撞该容器壁,且碰后原速率弹回,则根据动量定理,容 器壁承受的压力 F =
?p N x ? 2mvx = ?t ?t



在气体的实际状况中,如何寻求 Nx 和 vx 呢? 考查某一个分子的运动,设它的速度为 v ,它沿 x、y、z 三个方向分解后,满足
2 v = v2 + v2 x y + vz

2

分子运动虽然是杂乱无章的,但仍具有“偶然无序和统计有序”的规律,即
v 2 = v2 x

+ v2 + v2 = 3 v2 z y x



这就解决了 vx 的问题。另外,从速度的分解不难理解,每一个分子都有机会均等的碰撞 3 个容器壁的可能。设Δ t = Nx =
1 1 3 ·3N 总 = na 6 2 1 6

a ,则 vx



注意,这里的 是指有 6 个容器壁需要碰撞,而它们被碰的几率是均等的。
1 3 na ? 2m vx N x ? 2mvx 6 1 2 = = = nm v 2 = n ?K x 2 a 3 ?t ? a 3 2 ?a vx

F P = 2 a

例 4.如图所示,绝热的活塞 S 把一定质量的稀薄气体(可视为理想气体)密封在水平放 置的绝热气缸内. 活塞可在气缸内无摩擦地滑动. 气缸左端的电热丝可通弱电流对气缸内气
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体十分缓慢地加热.气缸处在大气中,大气压强为 p0.初始时,气体的体积为 V0 、压强 为 p0.已知 1 摩尔该气体温度升高 1K 时其内能的增量为一已知恒量 c。 ,求以下两种过程 中电热丝传给气体的热量 Ql 与 Q2 之比. (1)从初始状态出发,保持活塞 S 位置固定,在 电热丝中通以弱电流, 并持续一段时间, 然后停止通 电,待气体达到热平衡时,测得气体的压强为 pl . (2)仍从初始状态出发,让活塞处在自由状态,在 电热丝中通以弱电流, 也持续一段时间, 然后停止通 电,最后测得气体的体积为 V2. m 解:初状态:P0V0= RT0,过程 1 是等容过程,气体不做功, r p0

?

m m Q1= c(T1-T0) ,末状态:P1V0= RT1,

?

?

c 可解得:Q1= V0(p1-p0) ,过程 2 是等压过程, R m m Q2= c(T2-T0)+p0(V2-V0) ,末状态:P0V2= RT2,

?

?

c+R V0(p1-p0) Q1 c 可解得:Q2= p0(V2-V0) ,所以 = 。 R Q2 c+R p0(V2-V0) 演练 1:绝热容器 A 经一阀门与另一容积比 A 容积大很多的绝热容器 B 相连.开始时阀门 关闭,两容器中盛有同种理想气体,温度均为 30oC,B 中气体的压强是 A 中的两倍。现将 阀门缓慢打开,直至压强相等时关闭,问此时容器 A 中气体的温度为多少?假设在打开到 关闭阀门的过程中,处在 A 中的气体与处在 B 中的气体之间无热交换。已知每摩尔该气体 的内能为 U ? 5 RT 。
2

解:设气体的摩尔质量为μ ,容器 A 的体积为 V。阀门打开前,其中气体的质量为 M、压 强为 P、温度为 T,由 PV ?

M

?

P? RT ,得 M ? V RT


M? ? 2 P? V RT ?

打开阀门又关闭后,A 中气体的压强 2P,温度 T ? 、质量为 M ? ,则 由 B 进入 A 的气体的质量为 ?M ? M ? ? M ?



P ?V 2 1 ( ? ) R T? T
2 P?

③ ④ ⑤

设这些气体处在容器 B 中时所占的体积为△V,则 ?V ? RT ?M
2T 容器 B 中其他气体对这些气体将等压做功为 W ? 2 P?V ? PV ( ?1 ) T?

A 中气体内能的变化为 ?U ? M ? ? 5 R (T ? ? T) ? 2

⑥ 结果为 T ? ? 353K 。

因为 A 与外界没有热交换,根据热力学第一定律,有 W ? ?U

演练 2:图所示,A 和 B 是两个圆筒形绝热容器,中间用细而短的管子连接,管中有导热性 能良好的阀门 K ,而管子和阀门对外界却是绝热的。F 是带柄的绝热活塞,与容器 A 的内表
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面紧密接触,不漏气,且不计摩擦。 开始时,K 关闭,F 处于 A 的左端。A 中有 ? 摩尔、温度为 T0 的理想气体,B 中则为真空。 现向右推动 F ,直到 A 中气体的体积与 B 的容 积相等。 在这个过程中, 已知 F 对气体做功为 W , 气体温度升为 T1 ,然后将 K 稍稍打开一点,使 A 中的气体缓慢向 B 扩散,同时让活塞 F 缓慢前 进, 并保持 A 中活塞 F 附近气体的压强近似不变。 不计活塞、阀门、容器的热容量,试问:在此过 程中,气体最后的温度 T2 是多少? 解:过程一:K 打开前,过程绝热,据热力学第一定律,Δ E = W 又由 E = ? CVT 知 Δ E = ? CV(T1 ? T0) 因此,CV =
W ?(T1 ? T0 ) ?RT1 V1

① ②

而且在末态,P1 =

过程二:K 打开后,过程仍然绝热,而且等压。所以, W′= P1(V1 ? V1′) ,其中 V1′为 A 容器最终的稳定容积。 〖学员思考〗此处求功时ΔV 只取 A 容器中气体体积改变而不取整个气体的体积改变, 为什么?——因为 B 容器中气体为自由膨胀 的缘故… .... 为求 V1′,引进盖·吕萨克定律 从这两式可得 W′= P1V1 2T1 ? T2
T1
? V ? V1 V1 = 1 T2 T1

③ ④

而此过程的 Δ E′= ? CVΔ T = ? CV(T2 ? T1) 最后,结合①②③④式对后过程用热力学第一定律即可。 【答案】T2 =
2?R (T1 ? T0 ) ? W T1 。 ?R (T1 ? T0 ) ? W

(注意:这里是寻求内能增量而非热量,所以,虽然是等压过程,却仍然用 CV 而非 CP)

例题 5、0.1mol 的单原子分子理想气体,经历如图所示的 A→ B→C→A 循环,已知的状态图中已经标示。试问:

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(1)此循环过程中,气体所能达到的最高温度状态在何处,最高温度是多少? (2)C→A 过程中,气体的内能增量、做功情况、吸放热情况怎样? BC 的直线方程为 P = - V + 2
1 2

y = PV = - V + 2V

1 2

2

显然,当 V = 2 时,y 极大,此时,P = 1 代入克拉珀龙方程:1×10 ×2×10
5 -3

= 0.1×8.31Tmax ,解得 Tmax = 240.7K

(2)由克拉珀龙方程可以求得 TC = 180.5K = TB ,TA = 60.2K ΔE = ?
i 3 RΔ T = 0.1× ×8.31×(60.2-180.5) = -150.0J 2 2
5 -3

根据“面积”定式,W = 0.5×10 ×2×10

= 100J
2

5 计算 Q 有两种选择:a、Q = ? CPΔ T = 0.1× ×8.31×(60.2-180.5) = -250.0J

b、Q = Δ E - W = -250.0J 【答案】 (1)V = 2×10 时,Tmax 为 240.7K; (2)内能减少 150.0J,外界对气体做功 100J,气体向外界放热 250J 。 演练 1.如图,在一大水银槽中竖直插入一根玻璃管,管上端封闭, 下端开口,已知槽中水银面以上的那部分玻璃管的长度 L=76 cm,管 内封闭有 n=1.0×10-3mol 的空气,保持水银槽与玻璃管都不动而设法 使玻璃管内空气的温度缓慢地降低 10℃, 问在此过程中管内空气放出 的热量为多少?已知管外大气压强为 76 cmHg,空气的摩尔内能 U= CV T,CV =20. 5 J/mol K。 解:设管内空气柱长度为 h,大气压强为 P0,管内空气压强为 P,水 银密度为ρ ,由图可知 P0=P+ρ g(L?h) ①
-3

根据题给数据可知 P0 =ρ gL。管内空气压强为

V P?? gh ?? g S



S 为玻璃管横截面积,V 为管内空气体积,由②式可知, 管 内 空 气 压 强 与 其 体 积 成 正 比 。 由 克 拉 伯 龙 方 程 PV=nRT , 得

?g
S

V2 ? nRT



在管内气温度 T1 降到 T2 的过程中,气体体积由 V1 减小到 V2,外界 对气体做正功,其值可用图 8—5 中划有斜线的梯形面积来表示,即有
W? V V 1 ?g 1 ?g ( 1 ? 2 )(V1 ? V2) ? (V12 ? V22) ? nR (T1 ? T2) 2 S S 2S 2

④ ⑤

管内空气内能的变化为 ?U ? nCV (T2 ? T1 )

设 Q 为外界传给气体的热量,根据热一定律,有 Q =ΔU - W = n C V + R T2 - T1) =?0. 247 J

2

演练 2:一个高为 152 cm 的底部封闭的直玻璃管中下半部充满双原子分子理想气体,上半 部是水银且玻璃管顶部开口,对气体缓慢加热,到所有的水银被排出管外时,传递给气体的
13

) (

总热量是多少? (大气压强 p0=76 cmHg)

例 6. 由 v1 摩尔的单原子分子理想气体与 v2 摩尔双原子分子理想气体混合组成某种理想气

14

体,已知该混合理想气体在常温下的绝热方程为 pV 比值α .

11 7

.试求 v1 与 v2 的 ? C (C 为常量)

演练 1:如图所示,一容器左侧装有活门 K1 ,右侧装有活塞 B,一厚度可以忽略的隔板 M 将容器隔成 a、b 两室,M 上装有活门 K 2 。容器、隔板、活塞及活门都是绝热的。隔板和 活塞可用销钉固定,拔掉销钉即可在容器内左右平移,移动时不受摩擦作用且不漏气。整个 容器置于压强为 P0、温度为 T0 的大气中。初始时将活塞 B 用销钉固定在图示的位置,隔板 M 固定在容器 PQ 处,使 a、b 两室体积都等于 V0; K1 、 K 2 关闭。此时,b 室真空,a 室 装有一定量的空气(容器内外气体种类相同,且均可视为理想气体) ,其压强为 4P0/5,温 度为 T0。已知 1mol 空气温度升高 1K 时内能的增量为 CV,普适气体常量为 R。 (1)现在打开 K1 ,待容器内外压强相等时迅速关闭 K1 (假定此过程中处在容器内的气体与 处在容器外的气体之间无热量交换) ,求达到平衡时,a 室中气体的温度。 (2)接着打开 K 2 ,待 a、b 两室中气体达到平衡后, 关闭 K 2 。拔掉所有销钉,缓慢推动活塞 B 直至到过容 器的 PQ 位置。求在推动活塞过程中,隔板对 a 室气体 所作的功。已知在推动活塞过程中,气体的压强 P 与 体积 V 之间的关系为 PV
CV ? R CV

=恒量。

解: (1)设 a 室中原有气体为? mol ,打开 K1 后,有一部分空气进入 a 室,直到 K1 关闭时, a 室中气体增加到? ? mol , 设 a 室中增加的 ?? ? ?? ? mol 气体在进入容器前的体积为 ? V , 气体进入 a 室的过程中,大气对这部分气体所作的功为

A ? p0 ?V

(1)

用 T 表示 K1 关闭后 a 室中气体达到平衡时的温度,则 a 室中气体内能增加量为

?U ? ? ?CV ?T ?T0 ? (2)
由热力学第一定律可知 由理想气体状态方程,有
?U ? A (3)

4 p0V0 ? ? RT0 (4) 5
p0 ?V ? ?? ? ?? ? RT0 (5)
p0V0 ? ? ?RT (6)
15

由以上各式解出

T?

5 ? CV ? R ? 5CV ? 4 R

T0 (7)

(2)K2 打开后,a 室中的气体向 b 室自由膨胀,因系统绝热又无外界做功,气体内能不 变,所以温度不变(仍为 T ) ,而体积增大为原来的 2 倍.由状态方程知,气体压强变 为

p?

1 p0 (8) 2

关闭 K2,两室中的气体状态相同,即

1 pa ? pb ? p , Ta ? Tb ? T , Va ? Vb ? V0 ,且? a ? ? b ? ? ? (9) 2 拔掉销钉后,缓慢推动活塞 B,压缩气体的过程为绝热过程,达到最终状态时,设两室 ? 、 pb ? 、 Va? 、 Vb? 、 Ta? 、 Tb? ,则有 气体的压强、体积和温度分别为 pa
paVa pbVb
由理想气体状态方程,则有
CV ? R CV

?Va? ? pa ?Vb? ? pb

CV ? R CV

(10) (11)

CV ? R CV

CV ? R CV

? ? pb ? (12) 由于隔板与容器内壁无摩擦,故有 pa

?Va? ? ? a RTa? (13) pa
?Vb? ? ? b RTb? (14) pb Va? ? Vb? ? V0 (15)

因 由(8)~(15)式可得

1 Va? ? Vb? ? V0 (16) 2
Ta? ? Tb? ? 2 T (17)
R CV

在推动活塞压缩气体这一绝热过程中,隔板对 a 室气体作的功 W 等于 a 室中气体内能 的增加,即

1 W ? ? ?CV ?Ta? ? T ? (18) 2
由(6) 、 (17)和(18)式得 W ?
R ? CV ? CV ? 2 ? 1? p0V0 ? 2R ? ? ?

演练 2: 在两端开口的竖直 U 形管中注入水银, 水 银柱的全长为 h .将一边管中的水银下压,静止后 撤去所加压力,水银便会振荡起来,其振动周期为

16

T1 ? 2?

h ;若把管的右端封闭,被封闭的空气柱长 L ,然后使水银柱做微 2g

小的振荡,设空气为理想气体,且认为水银振荡时右管内封闭气体经历的是 准静态绝热过程,大气压强相当 h0 水银柱产生的压强.空气的绝热指数为 ? .(1)试求水银 振动的周期 T2 ;(2)求出 ? 与、 T1 、 T2 的关系式. 解 右端封闭后,随着水银柱的振荡,被封闭的空气经历绝热膨胀或绝热压缩过程;封

闭端的空气与外界空气对水银柱压力差提供水银柱做微小振动的回复力, 本题关注回复力的 构成及所循规律. (1)如图 16—9 所示, A 、 B 、 C 分别表示水银柱处于平衡位置、达到振幅位置时和有 一任意小位移 y 时的三个状态. 建立如图坐标, 设水银柱位移为 y 时, 封闭气体的压强为 py , U 形管横截面积为 S ,水银柱总质量为 m ,水银密度为 ? . 对被封闭气体的 A 、 C 状态由泊松方程可知 p0 (LS )? ? py ?(L ? y)S ? ,其中 p0 ? ? gh0 ,得
?

? ? p y ? p0 ? ?( L )? ? 1? p0 .由于 y ? L? y ?

L ,上式可近似为

h y ? ? p y ? p0 ? ? ( L )? ? 1? p0 ? (1 ? ? ? 1) p0 ? ?? 0 ? gy .对 C 状态, 研究水银柱受到的回复力, L L ? L? y ?

回复力 F 即由高度差为 2 y 的水银柱的重力、内外气体压力的合力提供,以位移 y 方向为 正,即为
F ? py S ? p0 S ? 2(?m) g ? ( py ? p0 )S ? 2(?m) g ? ?? h0 h ? gyS ? 2? gyS ? ?(? 0 ? gS ? 2? gS ) y . L L

令 k ??

h0 ? gS ? 2? gS ,得 F ? ?ky .可知水银柱的微小振荡为一简谐运动,其周期为 L

.

T (2)由上述 T1 和 T2 得 ( 1 )2 ? T2

h ?h 2g ? T ? ? 1 ? 0 ,故 ? ? 2 L ? ( 1 )2 ? 1? . h0 ? T2 h 2L ? h0 (2 ? ? ) g L

例 7:设有一以理想气体为工作物质的热机循环,如图所示,试证

V1 ?1 明其效率为? ? 1 ? ? V2 p1 ?1 p2
17

演练 1:定容摩尔热容量 CV 为常量的某理想气体,经历如图所示的
pV 平面上的两个循环过程 A1 B1C1 A1 和 A2 B2C2 A2 ,相应的效率分别为

? 1 和 ? 2 ,试比较 ? 1 和 ? 2 的大小.
解 循环过程的效率为 ? ? W , 本题 A1 B1C1 A1 与 A2 B2C2 A2 两个循环 Q 过程的功,可从图中的直角三角形面积所得.在 A1 B1C1 A1 循环过程中,
A1 B1 阶段气体对外做功,内能增大,吸收热量; B1C1 为等容降压过程,温度降低,放出的

热量为 nCV ?T ( n 为气体的摩尔数);C1 A1 为等压过程, 温度降低, 放出的热量为 nC p ?T ' . 因 此循环过程中的吸热量就是 A1 B1 过程的吸热量。循环过程 A2 B2C2 A2 的情形也类似. 先计算循环过程 A1 B1C1 A1 效率,设气体的摩尔数为 n .循环过程 A1 B1C1 A1 对外所做的功 即为图中三角形 A1 B1C1 的面积,为 W1 ? 1 ( pB1 ? pC 1 )(V2 ? V1 ) ? 1 ( pB 1 ? p A 1 )(V2 ? V1 ) .式中 pB1 2 2 和 pC1 如分别是理想气体在状态 B1 和 C1 时的压强. 又 A1 B1 过程是通过原点的直线,过程的方程可写为 p ? kV .因此 pB1 ? pA1 ? k (V2 ? V1 ) , 代入 W1 表达式,得 W1 ? 1 k (V2 ? V1 )2 .又直线 A1 B1 过程是多方过程,指数为 n ? ?1 ,过程方 2 程式为 pV ?1 ? 常量 ,此多方过程的摩尔热容量为 C ? 指数. 设 A1 和 B1 状 态 的 温 度 分 别 为 T1 和 T2 , 则 有 pA1 V1 ? n R T 1 ; pB1V2 ? nRT2 , 相 减 得
18

? ?n
1? n

CV ? 1 CV ,式中 ? 是气体的绝热 2

2

,所以 A1 B1C1 A1 循环过程中所吸收的热量为

c
.可知 A1 B1C1 A1 循环过程的效率为

k (V ? V )2 2 1 R(V2 ? V1 ) W1 R(V2 ? V1 ) ;同理, A2 B2C2 A2 循环过程的效率为 ?2 ? . ?1 ? ? 2 ? Q1 k C (V 2 ? V 2 ) 2C (V2 ? V1 ) 2C(V2 ? V1 ) 2 1 R 以上两式表明, 两循环过程的效率与直线 A1 B1 或 A2 B2 的斜率大小无关, 而只与 C 及 V1 、 V2 有
关,其中 C 也与直线的斜率无关,因此只要相应的 V1 和 V2 相同,效率就相同,所以,两循 环过程的效率相同,即 ?1 ? ?2 . 演练 2 :已知 n (mol) 的某理想气体在 T < 2T0 时的定容热容
CV 1 ? ? nR ,在 T > 2T0 时的定容热容 CV 2 ? ? CV 1 ,其中 ? 、 ? 均

为大于 1 的常量,该气体经历的循环过程 ABCDA 是如图所示的 矩形. (1)试求状态 D 的温度 TD , 并画出循环过程中系统内能随 温度 T 变化的图线,(2)试计算循环过程的效率 ? . 解(1)由理想气体状态方程,可知

p2 2T0 p2 3T0 ? , ? ,得TD ? 3 T0 .由此也可知,在 C ? D p1 T0 p1 TD 2

过程中存在状态 F ,该状态时的温度为 2T0 . (2)本题中理想气体内能为 U ? CV T , A 状态内能为 U A ? CV 1T0 ? ? nRT0 ,其他状态的内能依 次为 U B ? CV 1 2T0 ? 2? nRT0 , UC ? CV 2 3T0 ? 3?? nRT0 , U F ? CV 2 2T0 ? 2?? nRT0 .
U D ? CV 1 1.5T0 ? 1.5? nRT0 .又在 B 、 F (温度均为 2T0 )状态时,定容热容量发生了突变,

这意味着该理想气体分子的某一运动自由度刚好在 2T0 时被激发,因此,系统在 B 状态时会 出现不升温的吸热,内能变为 U B ? CV 2 2T0 ? 2?? nRT0 ,在 F 状态时,会出现不降温的放热, 内能变为 U F ? CV 1 2T0 ? 2? nRT0 .所以 U 和 T 的关系应完整地表达为
? U ? CV 1T ? ? nRT,(T <2T0) ? ? U ? CV 2T ? ?? nRT,(T>2T0) ?? nRT <U <?? nRT,(T=2T ) 0 ?

循环过程中系统内能 U 随温度 T 变化的图线如图所示. 注意,图线中从 A 状态到 B 状态的等容过程并不经过 D 状 态, 从 B 态到 C 态的等压过程并不经过 F 状态, 同样从 C 态到 D 态的等容过程中不经过 B 态,但经过 F 状态.又 B 、 F 状态因 为温度相同,所以内能也相同, 图中用同一点表示, 另外 B 、F 状态的温度 2T0 刚好是定容热容量发生突变的温度,出现了不升温的吸热或放热,导致内能 变化,所以,两者在图中是一段等温线。同样 D 状态也不是 AB 过程中的状态,但与 AB 过 程中某状态具有相同的内能和温度. (3)一个循环过程中,气体对外所做功的大小为图 16—10 中矩形面积,即为

19

W ? ( p2 ? p1 )(V2 ? V1 ) .又

p2 2T0 2 V2 3T0 3 ? ? , ? ? ,所以有 W ? 1 p1V1 ? 1 nRT0 . 2 2 p1 T0 1 V1 2T0 2

循环过程中属吸热过程的是 A ? B 、 B ? C 在 B 状态时因定容热容量发生突变而造成 的吸热 QB ,吸收的热量分别为 Q AB 、 QBC 、 QB :
QAB ? CV 1 (2T0 ? T0 ) ? ? nRT0 ; QBC ? (CV 2 ? nR)(3T0 ? 2T0 ) ? n(?? ? 1) RT0 ; QB ? (CV 2 ? CV 1 )2T0 ? 2(? ? 1)? nRT0 .

则一循环中吸收的总热量为:
Q ? QAB ? QBC ? QB ? ? nRT0 ? n(?? ? 1) RT0 ? 2(? ? 1)? nRT0 ? n(3?? ? ? ? 1) RT0 .

1 nRT 0 W 2 1 所以循环过程的效率 ? 为 ? ? ? . ? Q n(3?? ? ? ? 1) RT0 2(3?? ? ? ? 1)
例 8、某空调器按卡诺循环运转,其中的做功装置连续工作时所提供的功率为 p0. ⑴夏天, 室外温度为恒定的 T1, 启动空调器连续工作, 最后可将室温降至恒定的 T2. 室 外通过热传导在单位时间内向室内传输的热量正比于(T1-T2) (牛顿冷却定律) ,比例系数 为 A.试用 T1、p0 和 A 来表示 T2. ⑵当室外温度为 30℃时,若这台空调器只有 30%的时间处于工作状态,则室温可维持 在 20℃.试问室外温度最高为多少时,用此空调器仍可使室温维持在 20℃? ⑶冬天,可将空调器吸热、放热反向.试问室外温度最低为多少时,用此空调器可使室温在 20℃?

演练 1 一台电冰箱放在室温为 20 C 的房间里 ,冰箱储藏柜中的温度维持在 5 C . 现每天 有 2.0 ? 10 J 的热量自房间传入冰箱内 , 若要维持冰箱内温度不变 , 外界每天需做多少
7

o

o

功 , 其功率为多少? 设在 5 C 至 20 C 之间运转的致冷机 ( 冰箱 ) 的致冷系数, 是卡诺 致冷机致冷系数的 55% .

o

o

20

21


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