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数学选修模块测试题(北师大版2-2)


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数 学 选 修 模 块 测 试
选修 2-2 (北师大版)
考试时间:90 分钟



试卷满分:100 分

一、选择题:本大题共 14 小题,每小题 4 分,共 56 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一

项是符合要求的. 1. 计算 i ? i ?
2 4

A. ? i

B. ? 1

C. 0

D. 1

2.设函数 f ( x) ? sin x ,则 f ?( x ) 等于 A. sin x B. ? sin x
3

C. cos x

D. ? cos x

3.如果质点按规律 s ? 2t ? 3t (距离单位: m ,时间单位: s )运动,则质点在 3s 时的 瞬时速度为 A. 57m/s 4.计算 A. B. 55m/s C. 54 m/s D. 50 m/s

?

1 0

x2 dx ?
B.

1 4

1 3

C.

1 2

D. 1

5. 复数 z ?

1? i 在复平面上对应的点位于 i
B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限 6.已知函数 f ( x) ? xe x , 则 f ?( x ) 等于 A. e
x

B. x e

x

C. e x ( x ? 1)

D. x ln x

7.函数 y ? A. ? 1

1 在点 (1, 1) 处切线的斜率为 x
B. 0 C. 1 D. 2

8. 若一个命题的结论是 “直线 l 在平面 ? 内” ,则用反证法证明这个命题时,第一步应作 的假设为 A.假设直线 l // 平面 ? C.假设直线 l ? 平面 ? 9. 关于函数 f ( x) ? e ? 2 ,下列结论正确的是
x

B.假设直线 l ? 平面 ? 于点 A D.假设直线 l ? 平面 ?

A. f ( x) 没有零点 C. f ( x) 有极大值点
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B. f ( x) 没有极值点 D. f ( x) 有极小值点

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10. “因为无理数是无限小数,而 在以上三段论推理中 A.推理形式错误

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1 1 是无限小数,所以 是无理数.” 3 3
B.大前提错误

C.小前提错误 D.大前提、小前提、推理形式均正确 11.如图,直线 l 是曲线 y ? f ( x) 在 x ? 4 处的切线,则 f ?( 4) = A.

1 2
5 3

y
(4 , 5)

l
y ? f ( x)

B. 3 C. 4 D. 5

x
O
4

12.曲线 y ? sin x 与 x 轴在区间 [0, ? ] 上所围成的图形的面积是 A. 0 B. 2 C. ? 2 D. 4

13.直线 y ? x 是曲线 y ? a ? ln x 的一条切线,则实数 a 的值为 A. ? 1 B. e C. ln 2 D. 1

14. 现有一段长为 18m 的铁丝,要把它围成一个底面一边长为另一边长 2 倍的长方体形状 的框架,当长方体体积最大时,底面的较短边长是 A. 1 m C. 0.75 m B. 1.5 m D. 0.5 m

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上.
2 15.若 a ? bi ? i ,其中 a 、 b ? R , i 是虚数单位,则 a ? b ? ___________.

16.函数 f ( x) ? ln( x ?1) 的导数是___________. 17.对于平面几何中的命题: “夹在两条平行线之间的平行线段相等” ,在立体几何中,类比 上述命题,可以得到命题: “________________________________________” , 这个类比命题的真假性是_________. 18. 右图是函数 y ? f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 的图象, 给出下列命题: ① ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点; ② 1 是函数 y ? f ( x) 的极值点; ③ y ? f ( x) 在 x ? 0 处切线的斜率小于零;
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y

x O 1
2

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④ y ? f ( x) 在区间 (?2, 2) 上单调递增. 则正确命题的序号是 . (写出所有正确命题的序号)

三、解答题:本大题共 3 小题,共 28 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 19. (本小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x . (Ⅰ)求 f ?( 2) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间.

20. (本小题满分 10 分) 数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ?1 ? (Ⅰ)求 a2 , a3 , a4 的值; (Ⅱ)归纳 {an } 的通项公式,并用数学归纳法证明.

2an ( n ? N* ) . an ? 2

21. (本小题满分 10 分) 设 f ( x) ?

1? x ? ax (a ? 0) . ax

(Ⅰ)判断函数 f ( x ) 在 (0, ??) 的单调性; (Ⅱ)设 g (a ) 为 f ( x ) 在区间 [1, 2 ] 上的最大值,写出 g (a ) 的表达式.

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一、选择题(每小题 4 分,共 56 分) 1. C 8. C 2. C 9. B 3. A 10.A 4. B 11.A 5. C 12.B 6. C 13.D 7. A 14.A

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 15. ? 1 16.

1 x ?1

17.夹在两个平行平面之间的平行线段相等;真命题. 18. ①④

三、解答题(解答题共 28 分) 19. (本小题满分 8 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x2 ? 3 ,所以 f ?(2) ? 9 . (Ⅱ) f ?( x) ? 3x2 ? 3 , 解 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? ?1 . 解 f ?( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? 1 . 所以 (??, ?1) ,(1, ??) 为函数 f ( x ) 的单调增区间,(?1,1) 为函数 f ( x ) 的单调减区间. 20. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)计算得 a2 ?

2 1 2 2 , a3 ? ? , a4 ? . 3 2 4 5 2 (Ⅱ)根据计算结果,可以归纳出 an ? . n ?1 2 ? 1 ,与已知相符,归纳出的公式成立. 当 n ? 1 时, a1 ? 1?1 2 * 假设当 n ? k ( k ? N )时,公式成立,即 ak ? , k ?1 2 2? 2ak 2 k ?1 ? 4 ? 那么, ak ?1 ? . ? 2 ak ? 2 2 k ? 4 ( k ? 1) ? 1 ?2 k ?1 所以,当 n ? k ? 1 时公式也成立. 2 * 综上, an ? 对于任何 n ? N 都成立. n ?1

21. (本小题满分 10 分)
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解: (Ⅰ)由已知 f ?( x ) ? a ?

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1 , ax 2

注意到 a ? 0 , x ? (0, ??) ,

1 1 ;解 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? . a a 1 1 所以 ( , ??) 为函数 f ( x ) 的单调增区间, (0, ) 为函数 f ( x ) 的单调减区间. a a
解 f ?( x) ? 0 ,得 x ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f ( x) 的最大值为 f (2) ? 2a ? ; 2a a 1 1 当 ? 2 ,即 0 ? a ? 时, f ( x ) 的最大值为 f (1) ? a ; a 2 1 1 当 1 ? ? 2 ,即 ? a ? 1 时, a 2
当 因为 f (2) ? f (1) ? 2a ?

1 2a 2 ? 1 ?a ? , 2a 2a

所以,当

1 2 时, f ( x ) 的最大值为 f (1) ? a , ?a? 2 2



1 2 , ? a ? 1时, f ( x) 的最大值为 f (2) ? 2a ? 2a 2

? 1 2 , ? 2a ? , a ? ? 2 a 2 综上, g (a) ? ? ? a, 0 ? a ? 2 . ? ? 2

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