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【高考新起点】2013届高中数学第1轮 第2章第13讲 指数函数与对数函数课件 文 新课标 (江苏专版)


指数式的大小比较
【例1】 比较下列各组实数的大小. 0.9 ?1? 0.8 , ; 0.3 3.1 0.9 ? 2 ?1.7 , ; 1 -1.5 8 ( ? 3? 4 , , ) . 2
0.9 0.48 1 2 1 3

【解析】1?由函数y=x 的单调性得0.8 ? 0.9 ; ? 由指数函数的单调性得0.9 ? 0.9 ,

所以0.8 ? 0.9 . 2 ?因为1.7 0.3 ? 1,0.93.1 ? 1,所以1.7 0.3 ? 0.93.1. ? 1 -1.5 1.5 8 ( ? 3?因为4 =2 , =2 , ) =2 , 2 1 -1.5 0.9 所以由指数函数的单调性得4 ? ( ) ? 80.48 . 2
0.9 1.8 0.48 1.44 1 2 1 3 1 2 1 3

1 2

1 2

1 2

(1)(2)两组数据的底数不同,指 数也不同,常见方法是寻找中间 量.(1)题,由数的特点,知0.91/2 是 合适的中间量;(2)题,根据指数函数 的性质,1是最合适的中间量;(3)题, 可转化为同底的指数幂的大小比较, 只需应用指数函数的单调性.

【变式练习1】 (1)比较60.7与0.76的大小; (2)若a、b、c都是大于1的正数,且ax<bx<cx , 比较a、b、c的大小.

【解析】(1)因为60.7>1,0.76<1,所以60.7>0.76. (2)设d>1,则y=dx是增函数,对于x>0,当d 增大时,函数值也增大.对于x<0,当d增大 时,函数值减小.于是当x>0时,由ax<bx<cx, 得a<b<c;当x<0时,由ax<bx<cx,得c<b<a.

对数式的大小比较
【例2】 (1)已知loga5>logb5,比较a、b的大小; (2)设f(x)=loga(1-x),g(x)=loga(1+x)(其 中a>1),在公共定义域下,比较f(x)与g(x) 的大小关系.

1 1 【解析】1?当a ? 1,b ? 1时, ? , ? log 5 a log 5 b 即log 5 b ? log 5 a,所以b ? a ? 1; 1 1 当0 ? a ? 1,0 ? b ? 1时, ? , log 5 a log 5 b 即log 5 b ? log 5 a,所以0 ? a ? b ? 1; 当a ? 1,0 ? b ? 1时符合题意.

? 2 ?函数f ? x ? 与g ? x ?的公共定义域是(-1,1).
1? x 因为f ? x ?-g ? x ?=log a ? a ? 1?, 1? x 1? x 所以,当-1 ? x ? 0时, ? 1; 1? x 1? x 1? x 当x=0时, =1;当0 ? x ? 1时, ? 0 ? 1. 1? x 1? x 于是,当x ? (-1,0)时,f ? x ? ? g ? x ?; 当x=0时,f ? x ?=g ? x ?; 当x ? ? 0,1?时,f ? x ? ? g ? x ?.

比较对数的大小,有三种具体情况: ①同底数,不同真数,利用对数函数的单调性 进行判断; ②同真数,不同底数,利用对数换底公式转化 为同底的对数; ③不同底数,也不同真数,利用指数、对数互 化或寻找中间量进行判断.(1)中是同真不同底 的两个对数,用对数换底公式比较简便;(2)题 是函数值大小的比较,一般方法是作差,寻找 自变量的取值范围或临界点,再作判断.

【变式练习2】 (1) 已 知 m , n>0 且 m 、 n 都 不 为 1. 若 logn2<logm2<0,试比较m、n的大小; (2)比较log0.70.8,log1.10.9,1.10.9三个数 的大小.

【解析】1?当m ? 1,n ? 1时,不符合要求; ? 1 1 当0 ? m ? 1,0 ? n ? 1时, ? 0, log 2 n log 2 m 即log 2 m ? log 2 n ? 0,所以0 ? m ? n ? 1.

? 2 ? 观察数的特点,知0 ? log 0.7 0.8 ? 1,
log1.1 0.9 ? 0, 0.9 ? 1, 1.1

于是 log1.1 0.9 ? log 0.7 0.8 ? 1.10.9.

指数函数的综合应用
【例3】 若函数y=a2x+2ax-1(a>0,且 a≠1)在区 间[-1,1]上的最大值是14,求a的值.

【解析】设t=a ,则函数化为关于t的函数
x

f ? t ?=t 2+2t-1=(t+1) 2-2 ? t ? 0 ?. 当a ? 1时,a-1 ? t ? a,ymax=a 2+2a-1=14, 解得a=3或a=-5(舍去); 当0 ? a ? 1时,a ? t ? a-1,ymax=(a-1 ) 2+2a-1 1 1 -1=14,解得a= 或a=- (舍去). 3 5 1 故所求a的值为3或 . 3

将复杂的数学问题转化为熟知的数学问题 是数学化归思想的体现.换元法在数学化归思 想中占有重要的地位.本题作换元后,将函数 转化为f(t)=t2 +2t-1(t>0),使题目的结构一下 子变得清晰起来,因为二次函数在闭区间上存 在最值是我们熟悉的问题.转化中要保证问题 的等价性,一是由t=ax ,需要根据函数ax 的单 调性找出t的取值范围,二是需要分a>1和0<a<1 两种情况进行分类讨论.

【变式练习3】 已知函数y=1+2x+a·4x ,当x≤1时, 恒有y>0,求实数a的取值范围.

【解析】由1+2 x+a ( x ? 1)恒成立.

x

1 ? 2x ? ,得a ? - x 4

1 ? 2x 1 2x 1 x 1 x 1 2 1 令f ? x ?=- x =-( ) -( ) ? [( ) ? ] ? . 4 2 2 2 2 4 1 设t=( ) x, 2 1 2 1 1 则函数转化为f ? t ?=-(t+ ) + ,t ? [ ,+?). 2 4 2 1 3 所以 ? f ? t ? ? max =f ( )=- . ? ? 2 4 3 3 所以a ? - ,即实数a的取值范围是(- ,+?). 4 4

对数函数的应用
【例4】 x 已知函数f ( x-3)=log a (a ? 0,且a ? 1). 6? x ?1? 判断f ? x ?的奇偶性,写出推理过程;

? 2 ?当0 ? a ? 1时,求函数f ? x ?的单调区间.

【解析】令u=x-3,得x=u+3, u?3 于是f ? u ?=log a (-3 ? u ? 3), 3?u 3? x 所以f ? x ?=log a (-3 ? x ? 3). 3? x 3? x 3 ? x -1 =log a ( ) =-f ? x ?, ?1?因为f (-x)=log a 3? x 3? x 3? x 6 =-1- ,它在(-3,3)上是增函数. ? 2 ? 令t= 3? x 3? x 当0 ? a ? 1时,函数y=log at是减函数, 3? x 所以函数f ? x ?=log a (-3 ? x ? 3)是减函数, 3? x 故其单调递减区间是(-3,3).

本题有较强的综合性,首先要通过变 量代换,求出函数f(x)的表达式(防止直接 判断f(x-3)的奇偶性),然后再判断奇偶 性.在研究函数的单调性时,本解答直接 应用了反比例函数的单调性(常见基本函数 的单调性是可以直接应用的),如果一定要 用单调性的定义来解答,也只需讨论 3? x t= (-3 ? x ? 3)的单调性即可. 3? x

【变式练习4】 a 设函数f ? x ?=log a (1- ) ? 0 ? a ? 1?. x ?1? 证明:函数f ? x ? 在(a,+?)上是减函数;

? 2 ? 解不等式f ? x ? ? 1.

【解析】1? 证明:设a ? x1 ? x2, ? x2 ( x1 ? a ) 则f ? x1 ?-f ? x2 ?=log a . x1 ( x2 ? a ) 因为x2 ( x1-a )-x1 ( x2-a )=a ( x1-x2 ) ? 0, x2 ( x1 ? a ) 所以0 ? ? 1, x1 ( x2 ? a ) x2 ( x1 ? a ) 于是f ? x1 ?-f ? x2 ?=log a ? 0, x1 ( x2 ? a ) 所以f ? x1 ? ? f ? x2 ?, 所以函数f ? x ? 在(a,+?)上是减函数.

? 2 ?因为0 ? a ? 1,故由f ? x ? ? 1,
x?a x?a 得 log a ? log a a,则0 ? ? a. x x x?a 当 ? 0时,得x ? 0或x ? a; x x?a a 当 ? a时,得0 ? x ? . x 1? a a 又a ? , 1? a a 所以原不等式的解集为{x | a ? x ? }. 1? a

1.要使 g(x)=3 的取值范围为

x+1

+t 的图象不经过第二象限,则 t .

t≤-3

【解析】 要使 g(x)=3x+1+t 的图象不经过第二象
限,只要 g(0)=31+t≤0,即 t≤-3.

2.若函数y=(log 1 a) x是减函数,则a的
1 ( , 1). 取值范围是 ________________ 2
2

【解析】由0 ? log 1 a ? 1,得0 ? -log 2 a ? 1,
2

1 解得 ? a ? 1. 2

2 3.已知函数f ? x ?=lg( ? a)是奇函数, 1? x (-1,0) 则f ? x ? ? 0的解集为 ____________
【解析】由函数f ? x ? 在x=0处有意义, 知f ? 0 ?=0,得a=-1. 2 1? x 则f ? x ?=lg( ? 1)=lg (-1 ? x ? 1). 1? x 1? x 1? x 1? x 由lg ? 0,得0 ? ? 1, 1? x 1? x 解得-1 ? x ? 0.

4.函数 f(x)=log2(3x+1)的值域为

(0,+∞) .

【解析】因为 3x+1>1,所以 f(x)=log2(3x+1)>log21=0.

1.指数函数的概念、图象和性质

?1? 指数函数y=a x是说明性定义,注意两点:
一是底数范围的规定“ a ? 0且a ? 1 , 二是式子a 没有被其他元素复合,如y=2a ,
x x 1 x

y=a

x-1

,y=a ,y=a +1等都不是指数函数.
x x 2

但要注意:对某些关系式,如y=22x,y=3 数函数.

等通过化简后可转化为y=a x的形式的,是指

(2)讨论指数函数问题时,由于a>1与 0<a<1影响了函数的性质,因此在底数不确 定时,应当对底数作分类讨论. (3)指数函数图象的特点,首先它是R 上的单调函数,当底数a>1时,是R上的增 函数;当0<a<1时,是R上的减函数,值域 为(0,+∞),函数图象恒过定点(0,1),图 象以x轴为渐近线;其次函数y=ax 与函数y =a-x的图象关于y轴对称.

2.对数函数的概念、图象和性质

?1? 对数的定义是说明性定义,只有形
如y=log a x(a ? 0,且a ? 1)的形式才是对数 函数,有两层含义: 一是真数是正数, 二是底数a ? 0,且a ? 1. 对于y=2log a x,y=log a x,y=log a x+1 都不是对数函数.

(2)对数函数y=logax(a>0,且a≠1) 的单调性由底数a的大小决定.当 0<a<1时,y=logax是(0,+∞)上的减 函数;当a>1时,y=logax是(0,+∞) 上的增函数.设u=u(x)>0,y=logau是 复合函数,只要u>0成立,那么函数y =logau的值域就是R.

? 3? 掌握对数值的变化规律:对数函数
log a x(a ? 0,且a ? 1),当0 ? a ? 1,0 ? x ? 1或 a ? 1,x ? 1时,对数值是正数;如果a ? 1,0 ? x ? 1或0 ? a ? 1,x ? 1,则对数值是负数;当 1 1 x=1时,对数值为0.如 log 2 ? 0, 1 ? 0.从y1 log 3 2 3 =log 2 x,y2=log 3 x的大小比较中,要掌握这 样的规律:x ? 1 ? log 2 x ? log 3 x;? x ? 1 ? 0 log 2 x ? log 3 x;从y3=log 1 x,y4=log 1 x的大小
2 3

比较中可得到:x ? 1 ? y3 ? y4, 0 ? x ? 1 ? y3 ? y4 .

3.由指数函数、对数函数和其 它函数构成的复合函数的定义域、值 域、单调性、奇偶性的讨论,要同时 考虑定义域和复合函数的相关知识.


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