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1.2 集合之间的关系


第一章 集合和命题

1.1 集合及其表示法(续)

1.2 集合之间的关系

一、子集 对于两个集合A和B,如果集合A中任何一个元素 那么集合A叫做集合B的子集. 都属于集合B,

记作
读作 “ A 包含于 B ”

A? B

例 {1,3,5} ? {1, 2,3, 4,5}

Z ?Q 例 “任何一个整数都是有理数” 因此

一、子集 对于两个集合A和B,如果集合A中任何一个元素 那么集合A叫做集合B的子集. 都属于集合B,

记作
读作 “ A 包含于 B ”

A? B

也可记作 B ? A ,读作 “ B 包含 A ” 规定 空集是任何集合的子集! 即 ? ? A

思考:A ? A, ? ? ? ,为什么?

例1. 设 A, B, C 是三个集合, 若A? B且 B?C , 试证: A ? C 证:为证 A ? C ,只需证明

文氏图 图示法:

A

B

C

A 中任意一个元素都在 C 中. 任取 A 中的一个元素 x , 由 A ? B 知 x 必是 B 的一个元素. 从 B ? C 也知 x 是 C 的一个元素. 因此 A ? C 证毕

包含关系具有传递性.

一 、子集的概念( A ? B , ? ? A,A ? A )

课堂练习1
(1)写出集合 M

? {a, b, c}的全部子集。

判断下列两个集合是否存在包含关系:

x ? 6m, m ? Z},B ? {x| x ? 2k , k ? Z} A ? {x | ?1 ? x ? 2, x ? R},B ? {x | 0 ? x ? 3, x ? R} (3)
(4) N 与
*

(2) A ? {x|

Z?

二、相等的集合 定义 如果集合A的每一个元素都是集合B的元素,

而且集合B的每一个元素都是集合A的元素,那么
集合A和集合B是相等的. 记作

A?B

读作 “集合 A 等于 B 集合”
显然 若 A ? B 且 B ? A,则 A ? B

思考:如何说明空集 ? 只有“一个”?

例2.试判定下列两个集合的包含关系或相等关系 并简述理由. (1) ? ? {x | ?2 ? x ? ?3}

(2) {x | x ? 5}

?

{x | x ? 6}

(3) {n | n 是12的正约数 }

? ?

{1, 2,3, 4,6,8,12}

(4) {n | n 是4的正整数倍 }

{n | n ? 2k , k ? Z ? }

思考 当{x | x ? 5} ? {x | x ? a} 时, a 的取值范围是什么?a ? 5

一 、子集的概念( A ? B , ? ? A,A ? A ) 二、集合的相等( A ? B: A ? B 并且 B ? A )

课堂练习2
(1)用最精确的集合关系符号 ? , ?, ? 填空

B ? {x | x ? A}
2

b (2){ 0, a , a ? b } ? { a, ,1 } ,求实数a,b a

?



三、真子集 对于两个集合 A 和 B , 如果 A ? B ,且 B 中至少有一个元素不属于 A 那么集合 A 叫做集合 B 的真子集. 记作

? A) ( B A? B ? ?
N ?

读作 “ A 真包含于B ” (“ B 真包含 A ”)

思考: Z ? ? ?

? A

空集是 任何非空集合的真子集!

例3.求出所有符合条件的集合 C (1) C ? {1, 2,3}
(2) C ? {a, b}

(3) {1, 2,3} ? C ? {1, 2,3, 4,5} 解: (1) C 可以是以下集合:

?,{1},{2},{3},{1, 2},{1,3},{2,3},{1, 2,3} (2) C 可以是以下集合: ?,{a},{b} (3) C 可以是以下集合: {1, 2,3, 4},{1, 2,3,5},{1, 2,3, 4,5} 解毕

一 、子集的概念( A ? B , ? ? A,A ? A ) 二、集合的相等( A ? B: A ? B 并且 B ? A )

三、真子集
对于两个集合A、B,如果 A ? B ,并且B中至少有一个 元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,记作 A ? ?B 或 B? ?A.

课堂练习3
(1)设 A ? {1,2,3,4} ,B ? {1,2} ,试求集合C, 使 B? C? ?A (2)已知集合 A ? {x | x2 ? 2 x ? 8 ? 0}, B ? {x | ax ?1 ? 0}, 满足B ? A,求实数a的值。

(选用)例4.已知 A ? {x | x ? 2k ? 1, k ? Z}, B ? {x | x 是被4除余3的整数}, 判断 A, B 之间关系 并证明之. 分析: A 是奇数集, 所有被4除余3的整数都是奇数, 但是奇数被4除得的余数可能为3也可能为1. 证: B ? {x | x ? 4k ? 3, k ? Z } 根据其元素特点知: 从集合 B 中任取一个元素 x , 存在一个整数 k0 ? Z ,使得 x ? 4k0 ? 3 ? x ? 4k0 ? 3 ? 2(2k0 ? 1) ? 1 且 2k0 ? 1? Z ? x ? A 因此 B ? A 又 ? 1 ? A 且 1 ? B 因此 B ? A 证毕

一 、子集的概念( A ? B , ? ? A,A ? A ) 二、集合的相等( A ? B: A ? B 并且 B ? A )

三、真子集( A ? ? B : A ? B 并且 A ? B)

相等的集合 A ? B 子 集 A? B 真子集
A? ?B


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