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2008年(第25届)-2013年(第30届)全国中学生物理竞赛预赛试题及参考答案汇总


2013 年第 30 届全国中学生物理竞赛预赛试卷
本卷共 16 题,满分 200 分. 一、选择题.本题共 5 小题,每小题 6 分.在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一项符合题意,有的 小题有多项符合题意.全部选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分. 1. 下列说法正确的是: A.一束单色光从真空射入 时,在玻璃表面处发生折射现象

,这与光在玻璃中的传播速度不同于在真 空中的传播速度有关 B.白纸上有两个非常靠近的小黑斑,实际上是分开的,没有重叠部分.但通过某一显微镜所成的象却是 两个连在一起的没有分开的光斑,这与光的衍射现象有关 C.雨后虹的形成与光的全反射现象有关 D.老年人眼睛常变为远视眼,这时近处物体通过眼睛所成的像在视网膜的前方(瞳孔与视网膜之间) , 故看不清 2. 图中 A、 B 是两块金属板, 分别与高压直流电源的正负极相连.一个电

荷量为 q、质量为 m 的带正电的点电荷自贴近 A 板处静止释放(不计重 力作用) .已知当 A、 B 两板平行、 两板的面积很大且两板间的距离较小时, 它刚到达 B 板时的速度为 u0,在下列情况下以 u 表示点电荷刚到达 B 板 时的速度 A. 若 A、B 两板不平行,则 u< u0 B.若 A 板面积很小,B 板面积很大,则 u< u0 C.若 A、B 两板间的距离很大,则 u< u0 D.不论 A、B 两板是否平行、两板面积大小及两板间距离多少,u 都等于 u0 3. α粒子和β粒子都沿垂直于磁场的方向射入同一均匀磁场中,发现这两种粒子沿相同半径的圆轨道运

动.若α粒子的质量是 m1,β粒子的质量是 m2,则α粒子与β粒子的动能之比是 A. 4. m2 m1 B. m1 m2 C. m1 4m2 D. 4m2 m1

由玻尔理论可知,当氢原子中的核外电子由一个轨道跃迁到另一轨道时,有可能 A. 发射出光子,电子的动能减少,原子的势能减少 B. 发射出光子,电子的动能增加,原子的势能减少 C. 吸收光子,电子的动能减少,原子的势能增加 D. 吸收光子,电子的动能增加,原子的势能减少

5.

图示两条虚线之间为一光学元件所在处,AB 为其主光轴.P 是一点光源,其傍轴光线通过此光学元件

成像于 Q 点.该光学元件可能是 A.薄凸透镜 B.薄凹透镜 C.凸球面镜 D.凹球面镜 二、填空题和作图题.只要给出结果,不需写出求得结果的过程.
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6.

(8 分)国际上已规定

133

Cs 原 子 的 频 率 f=9192631770Hz ( 没 有 误 差 ) . 这 样 , 秒 的 定 义

______________________________.国际上已规定一个公认的光速值 c=299792458m/s(没有误差).长度单 位由时间单位导出,则米定义为______________________________.

7.

(8 分) 质量为 m1 的小滑块, 沿一倾角为θ的光滑斜

面滑下,斜面质量为 m2,置于光滑的水平桌面上.设重力 加速度为 g ,斜面在水平桌面上运动的加速度的大小为 ______________________________

8.

(8 分)一线光源,已知它发出的光包含三种不同频率的可见光,若要使它通过三棱镜分光,最后能

在屏上看到这三种不同频率的光的谱线,则除了光源、三棱镜和屏外,必须的器件至少还应有 ______________. 其 中 一 个 的 位 置 应 在 ______________ 和 ______________ 之 间 , 另 一 个 的 位 置 应 在 ______________和______________之间.

9.

(12 分)如图所示,A 为放在水平光滑桌面

上的长方形物块, 在它上面放有物块 B 和 C.A、 B、 C 的质量分别为 m、 5m、m.B、C 与 A 之间的静 摩擦系数和滑动摩擦系数皆为 0.10,K 为轻滑轮, 绕过轻滑轮连接 B 和 C 的轻细绳都处于水平位置.现用水平方向的恒定外力 F 拉滑轮,使 A 的加速度等于 0.20g,g 为重力加速度.在这种情况时,B、A 之间沿水平方向的作用力的大小等于_____________,C、A 之间沿水平方向的作用力的大小等于_____________,外力 F 的大小等于_______________.

10. (14 分)i.在做“把电流表改装成电压表”的实验中, 必须测出电流表的内阻和用标准电压表对改装成的电压表 进行校准.某同学对图示的器材进行了连线, 使所连成的电路 只要控制单刀双掷开关的刀位和调节电阻箱及变阻器,不需 改动连线,就能: (1)在与电阻箱断路的条件下测出电流表 的内阻; (2)对改装成的电压表所有的刻度进行校准.试在图 中画出该同学的全部连线. ii.有一块横截面为矩形的长板,长度在 81cm 与 82cm 之间, 宽度在 5cm 与 6cm 之间, 厚度在 1cm 与 2cm 之间.现用直尺 (最小刻度为 mm) 、卡尺(游标为 50 分度)和千分尺(螺 旋测微器)去测量此板的长度、宽度和厚度,要求测出后的 最后一位有效数字是估读的 .试设想一组可能的数据天灾下 面的空格处.板的长度_______________cm,板的宽度_______________cm,板的厚度_______________cm,

三、计算题.计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤,只写出最后结果的不能得
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分.有数值计算的,答案中必须明确写出数值和单位. 11. (20 分)在水平地面某处,以相同的速率 v0 用不同的抛射角分别抛射两个小球 A 和 B,它们的射程 相同.已知小球 A 在空中运行的时间为 TA,求小球 B 在空中运行的时间 TB.重力加速度大小为 g,不考虑空 气阻力.

12. (20 分)从地球上看太阳时,对太阳直径的张角θ=53°.取地球表面上纬度为 1°的长度 l=110km, 地球表面处的重力加速度 g=10m/s2,地球公转的周期 T=365 天.试仅用以上数据计算地球和太阳密度之比. 假设太阳和地球都是质量均匀分布的球体.

13. (16 分)一个用电阻丝绕成的线圈,浸没在量热器所盛的油中,油的温度为 0℃.当线圈两端加上一定 的电压后,油温渐渐上升.0℃时温度升高的速率为 5.0K·min-1,持续一段时间后,油温上升到 30℃,此时 温度升高的速率变为 4.5K·min-1,这是因为线圈的电阻与温度有关.设温度为θ℃时线圈的电阻为 Rθ,温 度为 0℃时线圈的电阻为 R0,则有 Rθ= R0 (1+αθ),α称为电阻的温度系数.试求此线圈电阻的温度系数. 假设量热器及其中的油以及线圈所构成的系统温度升高的速率与该系统吸收热量的速率(即单位时间内吸 收的热量)成正比;对油加热过程中加在线圈两端的电压恒定不变;系统损失的热量可忽略不计.

14. (18 分)如图所示,一摩尔理想气体,由压强与体积关系的 p-V 图 中的状态 A 出发, 经过一缓慢的直线过程到达状态 B, 已知状态 B 的压 强与状态 A 的压强之比为 1 , 若要使整个过程的最终结果是气体从外界 2

吸收了热量,则状态 B 与状态 A 的体积之比应满足什么条件?已知此 3 理想气体每摩尔的内能为 RT ,R 为普适气体常量,T 为热力学温度. 2

15. ( 23 分)如图所示,匝数为 N1 的原线圈和在数 为 N2 的副线圈绕在同一闭合的铁心上, 副线圈两端与
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电阻 R 相联,原线圈两端与平行金属导轨相联.两轨之间的距离为 L,其电阻可不计.在虚线的左侧,存在 方向与导轨所在平面垂直的匀强磁场,磁感应强度的大小为 B. pq 是一质量为 m 电阻为 r 与导轨垂直放置 的金属杆, 它可在导轨上沿与导轨平行的方向无摩擦地滑动.假设在任何同一时刻通过线圈每一匝的磁通都 相同,两个线圈的电阻、铁心中包括涡流在内的各种损耗都忽略不计,且变压器中的电磁场完全限制在变 压器铁心中.现于 t=0 时开始施一外力,使杆从静止出发以恒定的加速度 a 向左运动.不考虑连接导线的自 感.若已知在某时刻 t 时原线圈中电流的大小 I1, i.求此时刻外力的功率 ii.此功率转化为哪些其他形式的功率或能量变化率?试分别求出它们的大小.

16. (23 分)如图所示,一质量为 m 半径为 R 的 由绝缘材料制成的薄球壳,均匀带正电,电荷量 为 Q,球壳下面有与球壳固连的底座,底座静止 在光滑水平面上.球壳内部有一劲度系数为η的轻 弹簧(质量不计) ,弹簧始终处于水平位置,其一 端与球壳内壁固连,另一端恰位于球心处,球壳上开有一小孔 C,小孔位于过球心的水平线上.在此水平线 上离球壳很远的 O 处有一质量也为 m 电荷量也为 Q 的带正电的点电荷 P,它以足够大的初速 v0 沿水平的 OC 方向开始运动.并知 P 能通过小孔 C 进入球壳内,不考虑重力和底座的影响.已知静电力常量 k.求 P 刚 进入 C 孔到刚再由 C 孔出来所经历的时间.

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第 28 届全国中学生物理竞赛预赛试卷
一、选择题(本题共 5 小题,每小题 6 分) 1、如图 28 预—1 所示,常用示波器中的扫描电压 u 随时间 t 变化的图线是( u t A 2、下面列出的一些说法中正确的是( B ) u t C u t D u t )

图 28 预—1

A.在温度为 20?C 和压强为 1 个大气压时,一定量的水蒸发为同温度的水蒸气,在此过程中,它所吸收的 热量等于其内能的增量。 B.有人用水银和酒精制成两种温度计,他都把水的冰点定为 0 度,水的沸点定为 100 度,并都把 0 刻度 与 100 刻度之间均匀等分成同数量的刻度,若用这两种温度计去测量同一环境的温度(大于 0 度小于 100 度)时,两者测得的温度数值必定相同。 C.一定量的理想气体分别经过不同的过程后,压强都减小了,体积都增大了,则从每个过程中气体与外 界交换的总热量看,在有的过程中气体可能是吸收了热量,在有的过程中气体可能是放出了热量,在有的 过程中气体与外界交换的热量为零. D.地球表面一平方米所受的大气的压力,其大小等于这一平方米表面单位时间内受上方作热运动的空气 分子对它碰撞的冲量,加上这一平方米以上的大气的重量。 3、如图 28 预—2 所示,把以空气为介质的两个平行板电容器 a 和 b 串联,再与电阻 R 和电动势为 E 的直 流电源如图连接。平衡后,若把一块玻璃板插人电容器 a 中,则再达到平衡时,有( A.与玻璃板插人前比,电容器 a 两极间的电压增大了 B.与玻璃板插人前比,电容器 a 两极间的电压减小了 R C.与玻璃板插入前比,电容器 b 贮存的电能增大了 图 28 预—2 D.玻璃板插人过程中电源所做的功等于两电容器贮存总电能的增加量 4、多电子原子核外电子的分布形成若干壳层,K 壳层离核最近,L 壳层次之,M 壳层更次之,……,每一壳 层中可容纳的电子数是一定的,当一个壳层中的电子填满后,余下的电子将分布到次外的壳层。当原子的内 壳层中出现空穴时,较外壳层中的电子将跃迁至空穴,并以发射光子(X 光)的形式释放出多余的能量,但 亦有一定的概率将跃迁中放出的能量传给另一个电子,使此电子电离,这称为俄歇(Auger)效应,这样电离 出来的电子叫俄歇电子。现用一能量为 40.00keV 的光子照射 Cd(镐)原子,击出 Cd 原子中 K 层一个电子, E b ) a

使该壳层出现空穴,己知该 K 层电子的电离能为 26.8keV.随后,Cd 原子的 L 层中一个电子跃迁到 K 层,而 由于俄歇效应,L 层中的另一个的电子从 Cd 原子射出,已知这两个电子的电离能皆为 4.02keV,则射出的俄 歇电子的动能等于( A.(26.8-4.02-4.02) keV ) B.(40.00-26.8-4.02) keV C.(26.8-4.02) keV D.(40.00-26.8+4.02) keV

5、一圆弧形的槽,槽底放在水平地面上,槽的两侧与光滑斜坡 aa'、bb'相切,相切处 a、b 位于同一水平 面内,槽与斜坡在竖直平面内的截面如图 28 预—3 所示。一小物块从斜坡 aa'上距水平面 ab 的高度为 2h 处沿斜坡自由滑下,并自 a 处进人槽内,到达 b 后沿斜坡 bb'向上滑行,已知到达的最高处距水平面 ab 的 高度为 h;接着小物块沿斜坡 bb'滑下并从 b 处进人槽内反向运动,若不考虑空气阻力,则( A.小物块再运动到 a 处时速度变为零 B.小物块尚未运动到 a 处时,速度已变为零 C.小物块不仅能再运动到 a 处,并能沿斜坡 aa'向上滑行,上升的最大高度为 2h D.小物块不仅能再运动到 a 处,并能沿斜坡 aa'向上滑行,上升的最大高度小于 h 二、填空题和作图题 6、 (6 分)在大气中,将一容积为 0.50m3 的一端封闭一端开口的圆筒筒底朝上筒口朝下竖直插人水池中, 然后放手,平衡时,筒内空气的体积为 0.40m3.设大气的压强与 10.0m 高的水柱产生的压强相同,则筒内外 水面的高度差为 。 b' ) a' 2h b a 图 28 预—3

h

7、 (10 分)近年来,由于“微结构材料”的发展,研制具有负折射率的人工材料的光学性质及其应用,已 受人们关注。对正常介质,光线从真空射人折射率为 n 的介质时,人射角和折射角满足折射定律公式,人 射光线和折射光线分布在界面法线的两侧;若介质的折射率为负,即 n<0,这时人射角和折射角仍满足折 射定律公式, 但人射光线与折射光线分布在界面法线的同一侧。 现考虑由共轴的两个薄凸透镜 L1 和 L2 构成 的光学系统, 两透镜的光心分别为 O1 和 O2, 它们之间的距离为 s.若要求以与主光轴成很小夹角的光线人射 到 O1 能从 O2 出射,并且出射光线与人射光线平行,则可以在 O1 和 O2 之 间放一块具有负折射率的介质平板,介质板的中心位于 OO'的中点,板的 两个平行的侧面与主光轴垂直,如图 28 预— 4 所示。若介质的折射率 n=-1.5 ,则介质板的厚度即垂直于主光轴的两个平行侧面之间的距离 d = 。 8、 (10 分)已知:规定一个 K(钾)原子与 Cl(氯)原子相距很远时,他们的相互作用势能为零;从一个 K 原子中移走最外层电子形成 K+离子所需的能量(称为电离能)为 EK,一个 Cl 原子吸收一个电子形成 Cl
+ -

O1

O2

L1 图 28 预—4

L2

离子释放的能量(称为电子亲和能)为 ECl;K 离子(视为质点)与 Cl-离子(视为质点)之间的吸引力为 库仑力,电子电荷量的大小为 e,静电力常量为 k.利用以上知识,可知当 KCI 分子中 K+离子与 Cl-离子之间

的库仑相互作用势能为零时, K+ 离子与 Cl- 离子之间的距离 rs ,可表示为 EK=4.34ev, ECl=3.62eV,k=9.0×109N?m2?C-2,e=1.60×10-19C,则 rs= m.

。若已知

9、 (10 分)光帆是装置在太空船上的一个面积很大但很轻的帆,利用太阳光对帆的光压,可使太空船在太 空中飞行。设想一光帆某时刻位于距离太阳为 1 天文单位(即日地间的平均距离)处,已知该处单位时间 内通过垂直于太阳光辐射方向的单位面积的辐射能量 E=1.37×103J?m-2?s-1, 设平面光帆的面积为 1.0×106m2, 且其平面垂直于太阳光辐射方向,又设光帆对太阳光能全部反射(不吸收) ,则光帆所受光的压力约等于 N. 10、 (20 分)有两个电阻 1 和 2,它们的阻值随所加电压的变化而改变,从而它们的伏安特性即电压和电流 不再成正比关系(这种电阻称为非线性电阻) 。假设电阻 1 和电阻 2 的伏安特性图线分别如图 28 预—5 所 示。 现先将这两个电阻并联, 然后接在电动势 E=9.0V、 内电阻 r0=2.0Ω 的电源上。 试利用题给的数据和图线在题图中用作图法读得所需的数 据,进而分别求出电阻 1 和电阻 2 上消耗的功率 P1 和 P2.要求: i.在题图上画出所作的图线. (只按所画图线评分,不要求写出画图 的步骤及理由) ii .从图上读下所需物理量的数据(取二位有效数字) ,分别是: ; iii.求出电阻 R1 消耗的功率 P1= 的功率 P2= 。 图 28 预—5 三、计算题 11、 (17 分)宇航员从空间站(绕地球运行)上释放了一颗质量 m=500kg 的探测卫星.该卫星通过一条柔 软的细轻绳与空间站连接, 稳定时卫星始终在空间站的正下方, 到空间站的距离 l=20km.已知空间站的轨道 为圆形,周期 T=92 min(分) 。 i.忽略卫星拉力对空间站轨道的影响,求卫星所受轻绳拉力的大小; ii.假设某一时刻卫星突然脱离轻绳。试计算此后卫星轨道的近地点到地面的高度、远地点到地面的高度和 卫星运行周期。 【取地球半径 R=6.400×103km, 地球同步卫星到地面的高度为 H0=3.6000×104km, 地球自转周期 T0=24 小时】 ,电阻 R2 消耗

12、 (17 分)某同学选了一个倾角为θ的斜坡,他骑在自行车上刚好能在不踩踏板的情况下让自行车沿斜坡 匀速向下行驶,现在他想估测沿此斜坡向上匀速行驶时的功率,为此他数出在上坡过程中某一只脚蹬踩踏 板的圈数 N(设不间断的匀速蹬) ,并测得所用的时间 t,再测得下列相关数据:自行车和人的总质量 m, 轮盘半径 Rl,飞轮半径 R2,车后轮半径 R3.试导出估测功率的表达式。己知上、下坡过程中斜坡及空气作 用于自行车的阻力大小相等,不论是在上坡还是下坡过程中,车轮与坡面接触处都无滑动。不计自行车内 部各部件之间因相对运动而消耗的能量,自行车结构示意图如图 28 预—6 所示。

图 28 预—6

13、 (20 分)电荷量为 q 的正电荷,均匀分布在由绝缘材料制成的质量为 m 半径为 R 的均匀细圆环上,现 设法加外力使圆环从静止开始,绕通过环心垂直于环面的轴线匀加速转动。试求从开始转动到环的角速度 达到某一值ω0 的整个过程中外力所做的功。已知转动带电圆环的等效电流为 I 时,等效电流产生的磁场对 整个以圆环为周界的圆面的磁通量Ф=kI,k 为一已知常量。不计电荷作加速运动所产生的辐射效应。

14、 (20 分)如图 28 预—7 所示,一木块位于光滑的水平桌面上,木块上固连一支架,木块与支架的总质 量为 M,一摆球挂于支架上,摆球的质量为 m,m<M/2 摆线的质量不计。初始时,整个装置处于静止状态, 一质量为 m 的子弹以大小为 v0、方向垂直于图面向里的速度射人摆球并立即停留在球内,摆球和子弹便一 起开始运动。 已知摆线最大的偏转角小于 90?, 在小球往返运动过程中摆线始终是拉直的, 木块未发生转动。 i.求摆球上升的最大高度; ii.求木块的最大速率; iii.求摆球在最低处时速度的大小和方向。

m M 图 28 预—7

15、 (20 分)如图 28 预—8 所示,坐标原点 O(0,0)处有一带电粒子源,向 y≥0 一侧沿 Oxy 平面内的各 个不同方向发射带正电的粒子,粒子的速率都是 v,质量均为 m,电荷量均为 q.有人设计了一方向垂直于

Oxy 平面,磁感应强度的大小为 B 的均匀磁场区域,使上述所有带电粒子从该磁场区域的边界射出时, 均 能沿 x 轴正方向运动。试求出此边界线的方程,并画出此边界线的示意图。 y

图 28 预—8

x

16、 (20 分)在海面上有三艘轮船,船 A 以速度 u 向正东方向航行,船 B 以速度 2u 向正北方向航行,船 C 以速度 2 2u 向东偏北 45?方向航行。在某一时刻,船 B 和 C 恰好同时经过船 A 的航线并位于船 A 的前方, 船 B 到船 A 的距离为 a,船 C 到船 A 的距离为 2a.若以此时刻作为计算时间的零点,求在 t 时刻 B、C 两船 间距离的中点 M 到船 A 的连线 MA 绕 M 点转动的角速度。

27 届全国中学生物理竞赛初赛试题答案更正: 一、本次预赛试卷选择题第 7 题答案应该是 A,B,C。原答 案只有 A,B,有误。请改正。 二、填空题第 10 题,正确答案是 E,原答案 C 是错的。请 改正。

第 26 届全国中学生物理竞赛预赛试卷
1-5 9 13 6 10 14 7 11 15 8 12 16 总分

一、选择题.本题共 5 小题,每小题 7 分.在每小题给出的 4 个选 项中,有的小题只有一项是正确的,有的小题有多项是正确的.把 得分 阅卷 复核 正确选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内.全部选对的 得 7 分,选对但不全的得 3 分,选错或不答的得 0 分. 1.图中 a、b 和 c、d 分别是两个平行板电容器的极扳,E 为电池,彼此相距较远.用导线 将 E 的正极与 a、 c 相连,将 E 的负极与 b、d 相连,待电容器充电后,去掉导线.这时已 知 a 带的电荷量大于 c 带的电荷量,称此状态为原始状态.现设想用两根导线分别都从原始 状态出发,进行以下两次连接:第一次用一根导线将 a、c 相连,用另一根导线将 b、d 相连; 第二次用一根导线将 a、d 相连,用另一根导线将 b、c 相连,每次连接后都随即移去导线. 下面哪种说法是正确的?
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A.经过第一次连接,a、b 间的电压下降,c、d 间的电压上升 B.经过第一次连接,a、b 间和 c、d 间的电压都不变 C.经过第二次连接,a、b 间的电压和 c、d 间的电压中有一个上升,一个下降 D . 经 过 第 二 次 连 接 , a 、 b 间 的 电 压 和 c 、 d 间 的 电 压 都 下 降 [ ] 2.两根不同金属导体制成的长度相等、横截面积相同的圆柱形杆,串联后接在某一直流电 源两端,如图所示.已知杆 a 的质量小于杆 b 的质量,杆 a 金属的摩尔质量小于杆 b 金属的 摩尔质量,杆 a 的电阻大于杆 b 的电阻,假设每种金属的每个原子都提供相同数目的自由电 子(载流子) .当电流达到稳恒时,若 a、 b 内存在电场,则该电场可视为均匀电场.下面 结论中正确的是
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A.两杆内的电场强度都等于零 B.两杆内的电场强度都不等于零,且 a 内的场强大于 b 内的场强 C.两杆内载流子定向运动的速度一定相等 D.a 内载流子定向运动的速度一定大于 b 内载流子定向运动的速度 [ ] 3.一根内径均匀、两端开口的细长玻璃管,竖直插在水中,管的一部分在水面上.现用手 指封住管的上端,把一定量的空气密封在玻璃管中,以 V0 表示其体积;然后把玻璃管沿竖 直方向提出水面,设此时封在玻璃管中的气体体积为 V1;最后把玻璃管在竖直平面内转过 900,使玻璃管处于水平位置,设此时封在玻璃管中的气体体积为 V2.则有 A.V1>V0=V2 B.V1>V0>V2 C . V1=V2>V0 D . V1>V0 , V2>V0 [ ]
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4.一块足够长的白板,位于水平桌面上,处于静止状态.一石墨块(可视为质点)静止在 白板上.石墨块与白板间有摩擦,滑动摩擦系数为μ.突然,使白板以恒定的速度 v0 做匀速 直线运动,石墨块将在板上划下黑色痕迹.经过某一时间 t,令白板突然停下,以后不再运 动.在最后石墨块也不再运动时,白板上黑色痕迹的长度可能是(已知重力加速度为 g,不 计石墨与板摩擦划痕过程中损失的质量)
2 v0 A. 2? g

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B . v0t

1 2 C . v0t ? ? gt 2

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2 v0 D. ?g

[ ] 5.如图 1 所示,一个电容为 C 的理想电容器与两个阻值皆为 R 的电阻串联后通过电键 K 连接在电动势为 E 的直流电源的两端,电源的内电阻忽略不计,电键 K 是断开的,在 t=0 时刻,闭合电键 K,接通电路,在图 2 中给出了六种电压 V 随时间 t 变化的图线 a、b、c、 d、e、f,现从其中选出三种图线用来表示图 l 所示电路上 1、2、3、4 四点中某两点间的电 压随时间 t 的变化,下面四个选项中正确的是

A.a、b、f B.a、e、f C.b、d、e D.c、d、e [ ] 二、 填空题和作图题. 把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方. 只要给出结果, 不需写出求得结果的过程. 6. (8 分)传统的雷达天线依靠转动天线来搜索空中各个方向的目 得分 阅卷 复核 标,这严重影响了搜索的速度.现代的“雷达”是“相位控制阵列 雷达” , 它是由数以万计的只有几厘米或更小的小天线按一定的顺序 排列成的天线阵,小天线发出相干的电磁波,其初相位可通过电子 计算机调节, 从而可改变空间干涉极强的方位, 这就起了快速扫描搜索空中各个方向目标的 作用. 对下面的简单模型的研究, 有助于了解改变相干波的初相位差对空间干涉极强方位的 影响. 图中 a、b 为相邻两个小天线,间距为 d,发出波长为λ的相干电磁波.Ox 轴通过 a、b 的中点且垂直于 a、b 的连线.若已知当 a、b 发出的电磁波在 a、b 处的初相位相同即相位 差为 O 时,将在与 x 轴成θ角(θ很小)方向的远处形成干涉极强,现设法改变 a、b 发出的 电磁波的初相位,使 b 的初相位比 a 的落后一个小量φ,结果,原来相干极强的方向将从θ 变为θ' ,则θ-θ'等于
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7. (8 分)He 一 Ne 激光器产生的波长为 6.33×10-7m 的谱线是 Ne 得分
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阅卷
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复核
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原子从激发态能级(用 E1 表示)向能量较低的激发态能级(用 E2 表示)跃迁时发生的;波 长为 3.39×10-6m 的谱线是 Ne 原子从能级 E1 向能级较低的激发态能级(用 E3 表示)跃迁 时发生的.已知普朗克常量 h 与光速 c 的乘积 hc=1.24×10-6m·eV.由此可知 Ne 的激发态 能级 E3 与 E2 的能最差为 eV. 8. (8 分)一列简谐横波沿 x 轴负方向传播,传播速度 v=200m/s. 得分 阅卷 复核 已知位于坐标原点(x=0)处的质元的振动图线如图 1 所示.试在图 2 中画出,t=4Oms,时该简谐波的波形图线(不少于一个波长) .
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9. (8 分) 图示为某一圆形水池的示意图 (竖直截面) . AB 为池中水面的直径,MN 为水池底面的直径,O 为圆形池底的圆心.已知 ON 为 11.4m , AM、BN 为斜坡,池中水深 5.00m,水的折射率为 4 / 3.水的 透明度极好,不考虑水的吸收.图中 a、b、c、d 为四个发光点,天空是蓝 色的,水面是平的.在池底中心处有一凹槽,一潜水员仰卧其中,他的眼睛 位于 O 处,仰视水面的最大范围的直径为 AB. (i)潜水员仰视时所看到的蓝天图象对他的眼睛所张的视角为 (ii)四个发光点 a、b、c、d 中,其发出的光能通过全反射到达潜水员眼睛 的是 得分
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三、计算题.解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤,只写 出最后结果的不能得分.有数值计算的.答案中必须明确写出数值和单位. 10. (19 分)试分析下面两个实验操作中的误差(或失误)对实验 得分 阅卷 复核 结果的影响. (i)用“插针法”测量玻璃的折射率时,要先将透明面平行的玻璃 砖放置在铺平的白纸上,然后紧贴玻璃砖的两个透明面,分别画出 两条直线, 在实验中便以这两条直线间的距离作为透明面之间的距离. 如果由于操作中的误 差, 使所画的两条直线间的距离大于玻璃砖两透明面间的实际距离, 问这样测得的折射率与 实际值相比,是偏大,偏小,还是相同?试给出简要论证 (ii)在用单摆测量重力加速度 g 时,由于操作失误,致使摆球不在同一竖直平面内运动, 而是在一个水平面内作圆周运动,如图所示.这时如果测出摆球作这种运动的周期,仍用单
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摆的周期公式求出重力加速度, 问这样求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比, 哪个 大?试定量比较.
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11. (18 分)现有以下器材:电流表一只(量程适当.内阻可忽略 不计.带有按钮开关 K1,按下按钮,电流表与电路接通,有电流通 过电流表, 电流表显出一定的读数) , 阻值己知为 R 的固定电阻一个, 阻值未知的待测电阻 Rx 一个,直流电源一个(电动势ε和内阻 r 待 测) ,单刀双掷开关 K 一个,接线用的导线若干. 试设计一个实验电路,用它既能测量直流电源的电动势ε和内阻 r,又能测量待测电阻的 阻值 Rx(注意:此电路接好后,在测量过程中不许再拆开,只许操作开关,读取数据) . 具 体要求: (i)画出所设计的电路图. (ii)写出测量ε、r 和 Rx 主要的实验步骤. (iii)导出用已知量和实验中测量出的量表示的ε、r 和 Rx 的表达式. 得分
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12. (18 分)一静止的原子核 A 发生α衰变后变成原子核 B,已知原 子核 A、原子核 B 和α粒子的质量分别为 mA、mB,和 mα,光速为 c (不考虑质量与速度有关的相对论效应) , 求衰变后原子核 B 和α粒 子的动能.
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13. (18 分)近代的材料生长和微加工技术,可制造出一种使电子 的运动限制在半导体的一个平面内(二维)的微结构器件,且可做 到电子在器件中像子弹一样飞行,不受杂质原子射散的影响.这种 特点可望有新的应用价值.图 l 所示为四端十字形.二维电子气半 导体,当电流从 l 端进人时,通过控制磁场的作用,可使电流从 2, 3,或 4 端流出.对下面 摸拟结构的研究,有助于理解电流在上述四端十字形导体中的流动.在图 2 中, a、b、c、 d 为四根半径都为 R 的圆柱体的横截面,彼此靠得很近,形成四个宽度极窄的狭缝 1、2、3、 4,在这些狭缝和四个圆柱所包围的空间(设为真空)存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面 指向纸里.以 B 表示磁感应强度的大小.一个质量为 m、电荷量为 q 的带正电的粒子,在 纸面内以速度 v0 沿与 a、b 都相切的方向由缝 1 射人磁场内,设粒子与圆柱表面只发生一次 碰撞,碰撞是弹性的,碰撞时间极短,且碰撞不改变粒子的电荷量,也不受摩擦力作用. 试 求 B 为何值时,该粒子能从缝 2 处且沿与 b、c 都相切的方向射出. 得分
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14. (20 分)如图所示,M1N1N2M2 是位于光滑水平桌面上的刚性 U 得分
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型金属导轨,导轨中接有阻值为 R 的电阻,它们的质量为 m0.导轨的两条轨道间的距离为 l,PQ 是质量为 m 的金属杆,可在轨道上滑动,滑动时保持与轨道垂直,杆与轨道的接触 是粗糙的,杆与导轨的电阻均不计.初始时,杆 PQ 于图中的虚线处,虚线的右侧为一匀强 磁场区域,磁场方向垂直于桌面,磁感应强度的大小为 B.现有一位于导轨平面内的与轨道 平行的恒力 F 作用于 PQ 上, 使之从静止开始在轨道上向右作加速运动. 已知经过时间 t , PQ 离开虚线的距离为 x,此时通过电阻的电流为 I0,导轨向右移动的距离为 x0(导轨的 N1N2 部分尚未进人磁场区域) .求在此过程中电阻所消耗的能量.不考虑回路的自感.
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15. (20 分)图中 M1 和 M2 是绝热气缸中的两个活塞,用轻质刚性 细杆连结, 活塞与气缸壁的接触是光滑的、 不漏气的, M1 是导热的, M2 是绝热的,且 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍.M1 把一定质量的气 体封闭在气缸的 L1 部分,M1 和 M2 把一定质量的气体封闭在气缸的 L2 部分,M2 的右侧为 大气,大气的压强 P0 是恒定的. K 是加热 L2 中气体用的电热丝.初始时,两个活塞和气 体都处在平衡状态,分别以 V10 和 V20 表示 L1 和 L2 中气体的体积.现通过 K 对气体缓慢加 热一段时间后停止加热,让气体重新达到平衡态,这时,活塞未被气缸壁挡住.加热后与加 热前比, L1 和 L2 中气体的压强是增大了、减小了还是未变?要求进行定量论证. 得分
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16. (20 分)一个质量为 m1 的废弃人造地球卫星在离地面 h=800km 高空作圆周运动,在某处和一个质量为 m2=m1/9 的太空碎片发生迎 头正碰,碰撞时间极短,碰后二者结合成一个物体并作椭圆运动. 碰 撞前太空碎片作椭圆运动,椭圆轨道的半长轴为 7500km,其轨道和 卫星轨道在同一平面内.已知质量为 m 的物体绕地球作椭圆运动时,其总能量即动能与引 得分
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力势能之和 E ? ?G

Mm , 式中 G 是引力常量, M 是地球的质量, a 为椭圆轨道的半长轴. 2a
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设地球是半径 R=6371km 的质量均匀分布的球体,不计空气阻力. (i)试定量论证碰后二者结合成的物体会不会落到地球上. (ii)如果此事件是发生在北级上空(地心和北极的连线方向上) ,碰后二者结合成的物体 与地球相碰处的纬度是多少?
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第 26 届全国中学生物理竞赛预赛试卷 参考解答与评分标准
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一、选择题. (共 35 分) 答案: 1.B , D 2.B 3.A 4.A , C 5. A , B 评分标准: 每小题 7 分.在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一项是正确的,有的小题有多 项是正确的.全部选对的得 7 分.选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分. 二、填空题和作图题.共 32 分,每小题 8 分.按各小题的答案和评分标准给分.
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6.答案与评分标准:

?? (8 分) 2? d

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7.答案与评分标准: 1.59(8 分) 8.答案:

评分标准:8 分.有任何错误都给 0 分. 9.答案与评分标准: (i)97.20 ( 4 分) (ii)c、d(两个都对得 4 分,只填一个且正确得 2 分,有填错的得 0 分) 10.参考解答: (i)以两条实线代表在白纸上所画出的直线,以两条虚线代 表玻璃砖的两个透明面,根据题意,实线间的距离大于虚线间的距 离,如图所示.根据实线位置定出的折射角为γ,按实际的玻璃砖 两透明面的位置即虚线定出的折射角为γ' ,由图知 γ>γ' (l) 由折射定律 sini=nsinγ (2 ) 令入射角 i 相等,当折射角偏大时,测出的折射率将偏小. (ii)以 l 表示摆长,θ表示摆线与竖直方向的夹角,m 表示 摆球的质量,F 表示摆线对摆球的拉力,T 表示摆球作题图所示运
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动的周期.有

F sin ? ? ml sin ? ( F cos ? ? mg

2? 2 ) T

(l)

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(2)

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由(l) 、 (2)式得

T ? 2?

l cos ? g T ? ? 2? l g

(3)

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而单摆的周期公式为

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即使在单摆实验中,摆角很小,θ< 50,但 cosθ< l,这表示对于同样的摆长 l,摆球在水 平面内作圆周运动的周期 T 小于单摆运动的周期 T' ,所以把较小的周期通过(4)求出的重 力加速度的数值将大于 g 的实际值. 评分标准:本题 19 分. 第(i)小题 9 分.得到(l)式给 4 分,得到正确结论给 5 分.只有结论给 0 分. 第(ii)小题 10 分.得到(3)式给 5 分,得到正确结论给 5 分.只有结论给 0 分. 11.参考解答: 解法一 (i)电路如右图所示, (ii)实验步骤: (1)将单向双掷开关 K 置于空位,按所设计的电路图接线. (2)按下电流表上的按钮开关 K1,读下电流表的示数 I1. (3)将 K 打向左侧与 a 接通,读下电流表的示数 12. (4)将 K 打向右侧与 b 接通,读下电流表的示数 13 . (iii)由欧姆定律有
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? ? I1 R ? I1r ? ? I2r ? I2
RRx R ? Rx

( 1)

(2)

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? ? ? ? ? I3 R ? ? ? I 3 ? Rx ? RRx ? r ? ? R?R ? x ? ?
解以上三式得

(3)

??

( I 2 ? I 3 ) I1 R I 2 ? I1 ( I1 ? I 3 ) R I 2 ? I1

(4)

r?

( 5)

Rx ?

I3 R I 2 ? I3

(6)

评分标准:本题 18 分. 第(i)小题 9 分.若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流,都得 0 分. 第(ii)题 3 分.在电路正确的前提下,每测一个电流的步骤占 1 分. 第(iii)题 6 分. (4) 、 ( 5) 、 (6)式各 2 分. 解法二 (i)电路如右图所示. (ii)实验步骤: (1)将单向双掷开关 K 置于空位,按所设计的电路图接线. (2)按下电流表上的按钮开关 K1,读下电流表的示数 I1. (3)将 K 打向左侧与 a 接通,读下电流表的示数 I2. (4)将 K 打向右侧与 b 接通,读下电流表的示数 13. (iii)由欧姆定律有
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? ? I1 ( R ? Rx ? r )

(1) ( 2)

? ? I2 (R ? r)
? ? I 3 ( Rx ? r )
解以上三式得

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(3)

??

I1 I 3 R I 3 ? I1 I1 I 2 ? I1 I 3 ? I 2 I 3 R I 2 ( I 3 ? I1 ) I 3 ( I 2 ? I1 ) R I 2 ( I 3 ? I1 )

( 4)

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r?

(5)

Rx ?

(6)

评分标准:本题 18 分. 第(i)小题 9 分.若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流,都得 0 分. 第(ii)题 3 分.在电路正确的前提下,每测一个电流的步骤占 1 分. 第(iii)题 6 分. (4) 、 ( 5) 、 (6)式各 2 分. 12.参考解答: 设α粒子速度的大小为 vα,原子核 B 速度的大小为 vB,在衰变过程中动量守恒,有 mαvα+mBvB=0 (1) 衰变过程中能量守恒,有
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1 1 2 2 mAc 2 ? m? v? ? mB vB ? m? c 2 ? mB c 2 2 2
解(l) 、 (2)二式得

(2)

m? 1 2 mB vB ? (mA ? mB ? m? )c 2 2 m? ? mB

(3)

mB 1 2 m? v? ? (mA ? mB ? m? )c 2 2 m? ? mB

(4)

评分标准:本题 18 分. (1)式 4 分, (2)式 8 分, (3) 、 (4)各 3 分. 13.参考解答: 解法一 在图中纸面内取 Oxy 坐标(如图) ,原点在狭缝 l 处,x 轴过缝 1 和缝 3.粒子从缝 1 进人磁场,在洛仑兹力作用下作圆周运动,圆轨道在原点与 x 轴相切,故其圆心必在 y 轴上.若以 r 表示此圆的半径,则圆方程为 x2+(y-r)2=r2 (1) 根据题的要求和对称性可知,粒子在磁场中作圆周运动时应与 d 的柱 面相碰于缝 3、4 间的圆弧中点处,碰撞处的坐标为 x=2R-Rsin450 (2) 0 y=R-R cos45 (3) 由(l) 、 (2) 、 (3)式得 r=3R (4)
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由洛仑兹力和牛顿定律有

qv0 B ? m mv0 3qR

2 v0 r

( 5)

由(4) 、 (5)式得

B?

(6)

评分标准:本题 18 分. (1) 、 (2) 、 (3)式各 4 分, (4) 、 (5) 、 (6)式各 2 分. 解法二 如图所示,A 为 a、b 两圆圆心的连线与缝 l 的交点,F 为 c、d 两圆 圆心的连线与缝 3 的交点.从 1 缝中射人的粒子在磁场作用下与圆柱 d 的表面发生弹性碰撞后,反弹进人缝 2,这个过程一定对连结 b、d 两圆 圆心的直线 OP 对称,故直线 OP 与 d 圆的交点 C 必是碰度点.由于粒 子在磁场中做圆运动过 A 点, 因此这个轨道的圆心必在过 A 点并垂直于 AF 的直线 AE 上;同时这个轨道经过 C 点,所以轨道的圆心也一定在 AC 的垂直平分线 DE 上. 这样 AE 与 DE 的交点 E 就是轨道的圆心, AE 就是轨道的半径 r.过 C 点作 AF 的垂线与 AF 交于 H 点,则

有 由图可知

?AHC∽?EDA AC r? AD HC
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(1)

HC ? R ?

2 R 2 2 R 2

(2)

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AH ? 2 R ?

(3)

AC ? AH 2 ? HC 2

(4)

AD ?
由以上各式得 r=3R

1 AC 2
2 v0 r

(5) (6)

由洛仑兹力和牛顿定律有

qv0 B ? m mv0 3qR

(7)

得到

B?

( 8)

评分标准:本题 18 分. (1)式 8 分, (2) 、 (3) (4) 、 (5)式各 1 分, (6) 、 (7) 、 (8)式各 1 分. 14.参考解答: 杆 PQ 在磁场中运动时,受到的作用力有:外加恒力 F,方向向右;磁场的安培力,其 大小 FB=BIl,方向向左,式中 I 是通过杆的感应电流,其大小与杆的速度有关;摩擦力, 大 小为 Fμ,方向向左.根据动能定理,在所考察过程中作用于杆的合力做的功等于杆所增加 的动能,即有

WF ? WFB ? W

F?

?

1 2 mv 2

(1)

式中 v 为经过时间 t 杆速度的大小,WF 为恒力 F 对杆做的功,WF 安为安培力对杆做的 功,WFμ为摩擦力对杆做的功.恒力 F 对杆做的功 WF=Fx ( 2) 因安培力的大小是变化的, 安培力对杆做的功用初等数学无法计算, 但杆克服安培力做 的功等于电阻所消耗的能量,若以 ER 表示电阻所消耗的能量,则有 -WF 安=ER (3) 摩擦力 Fμ是恒力,它对杆做的功 WFμ=-Fμx (4) 但 Fμ未知.因 U 型导轨在摩擦力作用下做匀加速运动,若其加速度为 a,则有 Fμ=m0a (5) 2 而 a=2x0/t (6) 由(4) 、 (5) 、 (6)三式得

WF? ? ?2m0

x0 x t2

(7)

经过时间 t 杆的速度设为 v,则杆和导轨构成的回路中的感应电动势 ε=Blv (8) 根据题意,此时回路中的感应电流

I0 ?
由(8) 、 (9)式得

?
R

( 9)

v?

I0 R Bl x0 1 I 02 R 2 ) x ? m t2 2 B 2l 2

(10)

由(l) 、 (2) 、 ( 3) 、 (7) 、 (10)各式得

ER ? ( F ? 2m0
评分标准:本题 20 分.

(11)

(1)式 3 分, (2)式 l 分, (3)式 4 分, (7)式 4 分, (10)式 5 分, (11)式 3 分. 15.参考解答: 解法一 用 n1 和 n2 分别表示 L1 和 L2 中气体的摩尔数,P1、P2 和 V1、V2 分别表示 L1 和 L2 中气 体处在平衡态时的压强和体积,T 表示气体的温度(因为 M1 是导热的,两部分气体的温度 相等) ,由理想气体状态方程有 p1V1=n1RT ( 1) P2V2=n2RT (2) 式中 R 为普适气体常量.若以两个活塞和轻杆构成的系统为研究对象,处在平衡状态 时有 p1S1-p2S1+p2S2-p0S2=0 (3) 已知 S2=2S1 (4) 由(3) 、 (4)式得 p1+p2=2p0 (5) 由(l) 、 (2) 、 (5)三式得

n1 p0V2 n2 p1 ? n V1 ? 1 V2 n2 2

(6)

若(6)式中的 V1、V2 是加热后 L1 和 L2 中气体的体积,则 p1 就是加热后 L1 中气体的 压强.加热前 L1 中气体的压强则为

n1 p0V20 n2 p10 ? n V10 ? 1 V20 n2 2

(7)

设加热后,L1 中气体体积的增加量为△V1,L2 中气体体积的增加量为△V2,因连结两 活塞的杆是刚性的,活塞 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍,故有 △V1=△V2=△V (8) 加热后,L1 和 L2 中气体的体积都是增大的,即△V > 0 .[若△V< 0,即加热后,活塞是 向左移动的,则大气将对封闭在气缸中的气体做功,电热丝又对气体加热,根据热力学第一 定律,气体的内能增加,温度将上升,而体积是减小的,故 L1 和 L2 中气体的压强 p1 和 p2 都将增大,这违反力学平衡条件(5)式] 于是有 V1=V10+△V (9) V2=V20+△V (10) 由(6) 、 (7) 、 (9) 、 (10)四式得

n1 p0 (V10 ? V20 )?V n2 p1 ? p10 ? n n [V10 ? ?V ? 1 (V20 ? ?V )](V10 ? 1 V20 ) n2 n2 2

(11)

由(11)式可知,若加热前 V10=V20,则 p1=p10,即加热后 p1 不变,由(5)式知 p2 亦

不变;若加热前 V10<V20,则 p1< p10,即加热后 P1 必减小,由(5)式知 P2 必增大;若加 热前 V10>V20, 则 p1> p10,即加热后 p1 必增大,由(5)式知 p2 必减小. 评分标准:本题 20 分. 得到(5)式得 3 分,得到(8)式得 3 分,得到(11)式得 8 分,最后结论得 6 分. 解法二 设加热前 L1 和 L2 中气体的压强和体积分别为 p10、p20 和 V10、V20,以 pl、p2 和 V1、V2 分别表示加热后 L1 和 L2 中气体的压强和体积, 由于 M1 是导热的, 加热前 L1 和 L2 中气体的 温度是相等的,设为 T0,加热后 L1 和 L2 中气体的温度也相等,设为 T.因加热前、后两个 活塞和轻杆构成的系统都处在力学平衡状态,注意到 S2=2S1,力学平衡条件分别为 p10+p20=2p0 (1) p1+p2=2p0 (2) 由(l) 、 (2)两式得 p1-p10=- (p2-p20) ( 3) 根据理想气体状态方程,对 L1 中的气体有
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p1V1 T ? p10V10 T0
对 L :中的气体有

(4)

p2V2 T ? p20V20 T0
由(4) 、 (5)两式得

(5)

p1V1 pV ? 2 2 p10V10 p20V20
(6)式可改写成

( 6)

(1 ?

p1 ? p10 V ?V p ? p20 V ?V )(1 ? 1 10 ) ? (1 ? 2 )(1 ? 2 20 ) p10 V10 p20 V20

(7)

因连结两活塞的杆是刚性的,活塞 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍,故有 V1-V10=V2-V20 把(3) 、 (8)式代入(7)式得

(8)

(1 ?

p1 ? p10 V ?V p ? p10 V ?V )(1 ? 1 10 ) ? (1 ? 1 )(1 ? 1 10 ) p10 V10 p20 V20

( 9)

若 V10=V20,则由(9)式得 p1=p10,即若加热前,L1 中气体的体积等于 L2 中气体的体 积,则加热后 L1 中气体的压强不变,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强亦不变. 若 V10<V20,则由(9)式得 p1< p10,即若加热前,L1 中气体的体积小于 L2 中气体的体 积,则加热后 L1 中气体的压强必减小,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强必增大. 若 V10>V20,则由(9)式得 p1> p10,即若加热前, L1 中气体的体积大于 L2 中气体的体 积,则加热后 L1 中气体的压强必增大,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强必减小. 评分标准:本题 20 分. 得到(l)式和(2)式或得到(3)得 3 分,得到(8)式得 3 分,得到(9)式得 8 分, 最后结论得 6 分.

16.参考解答: (i)图 1 为卫星和碎片运行轨道的示意图.以 v1 表示碰撞前卫星作圆周运 动的速度,以 M 表示地球 E 的质量,根据万有引力定律和牛顿定律有
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G

Mm1 v12 ? m 1 ( R ? h) 2 R?h

( 1)

式中 G 是引力常量.由(l)式得

v1 ?

GM ? R?h

R GM R?h R

(2)

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以 v2 表示刚要碰撞时太空碎片的速度,因为与卫星发生碰撞时,碎片到地心的距离等 于卫星到地心的距离,根据题意,太空碎片作椭圆运动的总能量

Mm2 Mm2 1 2 m2 v2 ?G ? ?G 2 R?h 2a
式中 a 为椭圆轨道的半长轴.由(3)式得

(3)

v2 ?

2GM GM ? ? R?h a

2R R GM ? R?h a R

( 4)

卫星和碎片碰撞过程中动量守恒,有 m1v1-m2v2=(m1+m2)v (5) 这里 v 是碰后二者结合成的物体(简称结合物)的速度.由(5)式得

v?

m1v1 ? m2 v2 m1 ? m2

(6)

由(2) 、 (4) 、 (6)三式并代人有关数据得

v ? 0.7520

GM R

( 7)

结合物能否撞上地球,要看其轨道(椭圆)的近地点到地心的距离 rmin,如果 rmin<R, 则结合物就撞上地球.为此我们先来求结合物轨道的半长轴 a '.结合物的总能量

?G

M (m1 ? m2 ) 1 M (m1 ? m2 ) ? (m1 ? m2 )v 2 ? G 2a? 2 R?h

(8)

代人有关数据得 a '=5259km ( 9) 结合物轨道的近地点到地心的距离 rmin=2 a '-(R+h)=3347km<R (10) 据此可以判断,结合物最后要撞上地球. (ii)解法一 在极坐标中讨论.取极坐标,坐标原点在地心处,极轴由北极指向南极,如 图 2 所示.碰撞点在北极上空,是椭圆轨道的远地点,结合物轨道的椭圆方程

r?

p 1 ? e cos ?

(11)

式中 e 是偏心率,p 是椭圆的半正焦弦,远地点到地心的距离 rmax=R+h (12) 由解析几何有

e?

rmax ? rmin (? 0.3635) 2a?

(13)

在轨道的近地点,r=rmin,θ=0,由(11)式得 p=rmin(1+e)(=4563km) 或有 p=rmax (1-e) 在结合物撞击地球处;r= R,由(11)式有

(14) (15)



p 1 ? e cos ? p?R cos ? ? eR R?

(16) (17)

代人有关数据可得 cosθ=-0.7807 (18) 0 θ=141.32 (19) 0 这是在北纬 51.32 . 评分标准:本题 20 分. 第(i)小题 12 分. (1)或(2) 、 (3)或(4) 、 (5)或(6)式各 2 分, (8)式 3 分, (10)式 3 分. 第(ii)小题 8 分. (11) 、 (12) 、 (13) 、 (14)或(15) 、 (16)或(17)式各 l 分, (19) 式 2 分(答案在 1410 到 1420 之间的都给 2 分) ,正确指出纬度给 l 分. 解法二 在直角坐标中讨论.取直角坐标系,以椭圆的对称中心为坐标原点 O, x 轴通过近地点 和远地点并由远地点指向近地点,如图 3 所示.结合物轨道的椭圆方程是

x2 y 2 ? ?1 a ? 2 b? 2

(20)

式中 a' 、b'分别为结合物椭圆轨道的半长轴和半短轴.远地点到地心 的距离 rmax=R+h (21) 根据解析几何,若 c 为地心与坐标原点间的距离, c= rmax-a'(=1912km) (22) 而

b? ? a?2 ? c 2

(23)

注意到 a'由(9)式给出,得 b'=4899km (24) 结合物撞击地面处是结合物的椭圆轨道与地面的交点,设该处的坐标为 xp 和 yp,则有 xp=Rcosθ+c (25) yp=Rsinθ (26) 式中 θ 为从地心指向撞击点的矢经与 x 方向的夹角.因撞击点在结合物的轨道上,将 (24) 、 (25)式代入轨道方程(20)式,经整理得

R 2 (b?2 ? a?2 ) cos 2 ? ? 2b? 2 cR cos ? ? a?2b?2 ? a?2 R 2 ? 0
引人以下符号并代人有关数据得

(27)

? ? R 2 (b?2 ? a?2 )(? ?1484 ?1011 km)

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? ? 2b?2 cR(? 5846 ?1011 km)

ht

? ? b?2 c 2 ? a?2b?2 ? a?2 R 2 (? 5465 ?1011 km)
代入(27)式得

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? cos 2 ? ? ? cos ? ? ? ? 0
解得

(28)

cos ? ?

? ? ? ? 2 ? 4?? 2?

(29)

舍掉不合理的答案,得 cosθ=-0.7807 (30) 0 θ=141.32 (31) 0 这是在北纬 51.32 . 评分标准: (20) 、 (21) 、 (22) 、 (23)或(24) 、 (27)式各 l 分, (31)式 2 分(答案在 1410 到 1420 之 间的都给 2 分) ,正确指出纬度给 1 分.
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第 25 届全国中学生物理竞赛预赛试卷
一、选择题.本题共 6 小题,每小题 6 分.在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一项 正确的, 有的小题有多项正确的. 把正确的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内. 全部选对的得 6 分,选对但不选全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分. 1. 如图所示, 两块固连在一起的物块 a 和 b, 质量分别为 ma 和 mb,放在水平的光滑桌面上. 现同时施给它们方向如图所示的推力 Fa 和拉力 Fb,已知 Fa>Fb,则 a 对 b 的作用力 A.必为推力 C.可能为推力,也可能为拉力 [ ] Fb b a Fa B.必为拉力 D.可能为零

2.用光照射处在基态的氢原子,有可能使氢原子电离,下列说法中正确的是 A.只要光的光强足够大,就一定可以使氢原子电离 B.只要光的频率足够高,就一定可以使氢原子电离 C.只要光子的能量足够大,就一定可以使氢原子电离 D.只要光照的时间足够长,就一定可以使氢原子电离 [ ]

3.如图所示,一 U 形光滑导轨串有一电阻 R,放置在匀强的外磁场中,导轨平面与磁场方 向垂直.一电阻可以忽略不计但有一定质量的金属杆 ab 跨接在导轨上,可沿导轨方向平移. 现从静止开始对 ab 杆施加向右的恒力 F,若忽略杆和 U 形导轨的自感,则在杆的运动过程 中,下列哪种说法是正确的? A.外磁场对载流杆 ab 作用力对 ab 杆做功,但外磁场的能量是不变的 B.外力 F 的功总是等于电阻 R 上消耗的功 C.外磁场对载流杆 ab 作用力的功率与电阻 R 上消耗的功率两者的大小是相等的 D.电阻 R 上消耗的功率存在最大值 [ ] a R b 4.如图所示,放置在升降机地板上的盛有水的容器中,插有两根相对容器位置固定的玻璃 管 a 和 b,管的上端都是封闭的,下端都有开口的,管内被水各封有一定质量的气体.平衡 时 a 管内的水面比管个的低,b 管内的水面比管个的高.现令升降机从静止开始加速下降, 已知在此过程中管内气体仍被封闭在管内,且经历的过程可视为绝热过程,则在此过程中 F

A.a 中的气体内能增加,b 中的气体内能减少 B.a 中的气体内能减少,b 中的气体内能增加 C.a、b 中气体内能都增加 D.a、b 中气体内能都减少 [ ] a b

5.图示为由粗细均匀的细玻璃管弯曲成的“双 U 形管”,a、b、c、d 为其中四段竖直的部分, 其中 a、d 上端是开口的,处在大气中,管中的水银把一段气柱密封在 b、c 内,达到平衡时, 管内水银面的位置如图所示.现缓慢地降低气柱中气体的温度,若 c 中的水银上升了一小段 高度Δh,则 A.b 中的水银面也上升Δh B.b 中的水银面也上升,但上升的高度小于Δh C.气柱中气体压强的减少量等于高为Δh 的水银柱所产生的压强 D.气柱中气体压强的减少量等于高为 2Δh 的水银柱所产生的压强 [ ] a b c d

6.图中 L 是绕在铁心上的线圈,它与电阻 R、R0、电键和电池 E 可构成闭合回路.线圈上 的箭头表示线圈中电流的正方向,当电流的流向与箭头所示的方向相同,该电流为正,否则 为负.电键 K1 和 K2 都处于断开状态.设在 t=0 时刻,接通电键 K1,经过一段时间,在 t=t1 时刻,再接通电键 K2, 则能较正确在表示 L 中的电流 I 随时间 t 的变化的图线是下面给出的 四个图中的哪个图? K1 E R0

K2 R

L

I 0
图1

I t1 t 0
图2

I t1 t 0
图3

I t1 t 0
图4

t1

t

A.图 1 [ ]

B.图 2

C.图 3

D.图 4

二、填空题和作图题.把答案填在题中横线上或把图画在题指定的地方.只要给出结果, 不 需要写出求得结果的过程. 7.(8 分)为了估算水库中水的体积,可取一瓶无毒的放射性同位素的水溶液,测得瓶内溶液 每分钟衰变 6×107 次,已知这种同位素的半衰期为 2 天.现将这瓶溶液倒入水库,8 天后可以认为已均 匀分布在水库中,这时取 1.0m3 水库中的水样,测得水样每分钟衰变 20 次.同此可知水库 中水的体积为_________m3. 8.(8 分)在一条笔直的公路上依次设置三盏交通信号灯 L1、L2 和 L3, L2 与 L1 相距为 80m, L3 与 L1 相距为 120m.每盏信号灯显示绿色的时间间隔都是 20s,显示红色的时间间隔都是 40s, L1 与 L3 同时显示绿色,L2 则在 L1 显示红色经历 10s 时开始显示绿色.规定车辆通过 三盏信号灯经历的时间不得超过 150s.若有一辆匀速向前行驶的汽车通过 L1 的时刻正好是 L1 刚开始显示绿色的时刻,则此汽车能不停顿地通过三盏信号灯的最大速率是_______m/s. 若一辆匀速向前行驶的自行车通过 L1 的时刻是 L1 显示绿色经历了 10s 的时刻,则此自行车 能不停顿地通过三盏信号灯的最小速率是_______m/s. 9.(8 分)位于水平光滑桌面上的 n 个完全相同的小物块,沿一条直线排列,相邻小物块间都 存在一定的距离.自左向右起,第 1 个小物块标记为 P1,第 2 个小物块标记为 P2,第 3 个 小物块标记为 P3,……,最后一个小物块即最右边的小物块标记为 Pn.现设法同时给每个 小物块一个方向都向右但大小各不相同的速度,其中最大的速度记作 v1,最小的速度记作 vn,介于最大速度和最小速度间的各速度由大到小依次记为 v2、v3、……、vn-1.若小物块发 生碰撞时,碰撞都是弹性正碰,且碰撞时间极短,则最终小物块 P1、P2、P3、……、Pn 速 度的大小依次为________________________________________________________。

10.(11 分)有两块无限大的均匀带电平面,一块带正电,一块带负电,单位面积所带电荷量 的数值相等.现把两带电平面正交放置如图所示.图中直线 A1B1 和 A2B2 分别为带正电的平 面和带负电的平面与纸面正交的交线,O 为两交线的交点. (i) 试根据每块无限大均匀带电平面产生的电场(场强和电势)具有对称性的特点, 并取 O 点 作为电势的零点, 在右面给的整个图上画出电场(正、 负电荷产生的总电场)中电势分别为 0V、 1V、2V、3V、?1V、?2V、?3V 的等势面与纸面的交线的示意图,并标出每个等势面的电 势. (ii) 若每个带电平面单独产生的电场是 E0=1.0V/m ,则求出 (i) 中相邻两等势面间的距离 d=________. B2 -

+ A1

O

+ B1

A2

-

11.(10 分)一列简谐横波在 x 轴上传播(振动位移沿 y 轴).已知 x=12cm 处的质元的振动图 线如图 1 所示,x=18cm 处的质元的振动图线如图 2 所示.根据这两条振动图线,可获得关 于这列简谐横波的确定的和可能的信息(如频率、波速、波长等)是哪些? 6 4 2 0 6 4 2 0

3

6

9 图1

1

1

1

t/

3

6

9 图2

1

1

1

t/

_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 。 12.(8 分)一座平顶房屋,顶的面积 S=40m2.第一次连续下了 t=24 小时的雨,雨滴沿竖直 方向以 v=5.0m/s 的速度落到屋顶,假定雨滴撞击屋顶的时间极短且不反弹,并立即流走. 第二次气温在摄氏零下若干度,而且是下冻雨,也下了 24 小时,全部冻雨落到屋顶便都结 成冰并留在屋顶上,测得冰层的厚度 d=25mm .已知两次下雨的雨量相等,冰的密度为 9×102kg/m3.由以上数据可估算得第二次下的冻雨结成冰对屋顶的压力为_________N,第一

次下雨过程中,雨对屋顶的撞击使整个屋顶受到的压力为__________N.

13.(10 分)在示波器的 YY'偏转电极上,加电压 u1=U0sin2πνt,式中频率ν=50Hz.同时在示 波器 XX'偏转电极上加如图 1 所示的锯齿波电压 u2,试在图 2 中画出荧光屏上显示的图线. 如果由于某种原因,此图线很缓慢地向右移动,则其原因是____________________ _______________________________________________________________________________ ___________。

u2/V t/s 图2

0

0.04

0.08 图1

0.12

三、计算题.解答应写出必要的文字说明、方和和重要的演算步骤.只写出最后结果的不能 得分.有数值计算的题,答案中必须明确写出数值和单位. 14.(14 分)一电流表,其内阻 Rg=10.0Ω,如果将它与一阻值 R0=49990Ω的定值电阻串联, 便可成为一量程 U0=50V 的电压表.现把此电流表改装成一块双量程的电压表,两个量程分 别为 U01=5V 和 U02=10V.当用此电压表的 5V 挡去测一直流电源两端的电压时,电压表的 示数为 4.50V; 当用此电压表的 10V 挡去测量该电源两端的电压时, 电压表的示数为 4.80V. 问此电源的电动势为多少?

15.(12 分)为训练宇航员能在失重状态下工作和生活,需要创造一种失重的环境.在地球表 面附近, 当飞机模拟某些在重力作用下的运动时, 就可以在飞机座舱内实现短时间的完全失 重状态. 现要求一架飞机在 v1=500m/s 时进入失重状态的试验, 在速率为 v2=1000m/s 时退出 失重状态试验.重力加速度 g=10m/s2 试问: (i) 在上述给定的速率要求下, 该飞机需要模拟何重运动, 方可在一定范围内任意选择失重 的时间的长短?试定量讨论影响失重时间长短的因素. (ii) 飞机模拟这种运动时,可选择的失重状态的时间范围是多少?

16. (12 分)假定月球绕地球作圆周运动, 地球绕太阳也作圆周运动, 且轨道都在同一平面内. 已 知 地 球 表 面 处 的 重 力 加 速 度 g=9.80m/s2 , 地 球 半 径 Re=6.37×106m , 月 球 质 量 mm=7.3×1022kg,月球半径 Rm=1.7×106m,引力恒量 G=6.67×10-11N·m2·kg-2,月心地心间的距 离约为 rem=3.84×108m. (i) 月球的月心绕地球的地心运动一周需多少天?

(ii) 地球上的观察者相继两次看到满月需多少天? (iii) 若忽略月球绕地球的运动, 设想从地球表面发射一枚火箭直接射向月球, 试估算火箭到 达月球表面时的速度至少为多少(结果要求两位数字)?

17.(12 分)如图所示,1 和 2 是放在水平地面上的两个小物块(可视为质点),与地面的滑动 摩擦系数相同,两物块间的距离 d=170.00m,它们的质量分别为 m1=2.00kg,m2=3.00kg. 现 令它们分别以初速度 v1=10.00m/s 和 v2=2.00m/s 迎向运动,经过时间 t=20.0s,两物块相碰, 碰撞时间极短,碰后两者粘在一起运动.求从刚碰后到停止运动过程中损失的机械能. 1 2

18.(11 分)磅秤由底座、载物平台 Q、杠杆系统及砝码组成,如示为其等效的在竖直平面内 的截面图.Q 是一块水平放置的铁板,通过两侧的竖直铁板 H 和 K、压在 E、B 处的刀口上. 杠杆系统由横杆 DEF、ABCF 和竖杆 CF、MP 以及横杆 MON 组成.另有两个位于 A、D 处 的刀口分别压在磅秤的底座上(Q、K、H、E、B、A、D 在沿垂直于纸面的方向都有一定的 长度,图中为其断面).C、F、M、N、O、P 都是是转轴,其中 O 被位于顶部并与磅秤底座 固连在支架 OL 吊住,所以转轴 O 不能发生移动.磅秤设计时,已做到当载物平台上不放任 何待称物品、 游码 S 位于左侧零刻度处、 砝码挂钩上砝码为零时, 横梁 MON 处于水平状态, 这时横杆 DEF、ABCF 亦是水平的,而竖杆 CF、MP 则是竖直的. 当重为 W 的待秤物品放在载物平台 Q 上时,用 W1 表示 B 处刀口增加的压力,W2 表示 E 处刀口增加的压力,由于杠杆系统的调节,横梁 MON 失去平衡,偏离水平位置.适当增 加砝码 G 或移动游码 S 的位置,可使横梁 MON 恢复平衡,回到水平位置.待秤物品的重量 (质量)可由砝码数值及游码的位置确定.为了保证待秤物品放在载物台上不同位置时磅秤都 能显示出相同的结果,在设计时,AB、DE、AC、DF 之间应满足怎样的关系? M L O S N G Q C H D F K B A

P

19.(11 分)如图所示,一细长的圆柱形均匀玻璃棒,其一个端面是平面(垂直于轴线),另一 个端面是球面, 球心位于轴线上. 现有一根很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线入射. 当光从平端面射入棒内时,光线从另一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为 a;当光线 从球形端面射入棒内时,光线在棒内与轴线的的交点到球面的距离为 b.试近似地求出玻璃 的折射率 n.

20.(13 分)光子不仅有能量,而且还有动量,频率为ν的光子能量为 hν,动量为

h? ,式中 c

h 为普朗克常量,c 为光速.光子射到物体表面时将产生压力作用,这就是光压.设想有一 宇宙尘埃,可视为一半径 R=10.0cm 的小球,其材料与地球相同,它到太阳的距离与地球到 太阳的距离相等.试计算太阳辐射对此尘埃作用力的大小与太阳对它万有引力大小的比值. 假定太阳辐射射到尘埃时被尘埃全部吸收.已知:地球绕太阳运动可视为圆周运动,太阳辐 射在单位时间内射到位于地地球轨道处的、垂直于太阳光线方向的单位面积上的辐射能 S=1.37×103W·m2 , 地 球 到 太 阳 中 心 的 距 离 rec=1.5×1011m, 地 球 表 面 附 近 的 重 力 加 速 度 g=10m·s-2,地球半径 Re=6.4×106,引力恒量 G=6.67×10-11N·m2·kg-2.

21.(16 分)设空间存在三个相互垂直的已知场:电场强度为 E 的匀强电场,磁感应强度为 B 的匀强磁场和重力加速度为 g 的重力场. 一质量为 m、 电荷量为 q 的带正电的质点在此空间 运动,已知在运动过程中,质点速度大小恒定不变. (i) 试通过论证,说明此质点作何运动(不必求出运动的轨迹方程).

(ii) 若在某一时刻, 电场和磁场突然全部消失, 已知此后该质点在运动过程中的最小动能为 其初始动能(即电场和磁场刚要消失时的动能)的一半,试求在电场、磁场刚要消失时刻 该质点的速度在三个场方向的分量封存.

第 25 届全国中学生物理竞赛预赛试卷 参考答案及评分标准
一、选择题(36 分) 答案: 1.C、D, 6.A. 评分标准: 每小题 6 分.全都选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分. 二、填空题及作图题答案及评分标准: 7. 1.9×105 (8 分) 8. 2 (4 分)、 2.B、C, 3.A、C、D, 4.B, 5.A、D,

12 13

(4 分)

9. vn、vn-1、…、v3、v2、v1. (8 分) 10. (i)如图所示(8 分) -3 B2 – -2

-1

0

1

2

3 B1

A1 3

O 2 1 0

-1

(ii)

2 m 2

-2 -3 A2 –

(3 分)

11. (1) 振幅 A=4cm (2 分) (2) 周期 T=12s,或频率ν=

1 -1 s 12

(2 分)

(3) 若波沿 x 轴方向转播,则此波可能的最大传播速度 vm= 速度为 v n ?

2 cm·s-1,其他可能的传播 3

2 cm ? s ?1 ,n=1,2,3,…;此波可能的最大波长为λ=8cm,其它可能波 3 ? 4n 24 长为 ?n ? cm,n=1,2,3,…(3 分) 3 ? 4n
(4) 若波沿负 x 轴方向传播,则此波可能的最大传播速度 vm=2cm·s-1, 其它可能的传 播速度为 v n ?

2 cm ? s ?1 ,n=1,2,3,…;此波可能的最大波长为λ=24cm,其它可能 1 ? 4n

波长为 ?n ? 12. 13.

24 cm,n=1,2,3,…(3 分) 1 ? 4n
(2 分) 0.058 (6 分)

9×103

(6 分) 锯齿波的周期不正好等于正弦波周期的 2 倍,而是稍小一点.(4 分) 三、计算题 14. 参考解答: 设电流表的量程为 Ig,当电流表与定值电阻 R0 串联改装成电压表时,此电压表的内阻

? ? Rg ? R0 R0
由于此电压表的量程 U0=50V,故有



? ? U0 I g R0
由⑴、⑵两式得



Ig ?
即电流表的量程为 1mA.

U0 ? 1.11 ? 10 ?3 A Rg ? R0



A +

Rg

R1

R2

5V

10V

电流表改装成双量程电压表的电路如图所示, 图中 R1 和 R2 是为把电流表改装成双量程

? 表示电压表量程 U01=5V 挡的内阻,则有 电压表必须串联的电阻,其值待求.用 R1
R1? ? Rg ? R1
而 ⑷

I g R1? ? U 01
由⑶、⑸式得



R1? ?

U 01 5 ? ?3 ? ? 5 ? 103 ? I g 10



同理得电压表量程 U02=10V 挡的内阻

? ? Rg ? R1 ? R2 ? R2

U 02 10 ? ?3 ? 1.0 ? 104 ? I g 10



设电源电动势为 E,内阻为 r,当用电压表量程为 5V 挡测电源两端的电压时,电压表 的示数为 U1,已知 U1=4.50V,设此时通过电流表的电流为 I1,有

U1 ? I1r ? E U1 ? I1R1?

⑻ ⑼

当用电压表的 10V 挡测量该电源两端的电压时,电压表的示数为 U2,已知 U2=4.80V, 设此时通过电流表的电流为 I2,有

U 2 ? I 2r ? E ? U 2 ? I 2 R2

⑽ ⑾

解⑻、⑼、⑽、⑾式,并注意到⑹、⑺式得 E=5.14V 评分标准: 本题 14 分.⑶式 3 分,⑹式 2 分,⑺式 2 分,⑻式、⑼式、⑽式、⑾式共 4 分,⑿式 3 分。 15. 参考解答: (i) 当飞机作加速度大小为重力加速度 g,加速度的方向竖直向下的运动时,座舱内的试验 ⑿

者便处于完全失重状态.这种运动可以是飞机模拟无阻力下的自由落体运动或竖直上抛运 动,也可以是斜抛运动.当进入试验速率和退出试验的速率确定后,飞机模拟前两种运动 时,重时间长短都是一定的、不可选择的.当飞机模拟无阻力下的斜抛运动时,失重时间 的长短与抛射角有关,可在一不范围内进行选择. 考察飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动.设开始试 验时飞机的初速度大小为 v1,方向与水平方向成θ角, 起 始位置为 A 点,经做抛物线运动在 B 点退出试验,如图 所示.以 t 表示试验经历的时间,在退出试验时的速率 为 v2,则有 y v1 x B v2

A θ

v2 x ? v1 cos ?
v2 y ? v1 sin ? ? gt


⑴ ⑵

2 2 2 v2 ? v2 x ? v2 y



由⑴、⑵、⑶式得
2 g 2t 2 ? 2v1 gt sin ? ? v12 ? v2 ?0



解⑷式得
2 v1 sin ? ? v12 sin 2 ? ? (v2 ? v12 ) t? g



由⑸式可知,当进入试验时,飞机的速度 v1 和退出飞机的速度 v2 确定以后,失重时间 的长短可通过θ来调节. (ii) 当θ=90°时,失重时间最长,由⑸式可求得最长失重时间

tmax ? 150 s
当θ=-90°时,失重时间最短,由⑸式可求得最短失重时间



tmin ? 50s
失重时间的调节范围在 50s 到 150s 之间. 评分标准: 本题 12 分



第(i)小问 8 分.指明斜抛运动得 2 分,求得⑸式并指出失重时间的长短可通过θ来调节得 6 分. 第(ii)小问 4 分.求得⑹式得 2 分,求得⑺式得 2 分. 16. 参考解答: (i) 月球在地球引力作用下绕地心作圆周运动,设地球的质量为 me,月球绕地心作圆周运

动的角速度为ωm,由万有引力定律和牛顿定律有

G
另有

me mm ? mm rem?m 2 rem



G
月球绕地球一周的时间

me ?g Re2



Tm ?
解⑴、⑵、⑶三式得

2?

?m



Tm ? 2?
代入有关数据得

3 rem gRe2



Tm ? 2.37 ? 106 s ? 27.4天
月 A 地 月 A' 地 B



(ii) 满月是当月球、地球、和太阳成一直线时才有的,此时地球在月球和太阳之间,即图中

? 表示 A 的位置.当第二个满月时,由于地球绕太阳的运动,地球位置已运动到 A? .若以 Tm
相继两次满月经历的时间, ?e 表示地球绕太阳运动的角速度,由于 ?e 和 ?m 的方向相同, 故有

? ? 2? ? ?eTm ? ?mTm




?m ?

2? Tm 2? Te



?e ?



式中 Te 为地球绕太阳运动的周期, Te ? 365天 .由⑹、⑺、⑻三式得

?? Tm
注意到⑸式,得

TeTm Te ? Tm



? ? 29.6天 Tm



(iii) 从地面射向月球的火箭一方面受到地球的引力作用,另一方面也受到月球的引力作用. 当火箭离地球较近时,地球的引力大于月球的引力;当离月球较近时,月球的引力大于地球 的引力.作地心和月心的连线,设在地月间某一点处,地球作用于火箭的引力的大小正好等 于月球作用于火箭的引力的大小.以 r 表示到月球中心的距离,则有

G

me m m m ? G m2 2 r ?rem ? r ?



式中 m 为火箭的质量.由⑾式得

? me ? 2 2 ? ? m ? 1? ?r ? 2r em r ? rem ? 0 ? m ?
解⑿式,注意到⑵式,代入有关数据,得



r ? 3.8 ? 107 m



从地球表面发射直接射向月球的火箭只要能到达 O 点,则过 O 点后,因月球引力大于地球 引力,它便能在月球引力作用下到达月球,这样发射时火箭离开地面时的速度最小,它到 达月球时的速度也最小.设火箭刚达到月球时的最小速度为 v,则由机械能守恒定律有

?G
解得

me m m m me m mm 1 ? G m ? ?G ? G e ? mv 2 rem ? r r rem ? Rm Rm 2



? 1 ? 1 1? 1 ? ? ? v ? 2Gme ? ? ? 2 Gm m ?r ?R ? ?R ?r? ? r ? r m em ? em ? ? m ?
注意到⑵式,代入有关数据得



v ? 2.3 ? 103 m ? s ?1
评分标准: 本题 12 分. 第(i)小问 3 分.求得⑷式得 2 分,求得⑸式得 1 分. 第(ii)小问 3 分.求得⑼式得 2 分,求得⑽式得 1 分. 第(iii)小问 6 分.⑾式 2 分,⒁式 2 分,⒃式 2 分.



17. 参考解答: 因两物块与地面间的滑动摩擦系数相同,故它们在摩擦力作用下加速度的大小是相同的, 以

a 表示此加速度的大小.先假定在时间 t 内,两块始终作减速运动,都未停下.现分别以 s1
和 s2 表示它们走的路程,则有

1 s1 ? v1t ? at 2 2 1 s2 ? v2t ? at 2 2


⑴ ⑵

s1 ? s2 ? d
解⑴、⑵、⑶三式并代入有关数据得



a ? 0.175 m / s 2
经过时间 t,两物块的速度分别为



? ? v1 ? at v1 v? 2 ? v2 ? at
代入有关数据得

⑸ ⑹

? ? 6.5m / s v1 v? 2 ? ?1.5m / s

⑺ ⑻

v? 2 是负值是不合理的,因为物块在摩擦力作用下作减速运动,当速度减少至零时,摩擦力 ? 消失,加速度不复存在, v? 2 不可以为负. v2 为负,表明物块 2 经历的时间小于 t 时已经停
止运动,⑵式从而⑷、⑹、⑺、⑻式都不成立.在时间 t 内,物块 2 停止运动前滑行的距离 应是

s2 ?

2 v2 2a



解⑴、⑼、⑶式,代入有关数据得

a ? 0.20 m / s 2
由⑸、⑽式求得刚要发生碰撞时物块 1 的速度



? ? 6.0m / s v1
而物块 2 的速度



? ?0 v2
设 V 为两物块相碰后的速度,由动量守恒有



? ? ?m1 ? m2 ?V m1v1
刚碰后到停止运动过程中损失的机械能



?E ?
由⒀、⒁式得,

1 ?m1 ? m2 ?V 2 2



?E ?
代入有关数据得

?2 1 m12v1 2 m1 ? m2



?E ? 14.4 J
评分标准:



本题 12 分.通过定量论证得到⑼式共 4 分,求得⑾式得 4 分,⒀式 1 分,⒁式 1 分,⒃式 1 分. 18. 参考解答: 根据题意,通过通过增加砝码和调节游码的位置使磅秤恢复平衡,这时横梁 MON 、横杆 ABCP、DEF 以及载物台 Q 都是水平的,竖杆 MP、CF 都是竖直的.B、E 处的刀口增加的 压力分别为 W1 和 W2,它们与待秤量的物体的重量 W 的关系为

W ? W1 ? W2



W1 与 W2 之和是确定的,但 W1、W2 的大小与物品放置与载物台上的位置有关.对于横杆 DEF,它在 E 点受到向下作用力(为了叙述简单,下面所说的作用力皆指载物后增加的作用 力)的大小 W2,设在 F 点受到向上的作用力的大小为 W2? ,平衡时有

W2 ? DE ? W2? ? DF



对横杆 ABCP, 在 B 点受到向下作用力的大小为 W1, 在 C 点受到向下的作用力的大小为 W2? , 设 P 点受到向上的作用力的大小为 W3,平衡时有

W3 ? AP ? W1 ? AB ? W2? ? AC
由以上三式得



W3 ? AP ? W ? AC ?

DE DE ? ? ? W1 ? ? AB ? AC ? DF DF ? ?



要使重物在平台上的位置不影响 W3 的大小,就必需要求 W3 与 W1 无关,即有

AB ? AC
即 AB、DE、DF 应满足的关系为

DE ?0 DF



AB DE ? AC DF
评分标准: 本题 11 分.⑴式 2 分,⑵式 2 分,⑶式 2 分,⑷式 3 分,⑸式或⑹式 2 分. 19.



参考解答: 入射的两条光线如图所示. ?1 、 ?1 是从平端面入射的光线通过球形端面时的入射角和折射 角; ? 2 、 ? 2 是从球形端面入射的光线通过球面时的入射角和折射角.根据折射定律有 α1 δ2 β2 α1 b a ⑴ ⑵ β1 δ1

n sin ?1 ? sin ?1 sin ? 2 ? n sin ? 2
由几何关系有

?1 ? ?1 ? ?1
?2 ? ? 2 ? ? 2
设球面的半径为 R,注意到 ?1 、 ? 2 、 ?1 、 ? 2 都是小角度,故有

⑶ ⑷

R?1 ? a?1 R? 2 ? b? 2
根据题给的条件,⑴、⑵式可近似表示成

⑸ ⑹

n?1 ? ?1

⑺ ⑻

? 2 ? n? 2
由⑶式—⑻式得

n?
评分标准:

b a



本题 11 分.⑴式 1 分,⑵式 1 分,⑶式 1 分,⑷式 1 分,⑸式 1 分,⑺式 1 分,⑻式 1 分, ⑼式 3 分.

20. 参考解答: 设宇宙尘埃的质量为 m,太阳的质量为 M,则太阳作用于尘埃的万有引力

f ?G

Mm 2 rec



设地球的密度为ρ,地球的质量为 me,按题意有

4 m ? ?R 3 ? 3 me ?? 4 3 ?Re 3
另有

⑵ ⑶

G


me ?g Re2



Mme ? 2? ? G ? me ? ? rec rec ?T ?

2



式中 T 为地球绕太阳作圆周运动的周期,T ? 365 ? 24 ? 60 ? 60 s ? 3.15 ? 10 7 s .由⑴、⑵、 ⑶、⑷、⑸式得

gR 3 ? 2? ? f ? ? ? rec GRe ? T ?

2



太阳辐射中含有各种频率的光子, 设单位时间内, 射到尘埃所在处的与太阳辐射垂直的单位 面积上频率为? i 的光子数为 Ni,根据 S 的定义有

S ? ? N i h? i
i



光子不仅有能量,还具有动量.由题意可知频率为? i 的光子的动量

pi ?

h? i c



光子射到尘埃表面被尘埃吸收,故光子作用于尘埃的冲量

?I i ? pi
单位时间内射到尘埃单位面积上的各种频率的光子对尘埃的总冲量



?I ? ? N i ?I i ? ? N i pi
i i



?I 也就是压强.由于尘埃表面是球面,球面上各部分并不都与太阳辐射垂直,但射到球面
上的光辐射与射到与太阳辐射垂直的地球大圆表面上的光辐射是相等的, 故太阳辐射作用于 尘埃的力

F ? ?R 2 ?I
由⑺式—⑾式得



F?
由于⑹式和⑿式得

?R 2
c

S



F GRe ST 2 ? f 4?gRcrec
代入有关数据得



F ? 1.0 ? 10 ? 6 f
评分标准:



本题 13 分.求得⑹式得 4 分,求得⑿式得 7 分,求得⒀式得 1 分,求得⒁式得 1 分. 21. 参考解答: z

E

B O g

y

x (i) 在空间取如图所示的直角坐标 Oxyz,Ox 轴没电场方向,Oy 沿磁场方向,Oz 轴与重力

方向相反.因为磁场作用于质点的洛伦兹力与磁场方向垂直,即在 Ozx 平面内;作用于质 点的电场力和重力也在 Oxz 平面内,故质点在 y 方向不受力作用,其速度沿 y 方面的分速度 的大小和方面是不变的.根据题意,质点速度大小是恒定不变的,而磁场作用于质点的洛伦 兹力对质点不做功, 故质点的速度沿垂直磁场方向的大小一定是恒定不变的, 故此分速度必 须与电场力和重力的合力垂直. 由于电场力和重力的合力的方向是不变的, 故此分速度的方 向也是不变的.由此可得到结论:质点速度的方向也是不变的,即质点在给定的场中作匀速 直线运动,其轨迹是直线,在 Oxz 平面内,与电场和重力的合力垂直. (ii) 质点作匀速直线运动表明电场、 磁场和重力场对质点作用力的合力等于 0. 设存在电场、 磁场时质点的速度大小为 v0 ,它在从标系中的三个分量分别为 v0 x 、 v0 y 、 v0 z ,这也就是电 场、磁场刚要消失时质点的速度在三个场方向的分量,以 Fx、Fy 和 Fz 分别表示 F 在坐标系 中的分量,则有

Fx ? qE ? qv0 z B ? 0
Fy ? 0

⑴ ⑵ ⑶

Fz ? ?mg ? qv0 x B ? 0
由⑴、⑶式得

v0 x ?

E B



v0 z ?

mg qB



若知道了粒子的速度 v0,粒子速度的 y 分量为
2 2 2 2 v0 y ? v0 ? v0 x ? v0 z



因电场和磁场消失后,粒子仅在重力作用下运动,任何时刻 t 质点的速度为

vx ? v0 x
v y ? v0 y

⑺ ⑻ ⑼

vz ? v0 z ? gt
当 vx 等于 0 时,粒子的动能最小,这最小动能

Ek min ?
根据题意有

1 2 2 m v0 x ? v0 y 2

?

?



Ek min ?
由⑽、⑾式得

1 ?1 2? m? mv0 ? 2 ?2 ?



2 2 2 v0 ? 2 v0 x ? v0 y

?

?




由⑷、⑸、⑹、⑿各式得

v?
评分标准: 本题 16 分

1 qB

?qB ?2 ? ?mg ?2

第(i)小问 4 分.通过论证得到质点作匀速直线运动的结论得 4 分. 第(ii)小问 12 分.⑷式 3 分,⑸式 3 分,求得⒀式 6 分.

试卷答案重要勘误更正
设电流表的量程为 Ig,当电流表与定值电阻 R0 串联改装成电压表时,此电压表的内阻

? ? Rg ? R0 R0
由于此电压表的量程 U 0 ? 50V ,故有

( 1)

? ? U0 I g R0
由(1) 、 (2)两式得

(2)

Ig ?

U0 ? 1.11 ? 10 ?3 A Rg ? R0

(3)

即电流表的量程为 1.11mA. 电流表改装成的双量程电压表的电路如图所示, 图中 R1 和 R2 是为把电流表改装成双量程电压表必须
A

+

A

Rg

R1

? 表示电压表量程 串 联 的 电 阻 , 其 值 待 求 . 用 R1
U 01 ? 5V 挡的内阻,则有
R1? ? Rg ? R1


5V

R2

10V

(4)

I g R1? ? U 01
由(3) 、 (5)式得

( 5)

R1? ?

U 01 ? ?.50 ? ?? ? Ω Ig

(6)

同理得电压表量程 U 02 ? 10V 挡的内阻

? ? Rg ? R1 ? R2 ? R2

U 02 ? 9.?? ? ?? ? ? Ig

(7)

设电源的电动势为 E,内阻为 r,当用电压表的 5V 挡测电源两端的电压时,电压表的 示数为 U 1 ,已知 U 1 ? 4.50V ,设此时通过电压表的电流为 I 1 ,有

U 1 ? I1r ? E U 1 ? I 1 R1?

( 8) (9)

当用电压表的 10V 挡测量该电源两端的电压时,电压表的示数为 U 2 ,己知 U 2 ? 4.80V , 设此时通过电压表的电流为 I 2 ,有

U 2 ? I 2r ? E ? U 2 ? I 2 R2
解(8) 、 (9) 、 (10) 、 (11)式,并注意到(6) 、 (7)式得

(10) (11)

E ? 5.14V (12) 评分标准: 本题 14 分.(3)式 3 分, (6)式 2 分, (7)式 2 分, (8)式、 (9)式、 (10)式、 (11) 式共 4 分, (12)式 3 分.


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