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高考理科数学一轮复习题 第二章 基本初等函数、导数及其应用2015年高考复习5


第 12 课时

导数的应用与定积分

1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 2.会利用导数解决某些实际问题. 3.了解定积分的实际背景、基本思想和概念,了解微积分的基本定理的含义.

[对应学生用书 P40] 【梳理自测】 一、函数的最值 1.(教材改编)函数 f(x)=12x-x3

在区间[-3,3]上的最小值是( ) A.-9 B.-16 C.-12 D.-11 2.函数 y=ln x-x 在 x∈(0,e]上的最大值为( ) A.e B.1 C.-1 D.-e 3.用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积 相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时,在四角截去的 正方形的边长为( ) A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm 4.函数 f(x)=x-ex 在区间[0,1]上的最小值为________. 答案:1.B 2.C 3.B 4.1-e ◆以上题目主要考查了以下内容: 假设函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在[a,b]上 一定能够取得最大值与最小值.若函数在(a,b)内是可导的,该函数的最值必在极值点或区 间端点处取得. 解决优化问题的基本思路

二、定积分和微积分基本定理 1.?3(x2+1)dx=________. 2.(教材改编)直线 x=0,x=2,y=0 与曲线 y=x2 所围成的曲边梯形面积为________. 8 答案:1.12 2. 3 ◆以上题目主要考查了以下内容: (1)定积分的几何意义 如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续且恒有 f(x)≥0,那么定积分?b

?0

?a

f(x)dx 表示由直线 x=a,x=b,y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形 的面积(如图阴影部分),这就是定积分?bf(x)dx 的几何意义.

?a

(2)定积分的性质 ①?bkf(x)dx=k?bf(x)dx(k 为常数);

?a

?a

b ②?b[f1(x)± f2(x)]dx=?bf1(x)dx± ? f2(x)dx;

?a ?a
b

?a

?a

③? f(x)dx=? f(x)dx+? f(x)dx(其中 a<c<b).

?a

c

?c

b

(3)微积分基本定理 一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F′(x)=f(x),那么?bf(x)dx=F(b)

?a

-F(a). 这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式. 【指点迷津】 1.一个区别 极值与最值的区别 极值是指某一点附近函数值的比较,因此,同一函数在某一点的极大(小)值,可以比另 一点的极小(大)值小(大);最大、最小值是指闭区间[a,b]上所有函数值的比较.因而在一般 情况下,两者是有区别的,极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小) 值,但如果连续函数在开区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是 最小值. 2.两个注意 (1)注意实际问题中函数定义域的确定. (2)在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定最 大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较. 3.三个防范 (1)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论; 另外注意函数最值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念. (2)f′(x0)=0 是 y=f(x)在 x=x0 取极值的既不充分也不必要条件.如①y=|x|在 x=0 处 取得极小值,但在 x=0 处不可导;②f(x)=x3,f′(0)=0,但 x=0 不是 f(x)=x3 的极值点. (3)若 y=f(x)可导,则 f′(x0)=0 是 f(x)在 x=x0 处取极值的必要条件.

[对应学生用书 P41] 考向一 函数的最大(小)值与导数 已知函数 f(x)=ex(ax2-2x-2),a∈R 且 a≠0. (1)若曲线 y=f(x)在点 P(2,f(2))处的切线垂直于 y 轴,求实数 a 的值; (2)当 a>0 时,求函数 f(|sin x|)的最小值. 【审题视点】 (1)由 f′(2)=0 解方程求 a. (2)令 t=|sin x|,转化为 a>0 时,f(t)(0≤t≤1)的最小值. 【典例精讲】 由题意得,f′(x)=(ex)′· (ax2-2x-2)+ex· (ax2-2x-2)′ 2 =ex(ax2-2x-2)+ex(2ax-2)=aex(x- )(x+2). a (1)由曲线 y=f(x)在点 P(2, f(2))处的切线垂直于 y 轴, 结合导数的几何意义得 f′(2)=0, 2a-2 2 即 a· e2· (2- )· (2+2)=4ae2· =0,解得 a=1. a a (2)设|sin x|=t(0≤t≤1),则只需求当 a>0 时,函数 y=f(t)(0≤t≤1)的最小值. 2 2 令 f′(x)=0,解得 x= 或 x=-2,而 a>0,即 >-2. a a 2 2 从而函数 f(x)在(-∞,-2)和( ,+∞)上单调递增,在(-2, )上单调递减. a a

2 当 ≥1,即 0<a≤2 时,函数 f(x)在[0,1]上为减函数,ymin=f(1)=(a-4)e; a 2 2 当 0< <1,即 a>2 时,函数 f(x)的极小值即为其在区间[0,1]上的最小值,ymin=f( ) a a 2 =-2e . a 综上可知,当 0<a≤2 时,函数 f(|sin x|)的最小值为(a-4)e;当 a>2 时,函数 f(|sin x|) 2 的最小值为-2e . a 【类题通法】 求函数 f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,首先可判断函数在[a,b]上的单 调性, 若函数在[a, b]上单调递增或单调递减, 则 f(a), f(b)一个为最大值, 一个为最小值. 若 函数在(a,b)上不单调,一般先求(a,b)上 f(x)的极值,再与 f(a),f(b)比较,最大的即为最 大值,最小的即为最小值. 1.(2014· 徐州模拟)已知函数 f(x)=ax3+bx+c 在点 x=2 处取得极值 c-16. (1)求 a,b 的值; (2)若 f(x)有极大值 28,求 f(x)在[-3,3]上的最小值. 解析:(1)因为 f(x)=ax3+bx+c,故 f′(x)=3ax2+b. 由于 f(x)在点 x=2 处取得极值 c-16, ?f′?2?=0, ?12a+b=0, ? ? 故有? 即? ?f?2?=c-16, ?8a+2b+c=c-16, ? ?
? ? ?12a+b=0, ?a=1, 化简得? 解得? ?4a+b=-8, ?b=-12. ? ? 3 (2)由(1)知 f(x)=x -12x+c,f′(x)=3x2-12. 令 f′(x)=0,得 x1=-2,x2=2. 当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0, 故 f(x)在(-∞,-2)上为增函数; 当 x∈(-2,2)时,f′(x)<0, 故 f(x)在(-2,2)上为减函数; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0, 故 f(x)在(2,+∞)上为增函数. 由此可知 f(x)在 x=-2 处取得极大值 f(-2)=16+c, f(x)在 x=2 处取得极小值 f(2)=c-16. 由题设条件知 16+c=28,解得 c=12. 此时 f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4,因此 f(x)在[-3,3]上的 最小值为 f(2)=-4. 考向二 导数在实际问题中的应用

(2014· 泰安模拟)某种产品每件成本为 6 元, 每件售价为 x 元(x>6), 年销售为 u 21 585 2 ? 万件,若已知 -u 与? ? x- 4 ? 成正比,且售价为 10 元时,年销量为 28 万件. 8 (1)求年销售利润 y 关于售价 x 的函数关系式; (2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润. 【审题视点】 利用待定系数法求出比例系数,从而确定 u,可写出 y 的函数,根据导 数求出最值. 21?2 585 【典例精讲】 (1)设 -u=k? ?x- 4 ? . 8 ∵售价为 10 元时,年销量为 28 万件, 21?2 585 ∴ -28=k? ?10- 4 ? ,解得 k=2, 8

21?2 585 ∴u=-2? ? x- 4 ? + 8 =-2x2+21x+18. ∴y=(-2x2+21x+18)(x-6) =-2x3+33x2-108x-108.(x>6). (2)y′=-6x2+66x-108 =-6(x2-11x+18) =-6(x-2)(x-9). 令 y′=0,得 x=2(∵x>6,舍去)或 x=9, 显然,当 x∈(6,9)时,y′>0; 当 x∈(9,+∞)时,y′<0, ∴函数 y=-2x3+33x2-108x-108 在(6,9)上是增加的;在(9,+∞)上是减少的, ∴当 x=9 时,y 取最大值,且 ymax=135, ∴售价为 9 元时,年利润最大,最大年利润为 135 万元. 【类题通法】 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤: 1.分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量 之间的函数关系 y=f(x),根据实际意义确定定义域; 2.求函数 y=f(x)的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0 得出定义域内的实根,确定极值点; 3.比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小,获得所求的最大(小)值; 4.还原到原实际问题中作答.

2.2013 年“十一”长假期间,各旅游景区人数发生“井喷”现象,给旅游区的管理提 出了严峻的考验,“十一”后,某旅游区管理部门对该区景点进一步改造升级,提高旅游增 51 x x 加值, 经过市场调查, 旅游增加值 y 万元与投入 x 万元之间满足: y= x-ax2-ln , 50 10 2x-12 1 ∈[t,+∞),其中 t 为大于 的常数.当 x=10 时,y=9.2. 2 (1)求 y=f(x)的解析式和投入 x 的取值范围; (2)求旅游增加值 y 取得最大值时对应的 x 值. 51 1 解析:(1)∵当 x=10 时,y=9.2,即 ×10-a×102-ln 1=9.2,解得 a= . 50 100 51 x2 x ∴f(x)= x- -ln . 50 100 10 x 1 ∵ ≥t 且 t> , 2 2x-12 12t ∴6<x≤ , 2t-1 12t 即投入 x 的取值范围是?6,2t-1?. ? ? (2)对 f(x)求导, 51 x 1 得 f′(x)= - - 50 50 x 2 x -51x+50 ?x-1??x-50? =- =- . 50x 50x 令 f′(x)=0,得 x=50 或 x=1(舍去). 当 x∈(6,50)时,f′(x)>0,且 f(x)在(6,50]上连续,因此,f(x)在(6,50]上是增函数; 当 x∈(50,+∞)时,f′(x)<0,且 f(x)在[50,+∞)上连续,因此,f(x)在[50,+∞)上 是减函数.∴x=50 为极大值点. 1 25? 12t 当 ≥50,即 t∈? ?2,44?时, 2t-1 投入 50 万元改造时取得最大增加值;

25 12t ? <50,即 t∈? ?44,+∞?时, 2t-1 12t 投入 万元改造时取得最大增加值. 2t-1 当 6< 考向三 定积分及应用 π sin x?0≤x≤ ? 2 (1)已知函数 f(x)= ,则?πf(x)dx=________. 2 π ?0 - x+2? <x≤π? π 2

? ? ?

(2)(2014· 北京市东城区高三检测)图中阴影部分的面积等于________.

【审题视点】

(1)根据分段函数把?πf(x)dx 分两段积分.

?0

(2)把面积看作? f(x)dx. π 【典例精讲】 由已知得?πf(x)dx=∫ 0sin xdx+ 2 ? 2 π x2 π π ∫ (- x+2)dx=-cos x| 0+(2x- )| π = +1. 2 π 2 π 2 4
ππ 0

?0

1

(2)所求面积为?13x2dx=x3| 1 0=1. π (1) +1 (2)1 4 【类题通法】 (1)定积分的计算方法: ①利用定积分的几何意义, 转化为求规则图形(三角形、 矩形、 圆或其一部分等)的面积. ②应用微积分基本定理: (2)求定积分?bf(x)dx 时,可按以下两步进行: 【答案】

?0

?a

第一步:求使 F′(x)=f(x),成立的 F(x). 第二步:计算 F(b)-F(a). (3)求曲边图形面积的方法与步骤: ①画图,并将图形分割为若干个曲边梯形; ②对每个曲边梯形确定其存在的范围,从而确定积分的上、下限; ③确定被积函数; ④求出各曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值的和. 1 1 3.(2014· 长春市高三调研)设 a=?1x- dx,b=1-?1x dx, 3 ? ? 2 c=?1x3dx,则 a、b、c 的大小关系为(
0 0

?0

)

A.a>b>c C.a>c>b D.b>c>a

B.b>a>c

1 x- +1 3 1 解析:选 A.由题意可得 a=?1x- dx= | 3 1 ?0 - +1 3 3 2 3 = x |1 = ; 2 3 0 2 3 x 2 1 2 1 b=1-?1x dx=1- | 1 0=1-( -0)= ; 2 3 3 3 ?0 2 x4 1 c=?1x3dx= | 1 0= , 4 4 ?
0

1 0

综上 a>b>c,故选 A.

[对应学生用书 P42] 函数应用题的规范解答 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售 a 价格 x(单位:元/千克)满足关系式 y= +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售 x- 3 价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获 得的利润最大. 【审题视点】 根据 x=5,y=11,待定 a 的值,从而写出 y 的函数.再构造利润函数, 求其最大值. 【思维流程】 根据题意,待定 a. 写销售量的函数 y. 写利润函数 f(x),并写出定义域. 求导函数 f′(x). 研究单调性,求极大值. 说明极大值为最大值. 回答题目结论. 【规范解答】 (1)因为 x=5 时,y=11, a 所以 +10=11,所以 a=2.……2 分 2 2 (2)由(1)可知,该商品每日的销售量 y= +10(x-6)2,…………3 分 x-3 所以商场每日销售该商品所获得的利润 2 f(x)=(x-3)· [ +10(x-6)2] x-3 =2+10(x-3)(x-6)2.(3<x<6)………………7 分 从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]= 30(x-4)(x-6).………………9 分 于是,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(3,4) + 单调递增

4 0 极大值 42

(4,6) - 单调递减

由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以,当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值等于 42. ……12 分 ∴ 当销售价格为 4 元 / 千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大 . …… 13 分 【规范建议】 正确化简销售量函数 y=f(x)并求导是解题的关键,确定函数的极大值 是解答的中心内容,解题最后要答出题目所问问题. 1.(2013· 高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 25 v(t)=7-3t+ (t 的单位: s, v 的单位: m/s)行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离(单 1+t 位:m)是( ) 11 A.1+25ln 5 B.8+25ln 3 C.4+25ln 5 D.4+50ln 2 解析:选 C.首先求出速度等于 0 时的时刻,从而得到汽车行驶的时间,然后利用定积 分求出汽车行驶的距离. 8 25 ? 由 v(t)=7-3t+ =0,可得 t=4? ?t=-3舍去?,因此汽车从刹车到停止一共行驶了 4 1+t s,此期间行驶的距离为 25 ∫40v(t)dt=∫40?7-3t+1+t?dt ? ? 32 ??4 = ? ?7t-2t +25ln?t+1???0=4+25ln 5. 1 2.若 S1=?2x2dx,S2=?2 dx,S3=?2exdx,则 S1,S2,S3 的大小关系为( ) ? ?x ?
1 1 1

A.S1<S2<S3 B.S2<S1<S3 C.S2<S3<S1 D.S3<S2<S1 1 1 1 7 3 解析:选 B.S1=?2x2dx= x3| 2 1= ×2 - = , 3 3 3 3 ?
1

S2=? dx=ln x| ?x
1

21

2 1=ln

2,

2 S3=?2exdx=ex| 2 1=e -e=e(e-1),

7 ln 2<ln e=1,且 <2.5<e(e-1), 3 7 所以 ln 2< <e(e-1),即 S2<S1<S3. 3 3.(2013· 高考浙江卷)已知 a∈R,函数 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax. (1)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若|a|>1,求 f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值. 解析:(1)当 a=1 时,f′(x)=6x2-12x+6,所以 f′(2)=6. 又因为 f(2)=4,所以切线方程为 y-4=6(x-2),即 6x-y-8=0. (2)记 g(a)为 f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值. f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a). 令 f′(x)=0,得 x1=1,x2=a.

?1

当 a>1 时, x 0 f′(x) f(x) 0

(0,1) + 单调递增

1 0 极大值 3a-1

(1,a) - 单调递减

a 0 极小值 a2(3- a)

(a,2a) + 单调递增

2a

4a3

比较 f(0)=0 和 f(a)=a2(3-a)的大小可得 ? ?0,1<a≤3, g(a)=? 2 ?a ?3-a?,a>3. ? 当 a<-1 时, x 0 (0,1) 1 0 f′(x) - 极小值 3a f(x) 0 单调递减 -1 得 g(a)=3a-1. 综上所述,f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为 3a-1,a<-1, ? ? g(a)=?0,1<a≤3, ? ?a2?3-a?,a>3.

(1,-2a) + 单调递增

-2a -28a3-24a2

4.(2013· 高考重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池 的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建 造成本为 100 元/平方米, 底面的建造成本为 160 元/平方米, 该蓄水池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大. 解析: (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh=200πrh(元), 底面的总成本为 160πr2 元, 2 所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr )元. 又根据题意 200πrh+160πr2=12 000π, 1 所以 h= (300-4r2),从而 5r π V(r)=πr2h= (300r-4r3). 5 因为 r>0,又由 h>0 可得 r<5 3,故函数 V(r)的定义域为(0,5 3). π (2)因为 V(r)= (300r-4r3), 5 π 所以 V′(r)= (300-12r2). 5 令 V′(r)=0,解得 r1=5,r2=-5(因为 r2=-5 不在定义域内,舍去). 当 r∈(0,5)时,V′(r)>0,故 V(r)在(0,5)上为增函数; 当 r∈(5,5 3)时,V′(r)<0,故 V(r)在(5,5 3)上为减函数. 由此可知,V(r)在 r=5 处取得最大值,此时 h=8. 即当 r=5,h=8 时,该蓄水池的体积最大.


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