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如何用待定系数法解高中数学


如何用待定系数法解高中数学 要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数 的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式 f(x) ? g(x)的充要 条件是:对于一个任意的 a 值,都有 f(a) ? g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相 等。 待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程。使用待定系数法,就是把具

有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个 问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式, 如果具有,就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求 复数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定 系数法求解。 使用待定系数法,它解题的基本步骤是: 第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式; 第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程; 第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析: ①利用对应系数相等列方程; ②由恒等的概念用数值代入法列方程; ③利用定义本身的属性列方程; ④利用几何条件列方程。 比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程:首先设所求方程的形式, 其中含有待定的系数; 再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组; 最后解所 得的方程或方程组求出未知的系数, 并把求出的系数代入已经明确的方程形式, 得到所求圆 锥曲线的方程。 Ⅰ、再现性题组:

x ?1 +m,f(x)的反函数 f (x)=nx-5,那么 m、n 的值依次为_____。 2 5 5 5 5 A. , -2 B. - , 2 C. , 2 D. - ,-2 2 2 2 2 1 1 2 2. 二次不等式 ax +bx+2>0 的解集是(- , ),则 a+b 的值是_____。 2 3
1. 设 f(x)= A. 10
3

B. -10
10

C. 14
5

D. -14

3. 在(1-x )(1+x) 的展开式中,x 的系数是_____。 A. -297 B.-252 C. 297 D. 207

4. 函数 y=a-bcos3x (b<0)的最大值为

3 1 ,最小值为- ,则 y=-4asin3bx 的最小 2 2

正周期是_____。 5. 与直线 L:2x+3y+5=0 平行且过点 A(1,-4)的直线 L’的方程是_______________。

y2 6. 与 双 曲 线 x - = 1 有 共 同 的 渐 近 线 , 且 过 点 (2,2) 的 双 曲 线 的 方 程 是 4
2

____________。

x ?1 +m 求出 f (x)=2x-2m,比较系数易求,选 C; 2 1 1 1 1 2 2 小题:由不等式解集(- , ),可知- 、 是方程 ax +bx+2=0 的两根,代入 2 3 2 3
【简解】1 小题:由 f(x)= 两根,列出关于系数 a、b 的方程组,易求得 a+b,选 D;
5 2 3 小题:分析 x 的系数由 C 10 与(-1)C 10 两项组成,相加后得 x 的系数,选 D;
5 5

4 小题: 由已知最大值和最小值列出 a、 b 的方程组求出 a、 b 的值, 再代入求得答案

2? ; 3

5 小题: 设直线 L’方程 2x+3y+c=0, 点 A(1,-4)代入求得 C=10, 即得 2x+3y+10=0; 6 小题: 设双曲线方程 x - Ⅱ、示范性题组:
2

x2 y2 y2 =λ , 点(2,2)代入求得λ =3, 即得方程 - =1。 4 3 12

mx 2 ? 4 3x ? n 例1. 已知函数 y= 的最大值为 7,最小值为-1,求此函数式。 x2 ?1
【分析】求函数的表达式,实际上就是确定系数 m、n 的值;已知最大值、最小值实际 是就是已知函数的值域, 对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到 “判别式法” 。 【解】 函数式变形为: (y-m)x -4 3 x+(y-n)=0, x∈R, 由已知得 y-m≠0 ∴ △=(-4 3 ) -4(y-m)(y-n)≥0 即: y -(m+n)y+(mn-12)≤0 ① 不等式①的解集为(-1,7),则-1、7 是方程 y -(m+n)y+(mn-12)=0 的两根, 代入两根得: ?
2 2 2 2

?1 ? ( m ? n) ? mn ? 12 ? 0 ?49 ? 7( m ? n) ? mn ? 12 ? 0

解得: ?

? m ? 5 ?m ? 1 或? ? n ? 1 ?n ? 5

5x 2 ? 4 3x ? 1 x 2 ? 4 3x ? 5 ∴ y= 或者 y= x2 ?1 x2 ?1
此题也可由解集(-1,7)而设(y+1)(y-7)≤0,即 y -6y-7≤0,然后与不等式①比较 系数而得: ?
2

?m ? n ? 6 ,解出 m、n 而求得函数式 y。 ?mn ? 12 ? ?7

【注】 在所求函数式中有两个系数 m、n 需要确定,首先用“判别式法”处理函数值域 问题,得到了含参数 m、n 的关于 y 的一元二次不等式,且知道了它的解集,求参数 m、n。 两种方法可以求解,一是视为方程两根,代入后列出 m、n 的方程求解;二是由已知解集写 出不等式,比较含参数的不等式而列出 m、n 的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的

解集概念理解透彻,也要求理解求函数值域的“判别式法” :将 y 视为参数,函数式化成含 参数 y 的关于 x 的一元二次方程,可知其有解,利用△≥0,建立了关于参数 y 的不等式,解 出 y 的范围就是值域,使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。 例 2. 设椭圆中心在(2,-1),它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直,且此焦点与长轴 较近的端点距离是 10 - 5 ,求椭圆的方程。 【分析】求椭圆方程,根据所给条件, 确定几何数据 a、b、c 之值,问题就全部解决了。 设 a、b、c 后,由已知垂直关系而联想到勾股定理建立 y B’ 一个方程,再将焦点与长轴较近端点的距离转化为 a-c x 的值后列出第二个方程。 【解】 设椭圆长轴 2a、短轴 2b、焦距 2c,则|BF’| A F O’ F’ A’ =a



?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 2 2 ?a ? a ? ( 2b) ? ?a ? c ? 10 ? 5

? ?a ? 10 解得: ? ? ?b ? 5

B

∴ 所求椭圆方程是:

x2 y2 + =1 10 5

也可有垂直关系推证出等腰 Rt△BB’F’后,由其性质推证出等腰 Rt△B’O’F’,再进行如

?b ? c ? 下列式: ?a ? c ? 10 ? 5 ? 2 2 2 ?a ? b ? c

,更容易求出 a、b 的值。

【注】 圆锥曲线中,参数(a、b、c、e、p)的确定,是待定系数法的生动体现;如何 确定,要抓住已知条件,将其转换成表达式。在曲线的平移中,几何数据(a、b、c、e)不 变,本题就利用了这一特征,列出关于 a-c 的等式。 一般地, 解析几何中求曲线方程的问题, 大部分用待定系数法, 基本步骤是: 设方程 (或 几何数据)→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。 例 3. 是否存在常数 a、b、c,使得等式 1·2 +2·3 +?+n(n+1) =
2 2 2 2

n( n ? 1) (an 12

+bn+c)对一切自然数 n 都成立?并证明你的结论。 (89 年全国高考题)

【分析】 是否存在, 不妨假设存在。 由已知等式对一切自然数 n 都成立, 取特殊值 n=1、 2、3 列出关于 a、b、c 的方程组,解方程组求出 a、b、c 的值,再用数学归纳法证明等式 对所有自然数 n 都成立。 【解】假设存在 a、b、c 使得等式成立,令:n=1,得 4= =

1 (a+b+c);n=2,得 22 6

1 (4a+2b+c);n=3,得 70=9a+3b+c。整理得: 2

?a ? b ? c ? 24 ?a ? 3 ? ? ?4a ? 2b ? c ? 44 ,解得 ?b ? 11 , ?9a ? 3b ? C ? 70 ?c ? 10 ? ?

于是对 n=1、2、3,等式 1·2 +2·3 +?+n(n+1) = 成立,下面用数学归纳法证明对任意自然数 n,该等式都成立:

2

2

2

n( n ? 1) 2 (3n +11n+10) 12

k ( k ? 1) 2 (3k +11k+10); 12 k ( k ? 1) 2 2 2 2 2 当 n=k+1 时,1·2 +2·3 +?+k(k+1) +(k+1)(k+2) = (3k +11k 12 k ( k ? 1) ( k ? 1)( k ? 2 ) 2 2 +10) +(k+1)(k+2) = (k+2) (3k+5) +(k+1)(k+2) = (3k 12 12 ( k ? 1)( k ? 2 ) 2 2 +5k+12k+24)= [3(k+1) +11(k+1)+10], 12
假设对 n=k 时等式成立, 即 1· 2 +2· 3 +?+k(k+1) =
2 2 2

也就是说,等式对 n=k+1 也成立。 综上所述,当 a=8、b=11、c=10 时,题设的等式对一切自然数 n 都成立。 【注】建立关于待定系数的方程组,在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中,也体 现了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时,可以按照先试值、再猜想、最 后归纳证明的步骤进行。 本题如果记得两个特殊数列 1 +2 +?+n 、 1 +2 +?+n 求 和的公式, 也可以抓住通项的拆开, 运用数列求和公式而直接求解: 由 n(n+1) =n +2n
2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 3 2 3 3 3 2 2 2

+n 得 S n =1·2 +2·3 +?+n(n+1) =(1 +2 +?+n )+2(1 +2 +?+n )+

n 2 ( n ? 1) 2 n( n ? 1)( 2n ? 1) n( n ? 1) n( n ? 1) 2 (1 + 2 +?+ n) = +2× + = (3n + 11n + 12 2 6 4
10),综上所述,当 a=8、b=11、c=10 时,题设的等式对一切自然数 n 都成立。 例 4. 有矩形的铁皮,其长为 30cm,宽为 14cm,要从四角上剪掉边长为 xcm 的四个小正 方形,将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子,问 x 为何值时,矩形盒子容积最大,最大容积 是多少? 【分析】实际问题中,最大值、最小值的研究,先由已知条件选取合适的变量建立目标 函数,将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。 【解】 依题意,矩形盒子底边边长为(30-2x)cm,底边宽为(14-2x)cm,高为 xcm。 ∴ 盒子容积 V=(30-2x)(14-2x)x=4(15-x)(7-x)x , 显然:15-x>0,7-x>0,x>0。 设 V=

4 (15a-ax)(7b-bx)x (a>0,b>0) ab

要使用均值不等式,则 ?

?? a ? b ? 1 ? 0 ?15a ? ax ? 7b ? bx ? x

解得:a=

3 1 , b= , x=3 。 4 4

15 21 64 15 x 21 3 64 4 ? 4 3 64 从而 V= ( - )( - x)x≤ ( ) = ×27=576。 3 4 4 4 3 3 4 3
所以当 x=3 时,矩形盒子的容积最大,最大容积是 576cm 。
3

【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件,当条件不满足时要凑配系数,可以用 “待定系数法”求。本题解答中也可以令 V=

4 4 (15a-ax)(7-x)bx 或 (15-x)(7a- ab ab

ax)bx,再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组,求出三项该进行凑配的系数,本题 也体现了“凑配法”和“函数思想” 。 Ⅲ、巩固性题组: 1. 函数 y=log a x 的 x∈[2,+∞)上恒有|y|>1,则 a 的取值范围是_____。 A. 2>a> 1 且 a≠1
2
2

B. 0<a< 1 或 1<a<2
2
2

C. 1<a<2

D. a>2 或 0<a< 1

2

2. 方程 x +px+q=0 与 x +qx+p=0 只有一个公共根,则其余两个不同根之和为 _____。 A. 1

B. -1

C. p+q
8

D. 无法确定

3. 如果函数 y=sin2x+a·cos2x 的图像关于直线 x=- π 对称,那么 a=_____。 A.
2

B. - 2

C. 1

D. -1

1 2 n 4. 满足 C 0 n +1·C n +2·C n +?+n·C n <500 的最大正整数是_____。

A.

4

B. 5

C. 6

D. 7
2

5. 无穷等比数列{a n }的前 n 项和为 S n =a- 1n , 则所有项的和等于_____。 A. -1
2
9

B. 1
2

C.

1 2
9

D.与 a 有关

6. (1+kx) =b 0 +b 1 x+b 2 x +?+b 9 x ,若 b 0 +b 1 +b 2 +?+b 9 =-1,则 k= ______。 7. 经过两直线 11x-3y-9=0 与 12x+y-19=0 的交点,且过点(3,-2)的直线方程为 _____________。 8. 正三棱锥底面边长为 2,侧棱和底面所成角为 60°,过底面一边作截面,使其与底 面成 30°角,则截面面积为______________。 9. 设 y=f(x)是一次函数,已知 f(8)=15,且 f(2)、f(5)、(f14)成等比数列,求 f(1) +f(2)+?+f(m)的值。 10. 设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2),对称轴与 x 轴平行,开口向右,直线 y=2x +7 和抛物线截得的线段长是 4 10 , 求抛物线的方程。


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